Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с
.pdfГ л а в а 6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§1. Производная
1.Определение производной. Дифференцирование явно заданны функций. Пусть Д/(хо, Ах) = /(хо -Ь Ах) — f(x о) — приращение функ
ции у = f(x)в точке £о, соответствующее приращению аргумента Ах. Производной 1-го порядка (или первой производной) функции у = /(х) в точке хо называется предел
f'(x0) = |
lim |
Ах) . |
(1) |
||
3 v |
u' |
д*-»о |
Ах |
|
у ’ |
Числа |
|
|
|
|
|
г ы |
= |
lim |
M s l M |
|
|
J х |
' |
Дх-у-о |
Ах |
|
|
f'+(x0) = |
lim |
Ах |
-^ 1 |
|
|
,/ + v |
' |
Дх->+о |
|
|
|
называются соответственно левой и правой производными функции у =
= /(х) в точке Хо* Для существования производной /'(хо) функции /(ж) в точке хо необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производ ные в этой точке существовали и совпадали, т. е.
f'-(xо) = f'+{xо).
Пример 1. Найти /ЦО) и Д(0) для функции /(ж) = |х|. <1 Имеем по определению
/ i ( 0) = |
lim |
^ |
|
= |
lim |
^ |
= -1 |
Дж->-0 |
Дх |
|
Дж->-0 |
Ах |
|
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
л/ |
|
\Ах\ |
|
Ах |
|
||
/+(0) = |
lim |
—— |
|
= lim |
— |
= 1. |
|
^ |
Да:—>+0 |
Ах |
|
Ах->+0 Ах |
* |
||
Заметим, что функция /(х) = |х| не имеет производной в точке хо = 0. >
52 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Производная функции /(х), рассматриваемая на множестве тех то чек, где она существует, сама является функцией. Процесс нахождения производной называют также дифференцированием.
Таблица |
производных основных элементарных функций: |
||
1. (хаУ = аха~1, |
а ф 0. |
||
2. (ахУ = ах lna, |
a > 0;(е*)' = ех. |
||
3. |
(loga х)' = loga е • X а > 0,а ф 1;(In х)' = -. X |
||
4. (sinx)' = |
cos х. |
|
|
5. |
(cosx)' = - sinx. |
||
6. (tgx)' = |
— . |
||
|
|
COS2 X |
|
7. |
(ctgx)' = |
- — 1 |
|
|
|
Sin2 |
X |
8. (arcsin x)' = - (arccos x)' = |
|||
|
|
|
V I — x2 |
9. |
(arctgxV = -(arcctgxV = -—— |
||
|
|
|
1 + xl |
Правила |
дифференцирования функций: |
||
I. |
Пусть С — постоянная и /(х), д(х) — дифференцируемые фу |
||
ции. Тогда: |
|
|
|
1 . ( 0 ' = 0. |
|
4.(/<?)' = /'<? + /<?'. |
|
2.(/ |
+ <?)' = /' + <?'• 5. ( Л = |
дф 0. |
|
\0/ |
Г |
3. |
(С/)' = С/'. |
|
И. Пусть функция у = /(х) имеет производную в точке х0, а функция г = д(у) имеет производную в точке уо = /(хо). Тогда сложная функция
z = g(f (х)) в точке хо имеет производную, равную |
|
||
|
z'(x0) - g'{Vo)f'(xo) |
(2) |
|
(правило дифференцирования сложной функции). |
|
||
Пример 2. Найти производную функции z = log3 (arcsinх). |
|
||
<1 Полагая z — log3 у и у = arcsin х, имеем |
|
||
г'(у) = l0g3 е • - и |
у'(я) = |
|
|
|
У |
v ' |
|
Отсюда, согласно (2), получаем |
|
|
|
• А х ) |
log3 е |
1 |
|
arcsin х |
у/\—х2 |
|
|
|
|
||
|
§ 1. |
Производная |
53 |
Найти Д/(хо, |
Ах), если: |
|
|
6.1. f(x ) = ж3, |
хо = 1, |
А х = 0,1. |
|
6.2.f(x ) = ^/ж, а'о = 0, Аж = 0,25.
6.3.f(x ) — lg ж, хо — 100, Ах = —90.
