Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

Ответы и указания

421

10.182. г

-

<р +

10.183. 2х2 + Зу2

=

С 2.

10.184. х2 + 2t/2 =

С 2.

10.185. у

-

С

10.186. х + у2

=

С .

10.187. Т

=

а + (Г0 - a)t -И

10.188. Через 40мин.

10.189. и =

5 • (3/5)^120 (об/с);

через 6 мин 18с.

У к а з а н и е . Уравнение имеет вид

—

=

~ки.

10.190. Через

1575лет.

dt

10.191. За

6 мин

5с.

У к а з а н и е .

Уравнение

имеет

вид w v(h)dt

=

= —S (h )d h . где w —

площадь отверстия, v(h)

—

скорость истечения

воды, h

—- уровень

жидкости,

S(h) —

площадь

поперечного сечения

сосуда,

t

--

время.

10.192. 0,0878.

У к а з а н и е .

Уравнение имеет

вид dQ

=

- k Q d h .

10.193. «

50 с;

«

15 м.

10.194. t «

0,0011с.

du

У к а з а н и е .

Уравнение

имеет

вид

га— =

—kv2.

10.195. 0,5кг.

dt

10.196. а) 56,5г; б) 7,84ч.

10.197. 0,06%.

У к а з а н и е . Уравнение имеет

(в %) углекислоты в воздухе в момент времени t .

Е

_ R f

10.198. г =

- -- -—- (R s m u t — L u cos tut 4-Lue

r. ).

R 2 4-L 2u 2

10.199. y1 <

x2.

10.200. y1 > 0. 10.207. y" =

0. 10.208. ( ±

± jr f

R 2.

уП

10.209. yH + у

— 0.

10.210. y,n—

0.

10.211. у

—

(С i 4-arctgx)x

-

,______

'

x3

-

ln s / l+ x 2 + C 2.

10.212. у = —

-

siiu; + G'ix + C'2.

10.213. у

=

з

6

=

~-\п\х\+С\х3+ C 2X2+Съх+С.\. 10.214. у — j-x2 ln |x| + ^x3-t-Cix2 4-

Ö

z

ö

4- C2X 4- C 3.

10.215. C 2y — Ctx — ln |Cix 4-1|-f C 2, у

+ с , у = с .

10.216. у =

C i tg (C ix 4- C 2), 2Cxx + C 2 =

ln

y(C - x) = 1,

У + C'i

y = C.

10.217. у — Ci sinx + C 2 — x — ~ sin2x. 10.218. у = C ix 2 + C 2 +

+ ex(x - l) .

10.219.4C\y = 44-(Cix + C2)2.

10.220.y

= x + C l ln\y\+C2,

у = C.

10.221. у -

С i arctgC\X + C 2, у -

—

ln

x - Ci

+ C 2,

у

zOi

.t 4- 01

C - i .

1 0 .2 2 2 . C fy = (C? * 2 + 1) arctg Ci ж - C,.i + Г-<, 2y = кжх2 + С

(к e Z). 10.223. у =

eC l* +1 (x -

+C2, 3, = ^ р+ С. Ю.224. у =

=

— + C i ln jxi + C 2.

10.225. .y = Ci(x\/x2 — 1 — ln |x\/x2 — 11) + x2 + C2,

X

У = Ci (x\/l ~ x2 4- arcsinx) 4- x2 4- C2.

10.226. у =

C i(x

- e~*) 4- C^.

422

Ответы и указания

10.227. 2у =

Ci cos2х + (1 + 2C x)x2 + С2х + С 3. 10.228. 2у = С ц 2 -

+ С2х, у — С\х + С 2.

10.230. х =

2С\р - In |р|

+ С2, у = С\р2 - р ;

у = Се~*-,

у

= С.

10.231. х

= ±|(^/y - 2Сх) ^ у Т с 1 + С2.

10.232. + 1

=

С 2

± х .

10.233. C fy

+ 1

=

± ch (C ix + С2),

С\

С\у - 1 =

sin (С\х + С 2),

2у =

(х + С )2, у =

0.

10.234. In 2/ =

= С^ &(С 1Х + С2), In

In у - С х

= 2 Cix + C2, (С — x) In г/ = 1,

у = С.

In y + Ci

10.235. ctg у =

C 2 + C xx, y

= C.

10.236. y =

1 +

,

у = С .

