Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

.pdf

Скачиваний:

3297

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

8.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 445 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 5. Комплексные числа

Найти действительные решения следующих уравнений: 5.430. (1 + г)х + (-2 + Ы)у = -4 + 17*.

5.431. 12((2ж + *)(1 + *) + + У)(3 - 2t)) = 17 + 6*. Решить следующие системы линейных уравнений: 5.432. (3 — i)z\ “Ь (4 “1 2i)z2 — 1 4“ 3z.

(4 2i)z\ — (2 -f-3z)^2 — 7. 5.433. (2 + i)zi + (2 - i)z2 = 6.

(3 4- 2i)z\ + (3 — 2z)^2 — 8. 5.434. iz\ + Z2 = z.

(z + 1)z\ + (1 — i)z2 — 1 + z.

Если на плоскости введена декартова прямоугольная система коор динат Оху, то всякому комплексному числу z — х Н- iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М (ж, у) с абсциссой ж и

ординатой у. При этом говорят, что точка М(ж, у) изображает ком плексное число z — х + iy.

Плоскость, на которой изображаются кохмплексные числа, называется

комплексной плоскостью, ось Ох — действительной осью, а ось Оу -- мнимой осью. _______

Число г = \Jх2 + у2 называется модулем комплексного числа z =

= хЛ-iy и обозначается символом \z\. Модуль числа z равен расстоянию точки М, изображающей это число, от начала координат.

Всякое решение (р системы уравнений
х	у
COS у = —; = = = , sin Ip =	—r = = =	(4)
yjx1 + yz	\Jxl + yz

называется аргументом комплексного числа z — х + iy ф 0. Все ар гументы числа z различаются на целые кратные 2т: и обозначаются единым символом Arg z. Каждое значение аргумента совпадает с ве личиной (р некоторого угла, на который следует повернуть ось Ох до

совпадения с радиус-вектором О ill точки М (при этом (р > 0, если пово

рот совершается против часовой стрелки, и < 0 в противном случае). Значение Argz, удовлетворяющее условию 0 ^ Argz < 27т, называется главным значением аргумента и обозначается символом arg z.

В некоторых случаях главным значением аргумента называется зна чение Arg г, удовлетворяющее условию —7г < Arg г ^7г.

Из соотношений (4) следует, что для всякого комплексного числа z справедливо равенство

г = |z|(cos + i sin<p),

называемое тригонометрической формой числа г.
Пример	1. Представить в тригонометрической форме комплексное
число z = —2 + 2г\/3.
<3 Имеем
k l =	y j{~2)2 + (2%/3)2 = 4, cosyj = - i , sin </? =	,


42			Гл. 5.		Введение в анализ
поэтому	главное	значение		аргумента равно argz = 27г/3 и, следова-
тельно,	« (	27Г	. .	27г\
	Z — 4 1cos —		+ г sin —		1. >

Следующие комплексные числа представить в тригонометри ческой форме и изобразить точками на комплексной плоскости:

5.435. -г.	5.436. 1 - iy/3.	5.437. - - + i^ -.
		z	z
5.438. -— т.	5.439*. — cos ^ + г sin
1 + г	7	7
7Г	7Г '	7Г	7Г
5.440. sin — + г cos —. 5.441.		1 + cos — + г sin —.
O	O	i i

Комплексное число х —iy называется сопряженным комплексному числу z = х + iy и обозначается символом г.

Доказать следующие равенства:
5.442.	г	+ z=	2 Re г	иг— г= 2г Im z.
5.443.	(?)	= г.5.444. \z\—\z\.			5.445. 21 + 22 = z\ + 22.
5.446. Z\Z2 =		2122	и f — )	= — .	5.447. 22 — \z\2.
			V2o /	Zo

5.448. Вычислить:

\2 а) ^12:2 и ^22/ ? если 21 = 1 — гл/З? 22 = л/3 + г;

б) ^1^2 и — , если 21 = 3 + 2г, ^ = 2 + 2г. 22

5.449. Пусть р(г) — произвольный многочлен с действитель ными коэффициентами. Доказать, что для любого z € С верно

равенство р (г) = р(г).

Решить следующие уравнения:

5.450. \г\— г = 1 + 2г. 5.451. \г\+ z ~ 2 + i.

