Учебник по математике Ч1 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с

Метод э лементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1)перестановка строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3)прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих эле­ ментов другой строки (столбца), предварительно умноженных на неко­ торое число.

Для данной матрицы А п-го порядка построим прямоугольную ма­ трицу Гл = {А\Е) размера п х 2п, приписывая к А справа единичную матрицу. Далее, используя элементарные преобразования над строками, приводим матрицу Гл к виду {Е\В), что всегда возможно, если А невы­

рождена. Тогда В = А~1.

Пример 2. Методом элементарных преобразований найти А~1 для

Обозначив через 71, 72, 73 строки матрицы Гд, произведем над ними следующие преобразования:

92 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений

3/4 -7/24 —1/24> —1/2 5/12 -1/12 -1/4 1/24 7/24,

Методом присоединенной матрицы найти обратные для следу­ ющих матриц:

Методом элементарных преобразований найти обратные для следующих матриц:

§ 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 93

(\ 0 0 ... 0 1^

О2 О ... О О

2.120. О 0 3 ... О О

\0 О 0 ... О п/

Решить матричные уравнения:

§ 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы

1.Арифметические векторы. Всякая упорядоченная совокупность из

пдействительных (комплексных) чисел называется действительным

(комплексным) арифметическим вектором и обозначается символом

х = (жь ж2, •••, хп).

94 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений

Числа Х\, Х2 , ..., хп называются компонентами арифметического век­ тора х.

Над арифметическими векторами вводятся следующие операции.

Сложение: если

Множество всех действительных (комплексных) арифметических п- компонентных векторов с введенными выше операциями сложения (1) и умножения на число (2) называется пространством арифметических векторов (соответственно действительным или комплексным). Всюду в дальнейшем, если не оговаривается противное, рассматривается дейст­ вительное пространство арифметических векторов, обозначаемое симво­ лом К” .

Система арифметических векторов {х 1 , ..., ха} называется линейно зависимой, если найдутся числа Ах, ..., АЛ, не равные одновременно нулю, такие, что Аххх 4-... 4- АвхЛ= 0 (где 0 = (0, 0, ..., 0) — нулевой

вектор). В противном случае эта система называется линейно независи­ мой.

Пусть — произвольное множество арифметических векторов. Си­ стема векторов © = (ех, ..., е в) называется базисом в ф, если выпол­

Формула (3) называется разложением вектора х по базису 93. Коэф­ фициенты Ах, ..., АЛоднозначно определяются вектором х и называются координатами этого вектора в базисе 93.

Справедливы следующие утверждения:

1) Всякая система векторов 0 £ имеет по меньшей мере один базис; при этом оказывается, что все базисы этой системы состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом системы ф и обозна­ чаемого тangQ или г (О).

2) Ранг всего пространства Кп равен п и называется размерностью этого пространства; при этом в качестве базиса Кп можно взять следую­

§ 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 95

Еп. Тогда всякому вектору х можно поставить во взаимно однозначное соответствие столбец его координат в этом базисе, т. е.

/ ХЛ

Х2

х = жхвх 4-... 4- я„еп <=> X =

Замечание. Необходимо различать компоненты вектора и его ко­ ординаты в некотором базисе. Мы используем для них одинаковое обо­ значение, хотя следует помнить, что координаты вектора совпадают с его компонентами только в каноническом базисе.

Линейные операции (1) и (2) над арифметическими векторами в ко­ ординатной форме выглядят следующим образом:

2.130. Доказать, что линейные операции (1) и (2) обладают следующими свойствами:

1а) х 4- у = у + х; 16) (х 4- у) + ъ —х 4- (у 4- и);

1в) х 4- О = х; 1г) Ух, у 3!я (х = у 4- г) (вектор ъ называется разностью

векторов х и у и обозначается так: г = х —у); 2 а) А(/хх) = (А/х)х для любых чисел А и д; 26) 1 •х = х;

96 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений

Заданы те же, что и выше, арифметические векторы а 1, а2, аз, ац, а5- Найти вектор х из уравнения:

2.135. 2х 4- ах — 2а2 — а5 = 0. 2.136. ах —За5 4* х + аз = 0. 2.137. 2(ах — х) 4- 5 (а4 4- х) = 0. 2.138. 3(аз 4- 2х) - 2 (а5 - х) = 0.