1

X3

10.237. у =

— (x3 + 6x2) + Cix\n\x\ + C 2X + Cz. 10.238. у2 = — + С\х +

л z

о

+ C2. 10.239. у =

C ix + —

. 10.240. у = C 2xeClX - (C 2/C i)e c ' x + C 3.

X

10.241. у =

C 2xe~ClX. У к а з а н и е . Уравнение однородно относительно

,

(*a+c,i»'3

0.

у, у', у". 10.242. у = С 2е

з

, у = 0. 10.243. у2 = C ix 3 + C2, у =

10.244.у =

—

у = 0.

10.245.у =

(х-2)е*+ х+ 3. 10.246.у =

cosг (х + C i)

=

- ^ In2 х + jjx 2 - 2х + ^.

10.247. у =

%х2\/2х -

10.248. у

=

2

2

2

5

5

=

2 In |х + 1| - х + 1.

10.249. у=

- In |х -

1|.10.250. In |tg

^ j

=

=

2(х + 1).

10.251. у

= tgx,

~

<

х

<

10.252. у

= в*2/2.

10.253. (3 - х)уь =

8(х

+ 2).

10.254. у

= 1

+ sinx.

10.255. у

=

=

1 - ех,

у =

-1 + е~х.

10.256.

у =

1 - х.10.257. х =

C tep- 2

У — C i (р — 1)ер - р 2 + С 2.

10.258. х =

^

+ ^

+ С ь У =

\ + ^ + С 2.

10.259. х

=

(р + 1)ер + C i,

у

= р 2ер

+ С 2. 1

+ 1п|р| +

С2,

у =

2C ip 3 + р;

у

= С .

10.261. у

=

± In COS ж.

10.262. а)

у

=

ch (C ix + С 2)

при

у"

>

0;

б) (ж + С 2)2 + у2 =

С 2

Ci

при у" < 0. 10.263. а) 4(С\у — 1) = С 2(Х + С 2)2 при у" > 0; б) х = у-

х

х(£—sin i)+ C 2, у = — -(1—cosi) при у" < 0 . У к а з а н и е .

/ А/

^

dy

2

У V

“ У

вычислить с помощью подстановки у = С\sin2

10.264. у = ach ( — ).

2

\fl /

Ответы и указания

425

10.306. у = ех 4- 2 cos х 4- 3 sin х.

10.307. у =

ех 4-2е2ж 4- Зе3ж. 10.308. у =

=

C ix 3 4- С 2Ж4 4-

10.309. у =

C ie2* 4- С 2 sinx 4- С 3 cosx 4- е3х.

10.310. у = С\ех 4- С 2Х - ж2 — 1.

10.311. у = С\ cos ж 4- C 2XCOSX -

- sin ж cos х.

10.312. у — С\еЪх 4-C^ex 4- 5х 4- б -

е2х.

10.313. у =

=

C i 4- С 2 sin а: 4- С 3 cosx 4- ^еж — sin2x. 10.314. у =

efca;(l

4- (1 — /с)х).

10.315. у" — у1— 6у = 0, у = С\е3х + С 2е~2х•

10.316. у " - 2у, + у = 0, у =

=

(Ci 4- С 2х)ех. 10.317. у" — 6у' 4-13у =

0, у = (С\ cos 2х 4-С 2 sin 2х)е3,г.

10.318. у'" - 6у" 4- 12i/' - 8у =

0, у = (С х + С 2х 4- С 3х2)е2х.

10.319. уш - 8у" 4- 16у' =

0,

у =

Ci

4- (С 2 4-С 3х)е4ж.

10.321. у =

=

Cie^1” ^ *

4- C 2e(1+V^®.

10.322. у

=

е~3х(С\ cos2х

4- C 2 sin2x).

10.323. у = e3a;(Ci 4- С 2х).

10.324. у =

C ie2* 4- С 2е“ 4ж/3.

10.325. у =

=

е* (C i cos I

4- С 2 sin

.

10.326. у =

e“ */2(Ci 4- С 2х).

10.327. у =

= C i е* 4- е2ж (С 2 cos Зх 4- С 3 sin Зх).

10.328. у — С\cos а: 4- С 2 sin а: 4- С 3 cos У^За: 4- С 4 sin >/&£.

10.329. у

10.331. у

= C i cos а; 4- C 2sinx 4- x(C3 cosx 4- C jsin x ).

10.332. у =

4- x(C* cos 2a: 4-C 5 sin 2a:). 10.334. у =

C i 4- C 2X 4-C 3X2 4-e3x(C 4 4- C^x).