5.452.	Доказать равенства		и выяснить	их геометрически
смысл:		N .
	21	N .
а) 121221=	\z\I • \|г2\|,
	22	Ы	’
б) Arg 21 + A rg z2 = A rg(zi*2),			A rgz\- A rg22 = Arg ( — )
				4 22/
(равенства б)	понимаются в смысле равенства			множеств — см.
с. 9).

	§ 5. Комплексные числа	43
Выяснить геометрический смысл следующих преобразований
комплексной плоскости:
5.453. 2 —> z — 2.	5.454. z —» z + (3 — г).	5.455. z —> iz.
v/2
5.456. z —> “^ (1 ~ ^2. 5.457. z—> — z.		5.458. z —> 2z.
5.459. z —> — — .	5.460. z —>z.
1 — г

5.461. Доказать, что:

а) величина |zi — Z21 равна расстоянию на комплексной плоско сти между точками М\ и М 2, изображающими комплексные числа z\ и z2;

б)	\zi + Z2\<	kl\| + Ы	И \|zi - Z21>			Ikil - \|z2\|\|
( н е р а в е н с т в а		т р е у г о л ь н и к а ) . Каков геометрический смысл
этих неравенств?
5.462. Доказать тождества:
а)	\z\+ z2 \2 + \|zi - z2 12 =			2(\|zi\| + \z2\2)
(каков его геометрический смысл?);
б)	i , l I	zi + z 2	,	,---	,	zi	+ 22	,---
б)	j^il + \z2\= — -—		+ y /z^		+	—	---- sfzvz2

В задачах 5.463-5.473 дать геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим

условиям:
5.463. Re г ^ 0.		5.464. 0 ^ lm z <		1.	5.465. \|1тг\| < 2.
5.466. \z\< 1.			5.467. \z + i\=		2.
5.468.	1 < \z + 2\|	^ 2.	5.469. \|г\| > 1 - Re 2.
5.470.	\z — i\= \z + 2\|.		5.471. 0 <	arg2 ^ 7t/4.
5.472.	17Г— argz\| < 7t/4.		5.473. z =	z.

z — 1

5.474. Пусть z ф —1. Доказать, что Re ■— ^= 0 <=> |z| = 1.

Пусть <p — произвольное действительное число. Символом ег<р обо значается комплексное число cos <р + г sine/?. С помощью этого обозначе ния всякое комплексное число z = \z\(cos(p+i sin у?) может быть записано в показательной форме

z = \z\ei(p.

Представить в показательной форме следующие комплексные числа:

7 -I- 24г
5.475. — ^---------------------------------	. 5.476. 5 - 1
5
5.478. —2 + г.	5.479. sin а — г cos а.

5.480. sin а + г(1 — cos а).

44	Гл. 5. Введение в анализ
5.481. Доказать,	что символ ег(р обладает следующими свой
ствами:
a) el2nn = 1 (Vn £ Z); б) ег<^=
в)	и —:— = ei^l ~4)2\
'	(Лф2

5.482. Данные числа 2i и 22 представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:

	г2	если z\=		2л/3 — 2г, 22 =
а)	z i22,	если z\=		2л/3 — 2г, 22 =			3 — 3\/3г;
	22
б) 2??2, — , если z\ =				— л/2 + г\/2, 22 = у/8 — г\/8.
	21
5.483. Доказать формулы Эйлера
			-\| e~i(P				ei(f __ e~i(P
	cos(p = --- ---- ,					sin cp =	--- —--- .
				Z			ZZ
5.484. Доказать			формулу Myaepa: если 2 = гег</?, то
				2П -		r V n*,
или, в тригонометрической форме,
			zn = гn(cos пср + гsin тир).
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
5.485. (1 + г)10.				5.486.		77—
						(1 - %у
5.487.			•	5.488. (1 + г)8(1 - г ^ ) _6.
5.489. Доказать равенства:
а)	(1 + г)п “	2П//2 ^cos ^			+ г sin		;
б)	(л/3 — г)п —		(cos		— г sin		.
5.490. Используя формулы Эйлера, выразить через косинусы и
синусы кратных дуг функции:
a)	cos3 (р; б)	sin3 ср.
Используя формулу Муавра, выразить через cos ip и sin<£> сле
дующие функции:
5.491. cos3(р.			5.492. sin3ip.
5.493. cos4</?.			5.494.	sin 4ср.

