Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с
.pdf§1. Производная |
61 |
Иначе говоря, обратная функция х = / 1(у) есть функция, |
заданная |
неявно уравнением |
|
f{x) - у = 0. |
(5) |
Для вычисления производной функции х = f~ 1{y) дифференцируем (5) по у:
f'{x(y))x'(y) -1 = 0,
откуда
Г Ы у))'
При неявном задании функций, а также для сложных функций бу дем для производной использовать также обозначения типа у'х там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведется дифференцирование.
6.144. Найти значение у'х в точке х = 1, если |
|
|||||
|
х3 — 2х2у2 + 5х + у — 5 = 0, у( 1) = 1. |
|||||
6.145. Найти ух в точке (0, 1), если еу + ху = |
е. |
|||||
Найти у'х для следующих функций, заданных неявно: |
||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
6.146. |
+ тг = |
1. |
|
|
6.147. х4 + у4 = х2у2. |
|
а 1 |
о |
|
|
|
|
|
6.148. у/х + у/у = s/а , |
а > |
0. |
6.149. 2у In у = |
х. |
||
6.150. ех sin у — еу cos х = |
0. |
6.151. sin (xy) + cos (ху) = 0. |
||||
6.152. 2х + 2У — 2Х+У. |
|
6.153. х — у = arcsin о; — arcsin у. |
||||
6.154. arctg — = |
ln у/х2 + у2. |
6.155. ху = arctg —. |
||||
|
х |
|
|
|
|
у |
6.156. ху = ух. |
|
|
|
6.157. ах!у = |
. |
|
6.158. Доказать, |
что |
функция у, определенная уравнением |
||||
ху — In у = 1, удовлетворяет также уравнению у2 + (ху —1 )у' — 0.
Найти производные функций, обратных к заданным: 6.159. у = sh x .
—с х сх “Ь с~х
<1 Имеем по определению sh х = -- -- . Так как (sh х)' = --- ---> 0
для всех х G Е, то функция sh х монотонно возрастает на всей действи тельной оси и, следовательно, имеет обратную, обозначаемую arshx. По
62 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
правилу дифференцирования обратной функции получаем
х'у = (arshy)' |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
у'х |
ех + е~х |
chx |
у / 1 + sh2 х |
у Г + у 2 |
||
|
||||||
Следовательно, переходя к обычным обозначениям, имеем |
|
|||||
|
|
(arsh х)' |
/ г г |
X* |
|
|
|
|
|
|
|||
6.160*. у — ch х . |
6.161. у = arcsin 2 х |
|
||||
6.162. у = 2а;2 — .т, |
x G |
+оо |
|
|
||
Пусть у = а(а;) — |
функция, обратная к заданной у = /(ж). |
|||||
Выразить а/(я) через |
и а(я), если: |
|
|
|||
6.163. у - хх. |
|
|
|
|
|
|
<1 Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
(х 1У = Xх lu (ж + 1), |
|
|||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
ж/ |
= i_ |
= _____1 |
= |
1 |
|
|
Ху |
у'х |
:rT(lna; + l) |
y(\na(y) -f 1) ’ |
|
||
так как х = &(?/). В обычных обозначениях
1
о!{х) = x(\na(x) -f 1) ’
6.164. у = х +ех. |
6.165. у = ^х + х3. |
6.166. у — х +1о§’2 х. 6.167. у = х \пх.