Найти Д/(жо, Аж) как функцию Аж, если:
|
|
|
7Г |
|
|
|
6.4. /(ж) = |
sin ж, |
ж0 = |
-• |
|
|
|
<1 Имеем |
|
|
|
|
|
|
Д / (^, Да:) = |
sin ( | |
+ Д х ) |
- sin | = |
|
|
|
|
|
|
Л . Д х |
/ 7Г |
Д а Л |
Л . о Д х |
|
|
= 2 sin — -cos |
-- -f — - |
= - 2 sin — |
||
|
|
|
2 |
\2 |
2 ) |
2 |
6.5.f(x ) — x2, жо = —1.
6.6./(ж) = ex, ж0 = 1.
6.7./(ж) = log2(ж), ж0 = 1.
Пользуясь только определением производной, найти / '( ж): 6.8. f(x ) — ctgz.
<1 Имеем: |
|
|
|
|
|
(ctgI) ' = lim |
ctg(* + |
A* ) - ct g* = |
l i m --sin(-<\*)_ |
_ |
|
Да;—>0 |
|
AxДж—>0 Ax sin x sin (x -f* Ax) |
|
||
|
|
|
= — lim |
1 |
1 |
|
|
|
|
sin2 ж |
|
|
|
|
Дж—>o sin x sin (x -f* Ax) |
||
6.9. f{x) |
= |
xz |
6.10. f{x) = |
y/x. |
|
6.11. f{x) |
= |
2 X. |
6.12. f(x) = |
log2 X. |
|
6.13. Известно, что /(0) — 0 и существует предел |
fix ) |
||||
lim --- . |
|||||
х —>0 X
Доказать, что этот предел равен /'(0).
6.14*. Доказать, что если f(x) имеет производную в точке жо,
,.xf{x о) - ж0/(ж) |
ct |
х |
tu |
ч |
||
то hin |
-------------- |
= f(x 0) - хof (Хо). |
||||
x->x0 |
X — Хо |
|
|
|
|
|
Для |
заданной f(x ) |
найти |
f'_(xо)и f +(xf о): |
|||
6.15. |
f(x ) |
— \х — 1| |
4- \х+ |
1|, .то |
= ±1. |
|
|
» |
( X, |
|
X ^ 1, |
|
|
|
/ W |
= | _ t 2 + 2XI |
ж>11 |
«. = 1. |
||
54 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
<3 Имеем
|
f _ m = |
lim |
/ м - / а > |
= |
lim |
i |
|
|
|
|
х—>1—О |
X — 1 |
|
ж—>1—0 X — 1 |
|
/;(1 )= |
lim |
/ W - / ( l ) . |
,im _ £ l ± 3 l z l = _ |
lim ( l _ 1) = o . > |
|||
т |
г-»1+0 |
X - |
1 |
x—»1+0 |
£ — 1 |
x—»1+0 |
|
|
|
, 0, |
X ^ 0, |
|
|
|
|
6.17. f[x) = •{ |
о i |
x > 0, |
£0 = |
0. |
|
||
|
J y ' |
1 x2 \nx, |
|
|
|
||
6.18. f(x ) = y/l — e~x2, xo = 0.
Г 0, |
|
x = 0, |
|
6Л9' № , = 1 г ^ |
' |
* ’ “ >• |
1 0 = 0 - |
6.20*. Показать, что функция |
|
||
f(x ) |
= |
{ xsin |
x ^ 0’ |
|
|
[О, |
x = О, |
непрерывна при х = 0, но не имеет в этой точке ни левой, ни правой производной.