				§ 5. Комплексные числа,					45
Пусть a = гег</?, а ф 0, — фиксированное комплексное число. Тогда
уравнение z n =		а, п		ё	N, имеет в точности п			различных решений zo,
Z\ , . .	zn - 1, причем эти решения даются формулой
	ПГ		+		J —	пГ (	(p + 2nk	. . ip + 27гА:\
	zk = >/r е Vn			n	J —	yr I cos--------------- + г s in ----- ,
						\	n	n	J
					k =	0, 1, ...	, n — 1
(здесь	y/r — действительное					положительное		число). Числа z*., k —

= 0, 1, .... n — 1, называются корнями n -йстепени из комплексного числа а и обозначаются символом у/а.

Пример 2. Найти все корни 3-йстепени из числа а — —2 + 2г\/3.

	. 27Г		/ 27Г	27Г \
< Так как а = 4егз = 4 I cos — + г sin — J , то
(^5)* = ^4 ег(^ +^		Л) = ^4 (cos( у + у * )			+	+ Ц к
где к = 0, 1, 2.
			27Г	27Г
			(cos —	+ г sin —
При к = 1:	(\/а)\ =		\/~А^cos	+ г sin
При к = 2:	(\/а)2	=	^4 ^cos	+ г sin	• >

5.495. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корн* 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.

Найти все значения корней:

5.496.	>Д.	5.497.	5.498. ^ 9 .
5.499.	y /- l + iy/Z.		5.500. \/2\/3 + 2г.
5.501.	^-1 - г.		5.502. v7! + г\/3.
5.503.	У (2	- 2г)4.

5.504. Доказать, что квадратные корни из комплексного числ могут быть найдены по формуле

z + х	,	\z\— х
sfz = y/x + iy = ± [\ — -—	+ isgny

46	Гл. 5. Введение в анализ

Использование показательной формы комплексных чисел во многих случаях значительно упрощает вычисления.

Пример 3. Привести к виду, удобному для логарифмирования:

S(<p) = sin(р -f sin 2<p-f ... -f sinmp, (р ф 2тгт, m £ Z.

<3 Так как s i n ^ — Ime?</?, то, используя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:

S(ip) = Im eitp + Im + ... + Im

= Im (ei(p + + ... + ein(p) =

sin (nip/2)	_ sin (mp/2) sin ((n -f l)/2 )ip	. >
sin (ip/2)	sin (ip/2)

Привести к виду, удобному для логарифмирования: 5.505. cos tp + cos 2ip + cos 3ip + ... + cos nip.

5.506. cos ip + cos 3ip + cos hip + ... + cos (2n — 1)ip. 5.507. sin (p + sin 3cp + sin 5ip + ... + sin (2n — 1 )cp.

2.Многочлены и алгебраические уравнения. Многочленом (полин

мом или целой рациональной функцией) п-йстепени называется функция вида

pn(z) = anzn + anizn 1+ ... + a\z + a0,		(5)
где г Е С, ао, ах, ...,	ап — коэффициенты (вообще говоря, комплекс
ные), причем ап ф 0,	п Е N. Уравнение
\Z ~b CLfi—\Z -f-• • • ~h CL\Z+ CLo — 0, Cl-лф 0,		(6)

называется алгебраическим уравнением п-йстепени. Число ^о, для ко торого рп{^о) —0, называется корнем многочлена (5) или уравнения (6).

Теорема Г ау сс а (основная теорема алгебры). Всякий много член ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще говоря, комплексный).

	Число 2о является корнем многочлена рп(г) в том и только в том
случае, когда рп(г) делится без остатка на бином г —го, т. е.
	Pn(z) = (z - z0)qn-i(z),
где	— многочлен (п — 1)-й степени. Если рп(г) делится без

остатка на (г —го)к, 1, но не делится на (г —^о)^-1-1, то го называется корнем кратности к многочлена рд(г); при этом

p„(z) = (z- z0)kq„-k(z),

где qn-k(zo) ф 0.

§ 5. Комплексные числа	47
Теорема Гаусса может быть уточнена следующим образом:	много

член n -й степени имеет ровно п корней, если каждый корень счи тать столько раз, какова его кратность.

