Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

§3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 81

Раскрытие неопределенностей типа 0-оо и оо —оо. Для

вычисления lim f(x)tp(x), где f(x) — бесконечно малая, а <р(х) - -бос-

х-*а

конечно большая при х —>а (раскрытие неопределенности типа 0 • оо),

Для вычисления lim (f(x) —(p(x)), где f(x) и <p(x) — бесконечно x—>a

большие при .т —>• a (раскрытие неопределенности типа оо —оо), следует преобразовать разность к виду f(x) ( 1 — ——-\, затем раскрыть неопре-

TO

lim (x —ln3x) — +oo. l> x—^+oo

82Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Раскрыть неопределенности типа 0 • оо или оо — оо:

трех случаях имеется в виду вычисление предела выражения

где /(х) есть в первом случае бесконечно малая, во втором случае — бесконечно большая, в третьем случае — функция, имеющая предел, равный единице. Функция же tp(x) в первых двух случаях является бесконечно малой, а в третьем случае — бесконечно большой.

Поступаем следующим образом. Логарифмируя предварительно у = = (f(x))^x\получаем равенство

и находим предел In у, после чего находится и предел у. Во всех трех слу­

чаях \пу в силу (2) является неопределенностью типа 0*оо (проверьте!), метод раскрытия которой изложен выше.

ется неопределенностью типа оо • 0. Преобразуя выражение In у к виду

§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 83

до (п -+1)-го порядка включительно в некоторой окрестности [/$(а) =

(остаточный член в форме Лагранжа). Таким образом, формула

Тейлора порядка п позволяет представить функцию у — f(x) в виде суммы многочлена п-й степени и остаточного члена.

84 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

6.380. Для многочлена х4 4-4х2 — х 4-3 написать формулу Тей­ лора 2-го порядка в точке a = 1. Записать остаточный член в форме Лагранжа и найти значение 0, соответствующее следующим значениям аргумента: а) х = 0; б) х = 1; в) х = 2.

6.381. Пусть Р(х) — многочлен 4-й степени, Р(2) — — 1, Р '( 2) —

Для заданных функций написать формулу Маклорена n -го по­

Используя формулы Маклорена, полученные в задачах 6.382- 6.387, написать первые п членов формулы Маклорена (без оста­ точного члена) для следующих функций:

6.393. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции

у= х/(х — 1) в точке a = 2. Построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени.

6.394. Написать формулу Тейлора 2-го порядка для функции

у= tgx в точке a — 0. Построить графики данной функции^и ее многочлена Тейлора 2-й степени.

6.395. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции

у = arcsin х в точке a = 0. Построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени.

6.396. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции у = 1/у/х в точке a = 1. Построить графики данной функции и ее многочлена Тейлора 3-й степени.

Формула Тейлора широко используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности. Пусть, например, требуется вы­ числить значение функции f(x ) в точке XQ с абсолютной погрешностью, не превосходящей е, если известно значение этой функции и ее произ­

§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 85 водных в точке а. Из формулы Тейлора следует, что

86 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Заменяя cos х его разложением по формуле Маклорена cos ж = 1 —— 4-

Отбрасывая бесконечно малые высших порядков, т. е. переходя в числи­ теле и в знаменателе к эквивалентным бесконечно малым при х —» 0, получаем

записать в виде х + о(\х\) и что прих -* 0 все эти функции экви­ валентны бесконечно малой а(х) = х (и, следовательно, эквива­ лентны между собой).

6.400. Используя разложение по формуле Маклорена, вычи­

§4. Исследование функций и построение графиков

1.Возрастание и убывание функции. Экстремум. Функция у = f( называется возрастающей (убывающей) в интервале (а, 6), если из не­ равенства Х\ < Х2 , где х\, Х2 £ (а, 6), следует неравенство }(х\) < /(а^) (соответственно f(x 1) > /(а^)).

< 0 при всех х £ (а, 6), то /(ж) убывает на этом интервале.

В простейших случаях область определения функции у = /(ж) можно

разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из ин­ тервалов монотонности ограничен критическими точками, р которых

/'(т) — 0 или / ;(ж) не существует.