10.335. у =

(Ci 4-C 2x)ex 4-(C3 4-C4X) cosx 4-(C5 4- Сех) sin а:.

10.336. у — Ci 4- C 2X 4* C3X2 4* C4X3 4- e X(C§ 4*

Cex).

10.337. у ~ cx.

10.338. у =

(7 — Зх)еж-2. 10.339. у =

2 4- е“ ж.

10.340. у =

sh а:. Ука-

5

1

з а н и е. Начальные условия: у(0) =

0 ,

у'(0) = 1.10.341. у =

2е* “ 2 ^ *

10.342. у =

С^е“ * 4-С 2е~2ж 4-(е“ *

4-е“ 2*) In (е*

4-1).

10.343. у =

(Ci

— ln I sin ж|) cos 2x 4-

^C2 ~ x ~ \

S^R^x -

10.344. у =

(C i

+ C 2a: + >/4 — x2 4- a: arcsin —^ex.

10.345. у — ( C i 4- C 2x 4- -x2 lnx -

e“ 2*.

10.346. (Ax3 4-B x 2)e4x.

10.347. x(Acos 4a: 4-В sin 4a:). 10.348. Ax 4-

4- В cos8x 4- C s in 8x.

10.349. (Ax

4-I?)sin2x 4- (Cx 4- D )c os2x.

10.350. (Ax2 4-£ x )e 4a;.

10.351. Ax3 4- B x 2 4-Cx.

426

Ответы и указания

10.352. ех ((Ах 4-В ) cos 2х 4-(С х 4-D ) sin 2х).

10.353. хе2х ((А х2 + В х + С) cos Зх -{- (D x 2 4- E x 4-F ) sin З х ).

x\

x sh x

(C -2 - - J e~x. 10.355. у — Ci ch x + C 2 sha: + — -— .

10.356. у

= Cie*

+ C 2e~ix -

| e “ 4*

e~x.

10.357. у

—C\e2x 4-С 2е3ж 4- g(5cos3x - sin3x).

^

X

(m 2 - n 2) sin??,x 4-2m ncosnx

10.358. у = ( С г + C 2x)e

+ —y

---- ^

+ ^ )2--------- .

10.359. у

=

(Ci

4-С 2х)етж 4- ^ c o s m a ;.

10.360. у

=

C ico sx

4-

4- C2 sin2x 4-x(xsinx 4-cosx).

10.361. у

= C icos2x

4- C 2sin 2x 4-

+ ^ (l+ zsin 2x).

10M2.y =

C ie x/2+C2e~x/2- x 3. 10.363. у = Cie~2x +

8

4- С 2е_3ж 4-\e~X + xe~2x•

10.364. у =

Ci 4-С 2е3ж 4-~ e3x 4- 2x 4- 3x2.

10.365. у — Ci 4-C2x 4~(C3 4-x)e x 4-x3 — 3x2.

10.366. у

=

( с х + C 2x + C 3z 2

+ у

)

еЖ-

10-367- у

=

° 1 + C 2X +

x2

+C3 cos x 4-C4 sin ж 4- — (x2 4-2x -

12).

10.368. у =

C\ex 4- C2e

*

4-

4- C3 cos x 4- C4 sinx 4- ~(ж - 3)еж -

^sinx.

10.369. у =

C i 4- C 2x

4-

8

4

x4

/ x2

\

4- СзХ24-С4Х3 4- — 4- f ——

4x4-C5J ex. 10.370.y = e2x~l - 2ex 4-e- 1.

x

7

10.371. у = ex ~e~x 4- x2.

10.372. у =

- 4-cos 2x4- — 7r sin 2x.

10.373. у =

4

16

=

2 cos x — 5 sin x 4- 2e*.

10.374. у =

2хеж.

10.375. у = cos х 4- 2 sin х

4-

4-

е-ж 4- Зеж

4- 2хеж.

10.376. у =

еж((2х - 7г -

l ) s i n x — 7rcosx).

10.377. у

=

Cicosln|x|

4-C 2sinln|x|.

10.378. у =

С\ cos(2 In |х|)

4-

С

1

4-С 2 sin (2 In |х|) 4-2х.

10.379. у ~ С\хг 4-—7 - 2 1пх 4-

10.380. у =

х

3

=

Ci + С 2х2 + С3Х4.

10.381.

у= C i

+ С 2 In |х| + С 3х3.

10.382.

у

=

=

(2а; + l)(C i + С 21п|2ж + 1|). 10.383. у

=

-г^— sha;.