Найти производные следующих функций: |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
5г5 |
6.21. у = |
3 — 2 х + -ж4. |
6.22. у= |
--- |
||||
|
|
|
|
3 |
|
|
a1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
г — 1 |
|
6.23. у = |
-----j - - g . |
6.24.у = |
— — . |
||||
|
|
X |
Хг |
X6 |
|
X + 1 |
|
6.25. у — ■ |
— . 6.26. у = (ж2 — 1)(а:2 — 4)(ж2 + 9). |
||||||
|
|
ж |
ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6'27‘ v |
|
V' S |
' |
6'28' s _ |
i3 |
+ 3 x - l ' |
|
6.29. „ |
= |
« |
+ |
|
|
|
|
|
|
Ух* |
ъ |
у |
c + dx |
||
|
|
|
2 |
1 |
|
2 + J~x |
|
6.31. у |
= ---- - - |
6.32. у = |
— |
^=. |
|||
|
|
2х — 1 |
х |
|
2 — va; |
||
6.33. у = |
(у/х - |
1) |
+ 1^ . 6.34. у = |
Зх/х2 — 2\/х^. |
|||
§1. Производная
6.35.у = (3\/ж2 + 6</ж) № . 6.36. у =
|
|
|
|
|
|
'X 3 |
\/х2 ' |
|
6.37. у = |
X3 ctg .Т. |
|
6.38. у = |
tgx |
|
|||
6.39. у |
COS X |
|
6.40. у — у/х sin x. |
|||||
1 + sin x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
6.41. у — х<Ух2(2 Ina: - 3х). |
6.42. у = |
|
x |
|||||
За: log2 х + — . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ех |
|
6.43. у = |
2 sin а; — 3 tg.T. |
6.44. у = |
S111 Æ — COS ГГ |
|||||
|
|
|
|
|
|
sin ж + cos x |
||
6.45. у = |
а:3/2 s/ж5 + a. |
6.46. у = |
1 |
|
||||
1 + а;2 ’ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
. |
За; |
|
6.48. у = |
2а; |
|
||
6.47. у = sin ■ |
|
6 cos |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
6.49. у - |
(1 + 4 т 2)3. |
6.50. у = |
У(1 + Зж2)3. |
|||||
|
. |
о |
X |
6.52. у = |
VT+sin4æ - л/1 — sin4æ. |
|||
6.51. у — sin |
|
- . |
||||||
6.53. у = x arcsin ln x. |
6.54. у = |
cos2 ( ! |
“ ! ) • |
|||||
6.55. у = |
\/(1 + sin2 ж)3. |
6.56. у ~ х2е~2х. |
|
|||||
6.57. у = |
ех'/3 cos2 |
|
|
|
|
|||
6.58. у = |
- \/.т2 + a + - ln (x Н- л/х2 + a). |
|
|
|||||
|
ù |
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + X |
||
6.59. у = |
l ntg(^ |
+ | ) . |
6.60. y = ln |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 — X 2 . |
||
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
6.61. у |
|
|
|
|
6.62. y = |
1 + tg |
( x+ i ). |
|
6.63. у = |
cosu |
|
|
6.64. y = |
>/sin \/ж. |
|||
6.65. у = |
arctg (x — VT+ai2). |
6.66. y = |
arccos b + a cos a; |
|||||
|
|
|
|
|
|
a + bcos a; |
||
6.67. у - |
y/xex/2. |
|
6.68. y = |
2a: |
|
|||
6.69. у _ |
2х/ |
|
x |
|
6.70. y = |
|
|
|
6.71. у = |
з21. |
|
6.72. y = ln x • lg .t — !n a • loga x |
|||||
56 Гл. б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
6.73. у = log2 In 2х. 6.74. у = е7 М «*2+^+с). 6.75. у = lnarctg у/1 + х2. 6.76. у — ln (х + \/а2 + ж2). Найти производные гиперболических функций:
|
Q X _ ^ х |
|
|
|
6.77. sh.T = |
--- |
-- |
(гиперболический синус), |
|
6.78. chx — --- --- |
(гиперболический косинус), |
|||
1 |
shx |
|
|
|
6.79. tax — —— |
(гиперболический тангенс), |
|
||
|
ch х |
|
|
» |
|
ch x |
. |
. |
|
6.80. ethx = |
—— |
(гиперболическии котангенс). |
||
|
sh х |
|
|
|
Логарифмической производной функции у = /(х) |
называется про |
|||
изводная от логарифма этой функции, т.е.
(In у)' = — .
У
Применение предварительного логарифмирования часто упрощает вычи сление производной.