2.139. Доказать, что линейно зависима всякая система векто­ ров:

а) содержащая два равных вектора; б) содержащая два вектора, различающихся числовым множи­

телем; в) содержащая нулевой вектор;

г) содержащая линейно зависимую подсистему.

Выяснить, являются ли следующие системы арифметических векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:

2.146. х = (5, 4, 3, 2, 1).

2.147. Доказать, что если векторы ах, а2, аз линейно зависимы и вектор аз не выражается линейно через векторы ах и а2, то векторы ах и а2 различаются лишь числовым множителем.

2.148. Доказать, что если векторы ах, а2, ..., а* линейно неза­ висимы, а векторы ах, а2, ..., а*, Ь линейно зависимы, то вектор Ь линейно выражается через векторы ах, а2, ..., а*.

2.149. Доказать, что упорядоченная система векторов ах, а2 ...

..., а„, не содержащая нулевого вектора, линейно независима то­ гда и только тогда, когда ни один из этих векторов не выражается линейно через предыдущие.

2. Ранг матрицы. Пусть в матрице А размера т х п выбраны про­ извольно к строк и к столбцов (к ^ ш т (т , п)). Элементы, стоящие на пересечении выбрайных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка к , определитель которой называется минором к-го порядка ма­ трицы А.

§ 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 97

Максимальный порядок г отличных от нуля миноров матрицы А называется ее рангом, а любой минор порядка г, отличный от нуля, —

базисным минором.

Строки (столбцы) матрицы А размера т х п можно рассматривать как систему арифметических векторов из К” (соответственно Кт ).

Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен рангу системы ее строк (столбцов)-, при этом система строк (столбцов] матрицы, содержащая базисный минор, образует бйзис в системе всех строк (столбцов) зтой матрицы.

Приведем основные методы вычисления ранга матрицы.

Метод ока ймл яющи х миноров. Пусть в матрице найден ми­ нор к-го порядка М, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (А: 4- 1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен к. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (к 4- 1)-го порядка, и вся процедура повторяется.

<3 Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля:

окаймляющий минор М2, также отличен от нуля. Однако оба минора 4-го порядка, окаймляющие Мз, равны нулю:

Поэтому ранг А равен трем.' > Метод э лементарных преобразований основан на том

факте, что элементарные преобразования (см. п. 2 § 2) матрицы не ме­

няют ее ранга (см. задачу 2.158). Используя эти преобразования, ма­ трицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы, кроме ап, 02 2 , •••>a-rr (г ^ min (т, п)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен г.

§ 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 99

Чему равен ранг матрицы А при различных значениях А?

2.158. Показать, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразова­

100 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений

2.171. Доказать, что если произведение матриц А В определено, то rang (А В ) ^ min {rang A, rangi?}.

2.172. Пусть А — невырожденная матрица, а матрицы В и С таковы, что А В , С А определены. Доказать, что rang (А В ) = = rang В и rang (C'A) = rang С.

2.173. Доказать, что если сумма матриц А Л- В определена, то rang (А 4- В ) ^ rang А 4- rang В .

Понятие ранга матрицы используется для исследования линейной зависимости системы арифметических векторов.

Пример 3. Выяснить, является ли система арифметических векто­ ров ai = (2, —3, 1), а 2 = (3, —1, 5), а 3 = (1, —5, —3) линейно зависи­ мой или линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь базис.

<1 Запишем матрицу А, вектор-столбцами которой являются a i, а 2 , а 3 :

Ранг А, как нетрудно видеть, равен 2. Следовательно, исходная система арифметических векторов линейно зависима, и ее ранг также равен 2 (по теореме о базисном миноре). Минор 2-го порядка