Пусть заданы функции
|
х = ч>, у = |
ье(ос,(5). |
(6) |
Если при этом х — |
<^(£) на интервале (а, /3) имеетобратную £ = (р~г( |
||
то определена новая функция |
|
|
|
|
|
|
(7) |
называемая функцией, заданной параметрически соотношениями (6). Дифференцируя (7) по х и используя правило дифференцирования обрат ной функции (пример 6), получаем
________________________ §1. Производная_________________________ 63
Пример 7. Найти у'х, если |
|
||
х = cos2 t, |
у = sin t, t £ ^0, ^ . |
||
]Так как ip't = —2 cost sin t, |
ф[ = cost, то по формуле (8) находим |
||
|
|
|
1 |
|
у' — ----- . D> |
||
|
Ух |
2sint |
|
Для функций, заданных параметрически, найти ух: |
|||
6.168. х = 2t, у = |
3t2 — 5t, |
t G (—ос, +oc). |
|
6.169. Ж— t3 -Ь 2, |
у — 0,5t2, |
t G (—oc, -boo). |
|
617°-1 = Г Г Т ’ 9 = |
( r n ) |
’ ‘ * ~ L |
|
||||
6.171. x = 2~г, у = 22t, t G (-oo, +oo). |
|
||||||
6.172. x = |
acostp, у = |
bsimp, |
(p G (0, 7r). |
|
|||
6.173. x = |
tgt, у = sin2f 4- 2 cos 2 t £ ( — |
|
|||||
6.174. x = |
arccos —7=1 |
|
, |
у = |
arcsin |
r—..—t, t G (0, +00). |
|
|
V T + P |
|
|
vT+T1 |
|
||
6.175. x = |
l n (1 + t2), |
у = |
t — arctgf, |
t G (0, +00). |
|||
6.176. x = |
3 log2 ctg t, |
у - |
tg t + ctg t, |
t G ( 0, |
. |
||
6.177. x = |
arcsin (t2 — 1), |
у = arccos |
t G (0, \/2). |
||||
6.178. x = |
\/l - s/i,, у = |
>/1 - \/t, t G (1, +00). |
|
||||
6.179. x = asht, у = |
bcht, t E (0, +00). |
|
|||||
Найти ух в указанных точках: |
|
|
|
||||
|
lnt |
|
|
|
|
||
6.180. x — tint, у — ~ |
, |
t — 1. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
7Г |
6.181. х = |
t(tcost —2 sinf), у = t(tsint + 2 cos<), t = —. |
||||||
64Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
3.Производные высших порядков. Производной 2-го порядка функции у =/(я) называется производная от ее первой производной, т. е.
у"(х) = (у'Ог))7-
Вообще производной п-го порядка (или п-й производной) называется производная от производной порядка п —1, т.е.
|
у^пЦх) = (у^ Ц х)У , |
71 = 2,3, ... |
|
|||
тг |
|
|
|
|
^ |
^ПУ |
Для производной п-го порядка используется также обозначение ~— . |
||||||
|
|
|
|
|
|
ахп |
Пример |
8. Найти у" , если у = In (х + л/ l + х2). |
|
||||
<3 Имеем у1= |
= . Следовательно, |
|
|
|
||
|
\/1 + х2 |
|
|
|
|
|
|
У" |
V l + х2 / |
(1 +Ж2)3/2' |
|
||
|
|
|
||||
Найти производные 2-го порядка от следующих функций: |
||||||
6.184. у — cos2 х. |
|
6.185. у — arctg х2. |
|
|||
6.186. у = |
log2 v^l - х2. |
6.187. у = |
e~x\ |
|
||
6.188. у = |
2 ^ = . |
|
6.189*. у = |
x'fi. |
|
|
J V T ^ c 2 у
6.190. Найти у'(0), у"(0), у'"(0), если у(х) = e2l sin3a;. 6.191. Найти у'"(2), если у = \п(х — 1).
6.192. Найти ylv(1), если у = х3\пх.
6.193. Найти у(0), у'(0), у"(0), если у — 2slnx cos (sinrc).
Пусть f(u ) |
— дважды дифференцируемая функция. Найти у' |
|||
и у", если: |
|
|
|
|
6.194. у = f |
. |
6.195. у = |
In f(e x). |
|
Пусть и(х) и v(x) — дважды дифференцируемые функции. |
||||
Найти у', у", если: |
|
|
|
|
6.196. у — и° (и > 0). |
|
|
|
|
<3 Имеем In у — vln u. Отсюда находим |
|
|||
|
У1 |
л |
у1 |
/ |
|
— = v \пи н-- и , |
|||
Уи
|
|
|
§ 1. |
Производная |
65 |
|
Т. 0. |
|
|
|
|
|
|
|
у' —у [у' In U + —u'^J = Uv \ v' In U+ —U1j , |
|||||
y " — y ' (v' In v/ |
|
|
f v" |
v' , v'u'n -f-vu"u — vu/2 |
||
-f V-a \-f у |
In a -f- — u ' + |
|
||||
V |
u |
/ |
V |
|
u |
|
|
|
|
|
|
u u " - w/2 |
2u'vl |
u v [ ( |
V — + V1111 U I -f v |
+ -----f-v" In u . > |
||||
|
______ |
|
|
|
|
|
6.197. у — y u 2 + v2. |
|
|
6.198. у — In —. |
|
||
|
|
|
|
|
v |
|
Найти формулу для n-йпроизводной заданных функций:
6.199. у — .тш, т Е N. |
6.200. |
у = |
а^,к £ |
Е. |
6.201*. у — sin .т. |
6.202. |
у = |
\пх. |
|
6.203*. у = cos2 х. |
6.204. |
у = |
|
|
|
|
1 - х |
|
|
Разлагая в линейную комбинацию более простых функций, найти указанные производные от заданных функций:
2х |
|
|
|
6.205. у — —т:--- , найти у(п\ |
|
||
х1 — 1 |
|
|
|
<3 Преобразуем выражение к виду |
|
|
|
- |
2х - |
1 |
1 |
^ |
X2 - 1 |
X + 1 |
х - 1 |
Так как |
|
|
|
/ х |
\(п) |
|
х |
Ы) |
|
|
|
(докажите!), то
6.206. у = -г,— |
найти у(5°). |
яг — |
+ 2 |
6.207*. у = -^=^=, найти у(20).