10.384.

j/

=

sh х

cos x

sh 2тг

=

—— .

10.385. у =

—

;—

(единственное решение).

10.386. Нет реше-

sh 1

sin 1

ний. 10.387. (х - 2)2 4-у2 — 5.

10.388. у — 1 - sin х — cos х.

10.389.

у =

е — е~~х

„

__

х

е - 1

10.390.

у — -

— х “ 4- х 2 In х.

Ответы и указания

427

10.391. х — е

a t(a cos j3t + —

sin flt) , где a

=

0 =

\ —

- a 2.

V

p

)

2m

V m

d?x

dx

У к а з а н и е . Уравнение имеет вид га-—

4- А—

+ кх = 0.

dt2

dt

10.392. х — е at

( a ch (3t 4-

^ V~° sh (31 ], где a

=

2m

,

/3 =

\ a 2 4- — .

\

/3

J

V

m

d2x

dx

У к а з а н и е . Уравнение имеет вид — г 4-А— — fcx = 0.

at1

dt

10.393. а) г = a ch ut\ б) г = — sh

У к а з а н и е . Уравнение имеет вид

и

-r-т = ш<1г- 10.394. г =

(diu>\/l+ ц2 1 Ч---, ^

s h w i / l + М2 Ч •

dt2

у

\ Л + /?

У

10.395. Т =

—

1п(9 + \/80) « З с .

У к а з а н и е . Уравнение имеет вид

V9

d2s

д

д

-т-г — -s =

-, где s — путь, пройденный за время £концом опускаю-

at^

9

9

2<7sin30£ - 6Q+/g sinJ g t .

.

щейся части цепи. 10.396. х = ---------- --------—

(см). У к а з а -

д — 900

d2x

ние. Если х отсчитывать от положения покоя груза, то 4-^г =

4д —

точки подвеса пружины, I

— длина пружины в состоянии покоя, поэ-

d2x

тому к(хо — I)

= Ад и, следовательно,

—

~к(х - у),

где к =

4д,

д — 981 см /с2.

10.397. i =

e~2i 1---------

--- ------ ffL w -

cos J y p ;

~

(Lu> - l/(C u ))

+ R 2 VV

С и )

V L C

4L 2

■f (w+z

h ) y /l/L C

: Sin \——- —-t

,

+

■

,

1

Й 2

- R 2/(4 L 2)

V L C

4L 2

( ( ±

L UJ 1cos u t 4-R sin u t

) .

(l/(Cu>) - L u ) 2 + R 2 \\Cw

d!2i

di

1

de

=

— •

dtz

at

С

at

10.398. i =

—

t sin r — . < Имеем —

= E u c o s u t.Дифференциаль-

2

L

у JjQ

dt

Td2i

1 .

_

ное уравнение цепи: L —r-z 4*

=

buj cos tut.

Общее решение соответ-

1

1

ствующего однородного уравнения:

го =

С\ cos

4- С 2 sin - j= = t.

( f l

-fBsincjt, — ■=

t(—Auj2 cosujt-BuJ2 sin ojt) + (- 2A u sin ujt+2Buj cos ut).

at2

_

tt

~

d2i

и учитывая, что Ь и

91

Подставляя в уравнение выражения г и ~ j

~

=

=

0,

получим

тождество

L (—2AUJsinut,

+ 2 В и cosuit)

=

Eujcoswt,

Е

~

Е

t

откуда А

—О,

В

= — ■.Следовательно,

г —

—

£sin—р = .

Общее

2L

2L

V L C

решение:

.

^

=

1

- .

1

J?

sm

.

1

£ + —

£sin -

г

C icos “7= = £ 4-С 2

Г —

VLC

V L/C

2L

у LC

di

=

С х'

. 1

+

С 2

COS

1

+

Е

t COS

1

—

-------Р

= s i n

.------ : (

—7=

-------- t

---------7=

--------t

+

dt

y/LC

y/LC

sfL C

\TlC

2Ly/LC

'J L C

E

i

4-7—r

sin—= r . t и используя

начальные

условия,найдем С\ — Со=

2

Lу L C

Искомое частное решение: г• — —Е tsin. -7=1

t. >

2L

у L C

Е

Е

x2 4- у2

10.399. г

— - - — - cosipsinut 4-

2L

cos (ut 4- </?).

10.400.

=

2a;L

— z 2- 2z(y — xy'), x 4- yy1

= 22' - гЧ?/' -

xy1).