Пример |
|
|
|
|
|
х(х —1) |
3. Найти производную функции у — \!---- — . |
||||||
|
|
|
|
|
|
х — 2 |
<1 Так как функция определена при х £ [0, 1] и (2, -Ьоо), то |
||||||
|
|
1пу = ^(1пх + 1п |х —1|- 1п \х —2|). |
||||
Отсюда (см. пример 6.117) |
|
|
|
|||
|
|
|
у' |
1 / 1 |
1 |
1 |
|
(1п|/)' = г |
= 0 : + |
х —1 |
х —2 |
||
|
|
|
у |
2 \х |
||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
у |
/ / |
1 4 / |
х2 - 4х + 2 |
||
|
= |
(Inг/) |
-у = — = |
= = |
= . > |
|
|
|
|
|
2ух(х - 1)(х - 2)3 |
||
Пример |
4. Найти производную сложно-показательной функции |
|||||
<1 Логарифмируя, получим ^так как 1 Н— > 0j
§ 1. Производная |
57 |
Отсюда находим производные левой и правой частей
(In у)' = — = |
ln f l |
+ |
1 |
у |
\ |
х ) |
14- х |
Следовательно,
у' = (1п</)'•# = (1+ ■) (!п(г + ; ) - г г
Используя предварительное логарифмирование, найти произ водные следующих функций:
|
(х 4-1)15 Ч . |
6.82 |
V |
хь |
|
у/{х — 1)2(2ж + 1)" |
' |
■ у |
(х + 2 ),/х~=~2 ' |
6.85. у = Xх. |
6.86. |
у = |
х2* . |
|
6.87. у = |
\Гх%*. |
6.88. у = |
(Inж)1/*. |
|
6.89. у = |
(sina;)arcslnx. |
6.90. |
у — Xх*. |
|
6.91. у = |
• |
6.92*. у = хх2 + Х2* + 2Х*. |
||
Вводя промежуточные переменные, вычислить производные заданных функций:
6.93*. у = ln (cos2 х + y/l + cos2 x).
6.94. у = |
(arccos ж)2 ln (arccosж). |
|
|
||
Л Л_ |
e~x2 arcsin (e~x2) |
1 — a2x |
|||
6.95. у = |
--- ■ |
r |
— . |
6.96. у = •— |
x arctg a x. |
|
y/l _ |
e~2x |
|
1 + a |
|
6.97*. Пусть |
|
|
|
|
|
|
п |
\ |
f ж2 + 2ж, |
ж s$ 0, |
|
|
/(®) = |
1 ах 4-6, |
ж > 0. |
|
|
|
|
|
l« |
|
|
Найти коэффициенты а и Ь так, чтобы функция /(.т) была непре рывна и дифференцируема в любой точке.
6.98. Пусть
/ м = { й ’ |
|х| г |
[ ах2 4-6, |
|ж < 1. |
Найти коэффициенты а и Ь так, чтобы функция /(ж) была непре рывна и дифференцируема в любой точке.
58Гл. 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Найти производные следующих функций:
6.99. у = |
6.100. у = \Jx + \[х + у/х. |
6.101. // = т+^/(1 - ж ) т (1 + ж)п.
6.102. у — sin (cos2 х) cos (sin2 х).. 6.103. у7/ —=
cosn т х
6Л04-’' |
= © |
1 |
|
а' ь > 0 - |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
_ |
л/9 |
6.105. у |
— ln (lnu т х). |
|
6.106. у — — -р In — -р----— . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2у 6 |
хуЪ + у 2 |
||
6.107. у |
= |
log2 sin^27гх + — |
|
6.108. у — arctg (tg2 х). |
|
|||||
6.109. у |
— logx е. |
|
|
6.110. у = (sinx)C0S,T. |
|
|
||||
|
|
|
г»2 |
|
|
|
|
|
|
|
6.111. у — >/^Sin Т- |
|
|
6.112. у = i/cosx • а^с |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6.113. у — ln (shж) + т—г— . |
|
6.114. у — arctg (thx). |
|
|
||||||
|
|
|
|
а sn X |
|
|
|
|
|
|
6.115. у = |
е~х sh аж. |
|
|
6.116. у = |
arccos |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
chx |
|
|
6.117. у — In \х\. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
О Функция у — In |х| определена Vx £ |
М, х ф 0, и |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
х > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
-х), |
х < 0. |
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
х > 0, |
|
|
, |
|
|
|
|
(1п|х|)'=< |
® |
|
т.е. |
(In |х|)' — —, |
х ф 0. |
> |
|
|||
|
|
I - , * < 0 , |
|
|
х |
|
|
|
||
|
|
^х |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.118. у = |
arcsin —т. |
6.119. у — |s in d . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|х| |