Если коэффициенты многочлена (5) — действительные числа и zo = =■хо + гуо — его комплексный корень, то сопряженное число ZQ = XQ — ~ iyo — также корень этого многочлена, причем корни zq и zq имеют одинаковую кратность (см. задачу 5.449).

Пусть многочлен pn (z) имеет корни zi, z2, • . zm (т ^ п) кратно

стей соответственно fci, k2, . . кт (к\+ к2 + ... -I-кт = п). Тогда его можно разложить на линейные множители, т. е. справедливо тождество

Pn(z) = an(z - zi)kl (z - z2)k2 ... (z - zm)km.

Если при этом коэффициенты многочлена — действительные числа, то, объединяя скобки, соответствующие комплексно сопряженным кор ням, можно разложить этот многочлен в произведение линейных и ква дратичных множителей с действительными коэффициентами.

Пример 4. Найти корни многочлена z6 -1-2z3 + 1 и разложить его на множители.

<3 Так как zQ+ 2z3 +l — (z3 +l)2, то корнями этого многочлена являются корни 3-йстепени из —1:

zi = - 1;
7Г	. . 7Г	1	.д/3
22 = cos - + ism- = 2 +г“У				;
7Г	. . 7Г	1	.л/3
— cos —- гsin —— - - г —			.	2
3	3	2		2
При этом каждый корень имеет кратность к =				2. Разложение этого
многочлена на линейные множители имеет вид
+ 2z3 + 1 = (z + 1)

Объединяя последние две скобки в один сомножитель, получим разложе ние на множители с действительными коэффициентами

г6 -1-2г3 + 1 = (г + 1)2(22 - г + I)2. >

Решить квадратные уравнения:

5.508. г1 + 2г + 5 = 0. 5.509. 4г2 - 2г + 1 = 0.

5.510. г2 +	(5 - 2г)г + 5(1 - г) = 0.
5.511. г2 +	(2* - 3)г + 5 - г = 0.
Решить двучленные уравнения:
5.512. г3 -	1 = 0.	5.513. г3 + 1 =	0.
5.514. (х +	I )4 - 16 = 0.	5.515. (г +	I )4+ 16 = 0.


48	Гл. 5. Введение в ана/гиз
Решить биквадратные уравнения:
5.516. г4 + 18z2 + 81 = 0.		5.517. z4 + 4z2 + 3 =	0.
5.518. z4 + 9z2 + 20 = 0.
5.519. z4 -	(1 + i)z2 + 2(1 + 1) = 0.
Решить трехчленные уравнения:
5.520. zG+ 4z3 + 3 = 0.		5.521. z8 + 15z4 - 16 =	0.
5.522*. Показать, что все корни уравнения

<— >

действительны и различны.

Следующие многочлены разложить на линейные и квадратич ные множители с действительными коэффициентами:

5.523. г4 - 1. 5.524. г4 + 1. 5.525. г4 + z2 + 1.

5.526. z4+4z3+ llz 2+14z+10; известен один корень z\ — — 1+г. 5.527. z5 + z4 + z3 — z2 — z — 1; известен двукратный корень

21 = г2 =	1	.v/3
	_ 5 + > т .
5.528. z4 + 6z3 -f 9z2 + 100; известен корень z\ = 1 + 2г.
3.	Предел последовательности комплексных чисел. Число а наз

вают пределом последовательности комплексных чисел {zn)nem и пишут

lim zn = а, если для любого е > 0 существует номер N[e)							такой, что
п —>оо
при п >	N(e)	выполняется неравенство \|zn — а\< е.
Последовательность (zn)n£N называют сходящейся к бесконечности
и пишут lim		zn =	оо, если для любого Е > 0 существует номер N (E )
	п —>оо
такой, что при 71 >			N (E )	выполняется неравенство \zn \> Е.
5.529. Пусть хп — Kezn и уп = Im zn. Доказать, что							lim	zn —
							n—>00
= а ф оо тогда и только тогда, когда						lim хп = Rea и	lim	уп =
						п—>оо	п—>оо *
— Im а.
5.530. Пусть			lim zn = а ф оо и			lim -ш71 — b ф оо.	Доказать,
что:		п—>оо			п—>оо
что:
а)	lim (zn + гуп) =			a + 6;	б) lim	znwn = ab.
n —>oo					ra->oo
5.531. Пусть			lim	= a	^ оо и	lim wn = b Ф 0.	Доказать,
		?г~>оо				n —>oo
r		a
что lim —		— —.
n->oo		6

§ 5.