Если существует такая окрестность [/о(жо) точки жо, что для вся­ кой точки х ф .То этой окрестности выполняется неравенство /(ж) > > /(то) (или /(ж) < /(.то)), то точка то называется точкой мини­ мума (максимума) функции у = /(ж), а число /(жо) -- минимумом

(максимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

ф у н к ци и. 1) Пусть функция /(ж) дифференцируема в некоторой окрест­ ности (то —5, То+5) критической точки то, за исключением, быть может, самой этой точки. Если при этом в интервалах (хо —<5, то) и (то, то + $)

Приравнивая ее нулю, получаем т = 2. Таким образом, критическими точками (с учетом тех точек, где производная не существует) являются:

Х\ — 0, т2 — 1, Тз = 2. Они разбивают область определения }(х) на четыре интервала монотонности: (—оо, 0), (О, 1), (1, 2) и (2, +оо). Так как /'(ж) > 0 при х £ (-оо, 0) U (1. 2) и /'(ж) < 0 при ж £ (0, 1) U U (2, -fee), то /(ж) возрастает на интервалах (-ос, 0) и (1, 2), убывает

88 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Заметим, что в рассматриваемом примере первое достаточное усло­ вие позволяет определить характер каждой из критических точек данной функции. В то же время второе достаточное условие неприменимо в точке х*2, так как в этой точке не существует первая производная. >

6.401*. Доказать следующее обобщение второго достаточного условия экстремума. Пусть хо — критическая точка функции / (ж), и первая из не равных нулю производных этой функции в точке хо имеет порядок к. Если к — четное число, то хо является точкой

экстремума, причем точкой максимума, если /^ (хо) < 0, и точ­

Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции /(ж) на

данном отрезке [а, 6] достигается или в критических точках, или на кон­ цах этого отрезка.

Определить наибольшее М и наименьшее т значения следу­ ющих функций на указанных отрезках (а если отрезок но указан, то во всей области определения):

6.424. б ш х + tgж > 2ж, ж Е (0, 7г/2).

6.425. Два тела движутся с постоянными скоростями г^м/с и г>2 м/с. Движение происходит по двум прямым, образующим угол 7г/2, в направлении к вершине этого угла, от которой в на­ чале движения первое тело находилось на расстоянии а м, а вто­ рое — на расстоянии Ь м. Через сколько секунд после начала дви­ жения расстояние между телами будет наименьшим?

6.426. Для доставки продук­ ции завода N в город А (рис. 6) строится шоссе ЛГР, соединяю­ щее завод с железной дорогой АВ,

проходящей через город А. Стоимость перевозок по шоссе вдвое больше, чем по железной дороге. К какому пункту Р нужно про­ вести шоссе, чтобы общая стоимость перевозок продукции завода N в город А по шоссе и по железной дороге была наименьшей?

90 Гл. б. Дифференциальное исчислении функции одной переменной

6.427. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного п лукругом (рис. 7). Задан периметр р этой фигуры. При каких

размерах х и у окно будет пропускать наибольшее

количество света?

6.428. Из трех досок одинаковой ширины скола­ чивается желоб для подачи воды. При каком угле а наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

6.429. В треугольник с основанием а и высотой Н вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины — на боковых сторонах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.

6.430. Периметр осевого сечения цилиндра равен 6а. Найти наибольший объем такого цилиндра.

6.431. Цилиндр вписан в конус с высотой 1ь и радиусом основа­ ния г. Найти наибольший объем вписанного цилиндра.

6.432. Найти наименьший объем конуса, описанного около ша­ ра радиуса г.

6.433. Найти наибольший объем конуса при заданной длине I его образующей.

6.434. Определить наибольшую площадь прямоугольника, впи­ санного в круг радиуса г.

6.435. На параболе у — х2 найти точку А/', наименее удаленную от прямой у = 2х — 4.

6.436. В полукруг радиуса II вписан прямоугольник с наиболь­ шей площадью. Определить его основание х и высоту у.

6.437. Отрезок длины а разделить на две части так, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих частях, была

2. Направление выпуклости. Точки перегиба. График дифференц руемой функции у — 1(х) называется выпуклым вниз (или вогнутым вверх) на интервале (а, 6), если дуга кривой на этом промежутке расио-