|
|
|
|
|
|
|
6.120. у — |arctg х\. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.121. у = |
[х]х, где [х\— целая часть числа х. |
|
|
|
||||||
<3 Функция у |
= [х]х определена Vx £ |
М. Если А; £ Z, то у |
= |
А:х при |
||||||
х £ [fc, /с -f 1). Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
у' = к, |
х е |
(к, к + 1), |
|
|
|
||
а в точках х = А;, /с £ Z: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
/ц *о |
= * - 1, |
/;(*) = * . > |
|
|
|
||
|
|
§ 1. Производная |
|
59 |
||
|
Г 1 — х, |
х |
^ О, |
|
Г х. |
х < О, |
М п -» - { « - , |
х > 0. |
“ » » |
“ { ь .(1 + ж), |
х ^ О. |
||
|
х2е~х2, |
|ж|^1, |
|
|
||
6.124. у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\х\> |
1. |
|
|
|
J1 |
|
|
|
|
|
М 2 , . у _ |
_ у |
_ |
_ |
|
|
|
6.126. у = |
(х — a i)“ 1(х — а^)®2■. .(х — an)an. |
|
||||
6.127. у = |
ах" . |
|
|
6.128. у = |
(logx a)x. |
|
|
|
|
|
|
( I \ Ф |
|
|
|
|
|
|
1/х |
|
6.129. у — sin (sin (sin x)). |
6и.130о.. у„ = (( ^—)) |
|
||||
6.131. у = |
In 3 • sin х + cos x |
|
|
|||
|
|
3х |
|
|
|
|
|
щ ах |
1 sin3ах |
|
|
||
6.132. у = |
3cos6x + |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
cos3 bx |
|
|
6.133. Доказать, что производная четной функции — функция нечетная, а производная нечетной функции — функция четная.
6.134. Доказать, что производная периодической функции есть функция также периодическая.
6.135*. Найти f f(xо), если f(x) = (х — хо)<р{х), где функция (р(х) непрерывна в точке X Q .
Пусть ср(х) и 'ф(х) — дифференцируемые функции. Найти про |
||||
изводные следующих сложных функций: |
|
|||
6.136. у = у/<р2(х) + ф2{х). |
6.137. у = arctg |
|||
|
|
|
|
Y\X) |
6.138. у = ^(x)vix\ ф{х) > 0. |
|
|
|
|
6.139. у = lo g ^ ф{х), |
ip(x) > |
0, |
ф(х) |
> 0, <р(х) ф 1. |
<1 Перейдем к натуральным логарифмам: |
|
|
||
, |
,/ |
N |
1пф(х) |
|
» = 10e ,(,)T»W = j ^ |
- |
|||
Отсюда находим
, _ |
{Ф'{х)1Ф{х)) \пу{х) - (у'{х)1у{х)) 1пф(х) |
^ |
In2 tp(x) |
60 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Пусть f(x ) — произвольная дифференцируемая функция.
Найти у: |
|
6.140. у — f(\nx). |
6.141. у — In (f ( x )). |
6.142. у = f{ex)e^x\ |
|
<1 Имеем |
|
у1 = f ( e x)exef{x) + f(ex)ef ^ f'(x) = ef ^{exf'(ex) + f'(x)f(ex)). >
6.143. y = f{ f(x )).
2. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметр чески. Говорят, что функция у = /(х), х Е (а, 6), неявно задана урав
нением F(x, у) = 0, если для всех х Е (а, Ъ)
F{x, f(x)) = 0. |
(3) |
Для вычисления производной функции у — f(x) следует тождество (3) продифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную функцию х), а затем полученное уравнение разрешить относительно f\x).
Пример 5. Уравнение х2 + у2 = 1 неявно определяет на интервале (—1, 1) две функции:
yi(x) = ч/ T^lr2,
2/2 0е) = -\/1 - ж2.
Найти их производные, не используя явных выражений (4).
О Пусть у(х) — любая из этих функций. Тогда, дифференцируя по х тождество
х 2 + У 2{х) = 1,
получим
2х + 2y(x)yf(x) = 0.
Отсюда
|
|
// ч |
х |
|
|
|
|
|
><*> = ~ Ф У |
|
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
» ! ( * ) = - Г 7 ^ |
= — * = = * > |
2/2 (^) = |
У1 |
{х) у/1 |
- X 2' |
|
2/1(а:) |
л/1 |
- Х 2 |
|
|||
Пример 6. Вывести правило дифференцирования обратной функ ции.
О Если х = 1(у), у £ Е, — функция, обратная к у = /(х), х Е Л, то для всех у Е Е выполнено равенство
/(/_1Ы)-|/ = о.