Комплексные числа

Вычислить пределы:

1 - in

5.532.

lim

( 2 — г Ч—

(1 + г)

5.533.

l i m - ---

п—»00 у

п—>оо 1 + гп

с со .

i:„

•

in 2

г гос

1:„

(п

+ 2г)(3 + 7т )

5.534.

lim

5.535.

lim

п->оо Зп + 2

n z + п —4г

п-юо

(2 — г)гг + 1

in \

1 •

тг

5.536.

lim

I 1 Н-- ). 5.537.

lim

- е ш 4 .

71—ЮО V

П /

71—ЮО

5.538.

lim

(2i)n.

5.539. lim [2п + г ( 1 - -

П —>00

72—ЮО V

5.540.

lim

( -77 —

— + . . . +

(бг)’1

n-юо

5.541.

5.542.

(

1\п\

lim

У)

—г.

lim

( n s in

— f-i

I 1

-I—

I I.

n->oofe=03 ft

n->oo

n y

3 4- 2?4 "

5.543.

lim

7^—

r r p

5.544. lim

11 + ---

n—>00 i

n->00 y

“ '

fc—Q (2 — ôi)K

Доказать, что следующие последовательности ограничены, но

расходятся:

5.545.

г71.

5.546. гп -

(-1)п +

- п

1 \

П 7Г

5.547. zn =

{ 1 + - J е г

2 .

5.548. гп -

-(гп + (-1)п).

Показать, что следующие последовательности неограничены,

но не сходятся к бесконечности:

•7ГП

5.549.

— п(1 + гп).

5.550. zn = (ег 2 — г) Inn.

5.551.

Пусть тп — \zn\и cpn — argzn. Доказать, что

lim

zn = a

n —ÏOO

(0 < lai <

oo) тогда и только тогда, когда lim тп — |а| и

lim

tpn ~

П—НУО

п —>оо

— arg а (при надлежащем выборе области главных значений аргу ментов).

Результат задачи 5.551 часто используется при вычислении пределов комплексных последовательностей.

Пример 5. Пусть ip— действительное число (</? ф 0). Доказать, что lim ( 1 + — ) — cos ip-f-i sin tp —ещ.

Гл. 5.

Введение в анализ

< Рассмотрим две действительные последовательности:

Л \п/2

Гп =

= 11+ ^

ipn = arg ( 1 + — ]

= п arg (1 + — ] = n arctg —.

n j

Вычислим их пределы:

24n2/V2\v2/(2n)

Jg-

lim

rn — lim

I I

lim

1 ( 1 +

----

n —>oo

n —>oo \\77,2

ipn — lim

arctg (ip/n)

n arctg ~ — cp hm

---- ----= <p.

n —уоо

n —Уоо

n —>oo

Отсюда получаем

lim ( 1 + —

)

= 1 • (cos ip + i sin ф) =

егср. О

П-400 у

f l

)

5.552. Пусть z =

х + гу. Доказать (см. пример 5), что

z\n

lim

f l

—)

ex(cosy + г sin у) = ех+гу — ez.

71n —t>00oo IV i

71/

Доказать сходимость следующих последовательностей и найти

их пределы:

5.553. zn

zn, \z\< 1.5.554.

- n zn,

|г| <

5.555. zn

1 + z + ... + zn, |z|

<1.

5.556. zn ~ -

■ 7r~> |z|

> 1.

1 -f

1 |

—|—

5.557. Вычислить

lim

------------- если \z\\< 1 и l^l < 1.

n—HX)l+*2 + . . . + zg'

1 1

5.558. Пусть

lim

zn =

a ф oo. Доказать, что

71—>00

lim

Zi + ^2 + • . . + 2n

-------------- = a.

71—►OO

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 445 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебник по математике Ч2

#
23.02.2015201 б48Прочтите это!.txt
#
23.02.20158.57 Mб3297Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с.pdf