\/\— X
66 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Пусть и(х) и у(х) имеют производные до п-го порядка включительно.
Тогда для производной п-го порядка их произведения и(х)у(х) справед лива формула Лейбница
(то)(п) = И(п)V + П«*"-1 V |
+ |
- ^ А ) ц(п-2у> + . . . + |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
ku(n-k)v(k) |
|
|
|
|
|
k=0 |
|
(0) |
ГО) |
|
nk |
n{n - 1).. .(n - k + 1) |
n! |
|
где u[U) = u, |
|
= v и C„ |
= ----- -— -------- - |
— ----- |
||
|
|
|
|
1 -2 |
... *A: |
k\(n —k)\ |
биномиальные коэффициенты (по определению 0! = 1). |
|
|||||
Применяя формулу Лейбница, найти производные указанных |
||||||
порядков от заданных функций: |
|
|
||||
6.208. у = |
(х2 + х + 1) sin о;, найти у^1Ъ\ |
|
||||
6.209. у = |
(х2 — х)ех, найти у^\ |
|
|
|||
6.210. у — s'mx • е~х, найти у^ъ\ |
|
|
||||
6.211. у = xlog2^, найти у(10\ |
|
|
||||
6.212. у = |
xshx, найти у(100). |
|
|
|||
6.213*. Показать, что (eax cos bx)^ |
= rneax cos (bx + пер), где |
|||||
г = у/а2 + Ь2, |
tgcp — а |
sin(р = г |
1/X |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
6.214. Доказать, что (Xn~l el^x)^ = |
(—1)п-п"■• |
|||||
6.215. Вычислить значение п-й производной функции у =
З.т + 2
в точке х = U.
ж2 — 2х + 5 <3 По условию имеем
у{х)(х2 —2а: + 5) = За: + 2.
Продифференцируем это тождество п раз, применяя формулу Лейбница Тогда (для п ^2) получим
2!(п\х){х2 -2х + Ъ) + пу(-п~1Ц2х - 2) + -^ -^2/(п~2)(а0 -2 = 0,
откуда при х = 0
5?/п)(0) - 2ш /п-1)(0) + п(п - 1)т/п-2)(0) = 0,
или |
|
У{п)(0) = |
- " (П ~ |
§ 1. Производная |
67 |
Мы получили рекуррентную формулу для определения п-йпроизвод ной в точке х = 0 (п ^ 2). Значения у(0) и */(0) найдем непосред ственно:
2 |
, |
-Зж2 - 4.x + 19 |
19 |
2/(0) = г, |
2/ ( 0 ) = |
(ж2 — 2ж + 5)2 ж=0 |
|
5 ’ |
|
25' |
Затем, полагая последовательно п = 2, 3, 4, ..., с помощью рекуррент ной формулы получим значения производных высших порядков.
Например,
9 |
2__56_ |
У ^ 5 |
25 5 5 125’ |
Г (0 ) = 2 . 3 - 5 5 - - ^ . ^ = - ^ . >
J w 5 125 5 25 625
Применяя метод, описанный в задаче 6.215, найти производ ную 4-го порядка в точке х = 0 от заданной функции:
Л |
у = |
ах + Ь |
. Л |
х2 + х + I |
6.216. |
— — , |
с ^ 0. |
6.217. у = —----— . |
|
|
|
сж + а |
|
хг — х + 1 |
6.218. Показать, что функция у — arcsin о; удовлетворяет диф ференциальному уравнению (1 — х2)уп = xyf.
