Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

Если кривая задана в полярных координатах уравнением т = г(у?),

то угол 0, образованный касательной ТТ' и радиус-вектором оШ точки

касания М (рис. 4), определяется соот­ ношением

ь е - ' М (п)

6.262**. Вывести формулу (11). 6.263. Найти угол 0 между ка­

сательной и радиуе-всктором точки касания для логарифмической спи­

рали г = аек(р.

6.264. Найти угол в между каса­ тельной и радиус-вектором точки касания для лемнискаты г2 = = а2 соя 2(р.

Если х = х(1) — функция, описывающая закон движения матери­

ях альной точки, то первая производная — = х есть скорость, а вторая

(и

с12 X

производная ~—г — х —- ускорение этой точки в момент времени £

сиг

(механический смысл первой и второй производных).

6.265. Закон движения матер] гтттьной точки по прямой имеет вид X = (1/4)£4 - 4£3 4-1б£2.

а) В какие моменты времени точка находится в начале коор­ динат?

б) В какие моменты времени направление ее движения совпа­ дает с положительным направлением оси О х ?

в) В какие моменты времени се ускорение равно нулю?

6.266. Найти скорость гармонического колебания с амплитудой а, частотой и и начальной фазой (/9 — 0.

6.267. Тело массой 4 движется прямолинейно по закону х —

— £2 + £ 4- 1. Определить кинетическую энергию тела в момент времени £ — 5.

6.268. В какой момент £ Е [0, 27т] надо устранить действие сил, чтобы точка, участвующая в гармоническом колебании х — созЗ£, продолжала двигаться равномерно со скоростью V — 3/2.

6.269. Точка движется по логарифмической спирали г = еа(р. Найти скорость изменения полярного радиуса, если известно, что он вращается с постоянной скоростью и.

6.270. Точка движется по окружности г = 2а соя (р. Найти ско­ рости изменения абсциссы и ординаты точки, если полярный ра­ диус вращается с угловой скоростью и.

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал ду(хо5Ах) равен приращению ординаты касательной ТТ1 к графику

функции у —/ ( х) в точке А/о(жо, уо) при приращении аргумента, равном Ах (рис. 5).

композицией функций у = у (ж) и г = г(у). Доказать, что

(Ь{х, <1х) = г'у{у) (1,у(х, (1х),

т.е. выражение для дифференциала сложной функции через диф­ ференциал промежуточного аргумента имеет такую же форму, что и основное определение с1г(х, с1х) = %х(х) с1х (это утверждение на­ зывается инвариантностью формы 1 -го дифференциала).

6.276. Доказать, что для линейной функции у = ах + Ь прира­ щение Ау и дифференциал (1у совпадают.

6.277. Найти приращение А у и дифференциал (1у функции у = ж3, соответствующие значению аргумента жо — 2 и двум раз­ личным приращениям аргумента (Дж)х = 0,1 и (Дж)2 = 0,01.

6.278. Найти приращение Д 5 и дифференциал площади 5 квадрата, соответствующие приращению Дж стороны ж. С по­ мощью рисунка геометрически истолковать Д 5, йБ и разность Д 5 -

6.279. Материальная точка М движется прямолинейно по за­ кону 5 = /(£)? г^е ^ м о м е н т времени, а .9 — пройденный путь за промежуток времени от 0 до £. Дать механическое истолкование

6.280. Используя результат предыдущей задачи и формулу (2), найти приближенно путь Д 5, пройденный точкой М за промежу­

74 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одном переменной

6.281. Для функций: a) f(x) — хп и б) <р(х) = sin.x найти значения аргумента .т, при которых дифференциалы этих функций не являются эквивалентными их приращениям при Ах —ï 0.

6.282. Дан отрезок [.то, XQ + Ах] изменения аргумента х функ­ ции у = /(ж); А у и dy — соответствующие приращение и диф­

ференциал функции у. Возможны ли равенства: a) dy — - Ау\

б) dy = А у] в) dy = на всем этом отрезке?

6.283. Ребра куба увеличены на 1см. При этом дифференциал dV объема V куба оказался равным 12 см3. Найти первоначальную длину ребер.

6.284. Радиус круга увеличен на 1 см. Дифференциал площади круга оказался при этом равным б7гсм2. Найти первоначальную величину радиуса.

Найти дифференциалы указанных функций при произволь­ ных значениях аргумента х и при произвольном его приращении

А х = dx:

6.285. ху/а1 — x2 + о2arcsin---5.

а

6.286. sin х — х cos x + 4. 6.287. x arctg x — ln y/l -f x2. 6.288. x ln x — x + 1.

6.289. x arcsin x + y/l — x2 — 3.

При вычислении дифференциалов неявно заданных функций удобно использовать основные свойства дифференциала, перечисленные в зада­

X

и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства дифференциала, находим

d(x2y2) — x2 d(y2) + y2 d(x2) = 2x2y dy + 2xy2 dx.

Приравнивая полученные выражения, получаем

-dy -- - dx = 2x2y dy + 2xy2 dx.

Ух

Из этого уравнения, линейного относительно dy, находим окончательное выражение для dy через х, у и dx\

вч = 1-1 + 2хУ (1х

Ух2 1- 2х2у2

Отсюда, в частности, может быть получено и выражение для произ­ водной неявной функции:

Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций

В задачах 6.298-6.302 произвести указанные приближенные вычисления, используя замену приращения А у подходящей функ­ ции у = f(x ) дифференциалом dy этой функции при малой абсо­ лютной величине приращения А х аргумента х.

6.298. Вычислить приближенно: a) arcsin0,05; б) arctg 1,04; в) In 1,2.

6.2^9. Обосновать приближенную формулу

\/х + Ах ^ \/х + ~Т7= 3 v ^

и вычислить по этой формуле v^25.

6.300. Найти приближенное значение функции f(x ) = ех~~х при ж = 1,2.

6.301*. Найти приближенное выражение для приращения A V объема V прямого кругового цилиндра с высотой h при изменении радиуса основания г на величину А г.

6.302*. По закону Клапейрона объем V , занимаемый газом, давление газа р и абсолютная температура Т связаны формулой pV = i?T, где R — газовая постоянная. Найти приближенное вы­ ражение для приращения A V объема V при изменении давления р на величину Ар, считая неизменной температуру Т.

76Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2.Дифференциалы высших порядков. Рассмотрим дифференци dy(x< Ai я) = f'(x)A ix как функцию х при фиксированном Д.т = А\х.

Предполагая, что функция у = f(x) дважды дифференцируема в точке х, найдем дифференциал от dy(x, Aix) при Ах = А2х:

d(dy(x, Ai^))|a.iAx=A2J.= f"{x)A1xA2x.

Значение полученного выражения при Ai.x = А2.Х = dx называется

вторым дифференциалом или дифференциалом 2-го порядка функции

у — f(x) и обозначается символом d2y(x, dx). Таким образом,

d2y = f"(x)dx2.

Аналогично

<3 Для первого дифференциала имеем (см. задачу 6.275) dz — z' dy, от­ куда, дифференцируя еще раз (по х, но используя инвариантность формы первого дифференциала), получим:

d2z = d(dz) = d(z'y dy) = z'y d(dy) + dy ■d(z'y) = z'y d2y + zyy dy2. >

Этот пример показывает, что дифференциалы 2-го порядка (и более высоких порядков) не обладают инвариантностью формы, свойственной дифференциалам 1-го порядка (см. задачу 6.275).

Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно задан­ ных функций у — у(х):

6.312. ху + у2 = 1. 6.313. (х — а)2 + (у — b)2 = R 2. 6.314. Xs + у3 = у. 6.315. х = у - a sin у.

§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 77

§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора

1. Теоремы о среднем

Теорема Ролл я. Если функция f(x ) непрерывна на отрезке

Точки, в которых / ;(.т) = 0, называются стационарными точками

равные значения (проверьте!). Ее производная f f(x) равна нулю

только в двух точках х = ±\/П) (проверьте!), расположенных за пределами этого отрезка. Какова причина нарушения заключения теоремы Ролля?

6.317. Показать, что функция f(x ) = х 2 — 1 на отрезке [—1, 1] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти все стационарные

жет иметь двух различных действительных корней на интервале

(о, 1).

6.320*. Доказать, что уравнение ех 1 + х — 2 = 0, имеющее ко­ рень x = 1 (проверьте!), не имеет других действительных корней.

6.321*. Доказать, что если функция f(x ) непрерывна на от­ резке [а, Ь\и дифференцируема на интервале (а, Ь), то функция

F ix) = {fix) - f {a)) {b-a) - (f (b) - f {a)) (x - a) имеет по край-

ней мере одну стационарную точку на интервале (а, Ь).

6.322. Записав формулу Лагранжа для функции f(x ) = у/Зх3 + Зж на отрезке [0, 1], найти на интервале (0, 1) соответствующее значение £.

78 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

6.323. Доказать, что если производная f f{x) тождественно рав­ на нулю на интервале (а, 6), то функция f(x ) постоянна на этом интервале.

6.324. Доказать, что если f f{x) > 0 (f'(x) < 0) на интервале (а, Ь), то функция f(x ) монотонно возрастает (монотонно убывает) на этом интервале.

Функция f(x) удовлетворяет условию Липшица на интервале (а, Ь), если существует такое К £ IR, К > 0, что

\f(x2) - fix i)| ^К ■\х2 - Xi\

для любых х\, Х'2 £ ( а , Ь).

6.325. Доказать, что если sup f f(x) = М , то функция f(x ) на a<x<b

интервале (а, Ь) удовлетворяет условию Липшица с константой К , равной М .

виям теоремы Лагранжа на [а, Ь], то [f(b) — / (а)] ^ т (Ь — а), где

2.Правило Лопиталя-Бернулли. Раскрытие неопределенно

может иметь предел в точке х = а, конечный или бесконечный. Нахо­

ждение этого предела называется раскрытием неопределенности. Одним

вило Лопиталя-Бернулли, основанное на следующей теореме, носящей их имя.

Теорема. Пусть в некоторой окрестности U топких — а функ­ ции f(x) и <р(х) дифференцируемы всюду, кроме, может быть, самой

точки х = а, и пусть <р!(х) Ф 0 в U . Если функции f(x) и ip(x) явля­ ются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно боль-

шими при х а и при этом существует предел отношения tp'(x)/'(*)

§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 79

их производных при х а, то тогда существует также и предел

f{X) г

отношения — - самих функции, причем р{х)

может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя-Бер- нулли.

На каждом этапе применения правила Лопиталя-Бернулли следует пользоваться упрощающими отношение толщественными преобразова­ ниями, а также комбинировать это правило с любыми другими приемами

ность типа - . О/

<3 Используем формулу (1):

80 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Освободим знаменатель дроби от множителя cos2 ж, поскольку он имеет предел 1 при ж —» 0. Развернем стоящую в числителе разность кубов и

освободим числитель от сомножителя 1 +cos х +cos2 ж, имеющего предел 3 при ж —» 0. После этих упрощений получаем

Используя первый замечательный предел, получаем окончательный от­ вет 1/2, уже не прибегая вновь к правилу Лопиталя-Бернулли. >

6.347.

cos ж • In (ж — 3) In (ех — е3)

6.348.

In (1 - ж) + tg (тгх/2) ctg 7ГЖ