6.219. Показать, что функция у — С\е2х + С 2хе2х + ех удовле творяет дифференциальному уравнению у" — 4у1+ 4у = ех.
6.220. Показать, что функция у = е~х cosx удовлетворяет диф ференциальному уравнению j / IV) + 4у = 0.
6.221. Показать, что функция у — xn (cos (1пж) +sin (1пж)) удо влетворяет дифференциальному уравнению х2уп + (1 — 2n)xyf +
+(1 + п2)у = 0.
Взадачах 6.222-6.226 найти производные 2-го порядка от функций, заданных неявно:
6.222. sjx1 + у2 = aearctg*, а > 0.
<3 Дифференцируя уравнение, определяющее функцию у(х), получаем
х + УУ1 |
arctKa у 'х - у |
у 'х - у |
-; — ...... |
— (iß ь X • ------ — -; — ....... |
|
yjx2 + у2 |
х<2 + У2 |
yjx2 + у2 |
Отсюда
х + УУ1= ху' - у |
(9) |
68 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
и, следовательно,
У' = х - у |
(10) |
Дифференцируя (9) и используя найденное для у1выражение (10), по- „ 2(^+т/2)
{х - у)3 |
|
6.223. у2 = 2рх. |
6.224. у — 1 + хеу. |
6.225. у — tg (х + у). |
6.226. ех~у — ху. |
6.227. Вывести формулу для второй производной функции, обратной к заданной функции у = / (х).
6.228. Доказать, что если (а + Ъх)еу!х = ж, то х3у" — (ху1— у)2.
Найти производные 2-го порядка следующих функций, задан
ных параметрически: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.229. x = |
lnt, |
у = |
t3, |
t E (0, |
+oo). |
|
|
|
|
|
|
<3 Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ _ |
У± _ |
о,з |
и |
и _ |
/ / y |
_ f i \i |
J.i _ |
(Уx)t |
_ |
9t |
__ q,3 |
Ух ~~ |
i |
3t |
— (yx)x |
—(yx)t |
x |
/ |
~ |
1/• |
9 t. |
||
|
xt |
|
|
|
|
|
|
xt |
|
1/ c |
|
Заметим, что в данном случае параметр t легко исключить из задан ных уравнений, полагая L— ех. Следовательно, выражение для ухх как
функции от х имеет вид ухх = 9е3х. >
В общем случае, если x = </?(t), у — ^(t), то ухх вычисляется по
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥>'(*) |
|
Ухх |
/ |
чЗ |
Ф" (t) |
|||
|
|
|||||
|
|
И * )) |
|
И * )) |
|
|
6.230. ж |
= |
sect, у = tgt, t E ^0, — |
|
|||
6.231. ж |
= |
arcsint, |
у — ln(l — t2), |
t E(—1, |
1). |
|
6.232. ж |
= |
arctg t, |
у = |
ln (1 4-t2), |
t E (—oo,+oo). |
|
6.233. ж |
— |
acos3t, |
у = |
asin3t, t E ^0, |
|
|
6.234. Показать, что функция у(ж), заданная параметрически |
||||||
уравнениями х |
= sint, |
у = |
aeiv^ 4- be~t^2) t |
Е (—тг/2, тг/2), |
||
при любых постоянных а и b удовлетворяет дифференциальному уравнению (1 - х2)у''х - ху'х = 2у.
§ 1. Производная |
69 |
4. Геометрические и механические приложения производной. Зн чение производной /'(жо) функции у = /(ж) в точке жо равно угловому
коэффициенту к — tg^p касательной ТТ' к графику этой функции, проведенной через
точку М0{:г0, у0), где ?у0 = /(ж0) (рис. 3)
(геометрический смысл произ водной).
Уравнение касательной ТТ1к графи ку функции у = /(ж) в его точке М0(жо, 2/о) име^т вид
У~Уо = 1'(х0)(х - а;0).
Прямая ЛГЛГ', проходящая через точку касания Мо перпендикулярно к касатель
ной, называется нормалью к графику функции у = /(ж) в этой точке. Уравнение нормали
(х - ж0) + / ;(ж0)(у - 2/о) = 0.
Написать уравнения касательной и нормали к графику функ
ции у = /(ж) в данной точке, если: |
|
|||
6.235. у = ж2 — 5ж + 4, жо = |
—1. |
|
||
6.236. у = ж3 + 2ж2 - 4ж - 3, |
ж0 = —2. |
|
||
6.237. 2/ — \/5, жо = |
4. |
|
|
|
к.238. 2/ = tg 2ж, |
жо = 0. |
|
|
|
6.239. у = 1пж, жо = 1. |
|
|
||
6.240. у = е1""'1'2, |
жо = ~1. |
|
|
|
6.241. Написать |
уравнения |
касательной и нормали в точке |
||
М 0(2, 2) к кривой ж - |
-£3-, У = ^2 + |
°' |
||
6.242. Написать уравнения касательных к кривой |
||||
ж = tcost, |
у = |
£ £ |
(—оо, +оо), |
|
в начале координат и в точке £ = 7г/4.
6.243. Написать уравнения касательной и нормали к кривой ж3 + у2 + 2ж — 6 = 0 в точке с ординатой 2/0 — 3-
6.244. Написать уравнение касательной к кривой хь+уъ —2ху —
— 0 в точке М о(1, 1).
6.245. Под каким углом график функции у = ех/2 пересекает прямую ж = 2?
6.246. В какой точке Мо кривой у2 — 2ж3 касательная перпен дикулярна к прямой 4ж — Зу + 2 — О?
6.247. Найти коэффициенты Ь и с в уравнении параболы 2/ = = ж2 + Ъх + с, касающейся прямой у = ж в точке Мо(1, 1).
70 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
х — 4 6.248. Показать, что касательные к гиперболе у = ---- в точ-
х — 2 ках ее пересечения с осями координат параллельны между собой.
6.249. Составить уравнение нормали к графику функции у ~ = — у/х + 2 в точке пересечения с биссектрисой первого коорди натного угла.
6.250. Составить уравнение такой нормали к параболе у — х2 —
— 6ж+ 6, которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.
6.251. В точках пересечения прямой х — у + 1 = |
Ои параболы |
у — х2 — Ах + 5 проведены нормали к параболе. Найти площадь |
|
треугольника, образованного нормалями и хордой, |
стягивающей |
указанные точки пересечения.
6.252. Показать, что нормали к развертке окружности х =
= a(cost + tsint), у = |
a(sini — tcost) являются касательными к |
||||
окружности х2 + у2 = а2. |
|
|
|
||
Углом uj между кривыми у = |
fi{x) и у — /2(ж) в их общей точке |
||||
Мо(ж0, Уо) называется |
угол между касательными |
к этим кривым в |
|||
точке М 0. |
|
|
|
|
|
п |
|
х |
/ 2 (*о) -/{(®о) |
|
|
6.253. Доказать, что tg u = |
; |
— -77-— |
|
||
|
|
|
1 + /х(®о)/2 (*о) |
|
|
Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые: |
|||||
6.254. у — х2 и у = ж3. |
|
|
|
||
6.255. у = |
(ж — 2)2 и у — 4ж — ж2 + 4. |
|
|||
6.256. у = |
sin ж и у = cos ж, |
ж Е [0, 27т]. |
|
||
6.257. ж2 + у2 = 8аж и I/2 = |
тг—— |
• |
|
||
|
|
|
2а — ж |
|
|
6.258. Доказать, что сумма отрезков, отсекаемых касательной |
|||||
к кривой ж1/2 + у1/2 = |
а 1/2 на осях координат, для всех ее точек |
||||
равна а. |
|
|
|
|
|
6.259. Показать, что отрезок касательной к |
астроиде ж2/3 + |
||||
+ у2/3 = а2/3, заключенный между осями координат, имеет по стоянную длину, равную а.
6.260. Найти расстояние от начала координат до нормали к линии у — е2х + ж2, проведенной в точке с абсциссой ж = 0.
6.261. Доказать, что отрезок касательной к трактрисе
а |
Л а + у/ а2 - ж2 |
/-г--- г |
у — - |
1п ---- .--г-.- |
— у а г — хг, |
У 2 |
а - у / ^ ^ с 2 |
|
заключенный между осью ординат и точкой касания, имеет посто янную длину.