10.401. yy1 4- 22'

=

0,

0

#0

,9

_

dx

d,y

dz

du

_

_

dx

y2 4-2хгг' =

x V 2.

10.402. —

=

—

=

—

=

------ -.

10.403. —

=

1

z

u

xyz —

ZA

1

dy

da

dv

dw

^

dx

__

dy

dz

_

du

__

d,v

_

7/,

v

w

у2

1

v

w

t

v + w

dw

dt

_

_

dx

dy

-

-

dz

du

dvdw

10.405.

u

w 4- 1

t + v

1

v

u2у — z

w

x + у — z

dx

dy

dz

dt

du

dv

dw

^

^

9

10.406. —

=

—

= —---- = ----- =

—

=

—

=

---- . 10.412. C\x2

=

1

t

x2 — uz

z + u

civ

w

—xy

—

2t 4- C 2,

y2

— C\{2t 4~Co).

10.413. x2 — t~ 4~ C \,

~

£2 4~ C 2-

I 0 .4 U .

2(C2 - x)f

,

2 (6 2 - x)

1 0 .4 . 5 .

X .

-

]n\C3(C it + C 2) l

У =

ln lC a ^ H - C a )!

-

C i, z

-

(C,

4- 1)/ 4- C 2.

10.416. x2 4-y2 4-г2

2

~

C iy,

z ~ С 2т/.

10.417. x — C\t,

у --

С 2е/ 4- — .

w

10.418. 2 - 2y == C i,

2 yfz~- x - у 4-у = GV

10.419. x2 =

C ie2i 4- C 2c“ 2/',

у2

=

C ie 2i - C 2e " 2f.

10.420. ;|/ =

x477T r e-Cl*>

z

~

C2eCl,T;

у =

G 1G2

3x2

y3 =

3

=

x-e®,

z =

е_л:. 10.421. г =

С 12/,

?y3 ~

“ T"4-C2; z ~ y ,

~x24-l.

Ответы и указания

429

10.422. а) Да;

б) нот. У к а з а н и е . Соотношение <p(t, х, у)

=

С

является

первым

интегралом

системы

х[ = /i(£, х, у),

у[

~~ / 2(£, х, у) тогда и

только тогда,

когда

~

х , у ) ^

+ f 2(t,

2/ ) ^

=

°-

10.423. 2е2_у = х 2 + ( у - 1)2. 10.424.1/3 + 3»(®2 - 1 ) - 10 =

0.

10.425. у =

—

х (1 + In s/\x\).

10.426. (у —

х )2 + х 2 — 1.

10.427. у

=

С\х1+v/2 +

+

z =

x V21C i (2 + у/2) + x r V2-1C 2(2 - >Д).

10.428. у

=

-

C i + С 2х,

z =

2С2 + — .

10.429. х

= C i t + ^ ,

у

=

- C it

+

X

t

4- —

.

10.430. x

=

у

=

C2e* —

10.431. x

=

Cie*

4- C 2e2*,

t

tz

tz

У

=

C V

+

2C2e2i.

10.432. x =

3C ie2*

4- С 2е4*,

у

=

С хе} 1 4-

4-C2e4t;

x

= 3e2i,

у =

e2i.

10.433. x

=

eof(Ci cos It 4- C 2 sin 2£),

у —

e5i((Ci

— C 2) s i n2/: -

(Cl

4- C2)cos2£);

x

= e5*(cos21 - sin 2£),

y = 2e5t sin2£.

10.434. x =

e“ 2i(Ci cos3£ 4- C2sin3£),

у = ^e-2t ((4Ci - 3C2) cos 31 + (3Ci + 4C2) sin 3t).

10.435. x =

(2C it 4- 2C 2 4- Ci)e~',

у =

{Cit 4- C2)e~*.

10.436. x — (Ci^ 4- C 2)e~3i,

у —

^ -Cit +

- C 2^e~3t;

x

— 2te~3\

у

=

(1 - 2£)e~3t.

10.437. x

=

Cie* -f e~i//2 ^C2 cos ~

t 4- C 3 sin

>

У =

* =

r

----- -

2 * 1.

=

C ie 1 + \е~ 1! 2 { {C2\/i — C 3) sin -^-t — (C3\/3 4- C 2) cos ^Ф-t );

x

=

2

V

2

4 JV

2

=

у

=

z

=

el .

10.438. x

=

C xe2t + С 2е~1,

у =

( V

2* + С зе“ 4,

2

=

C ie 2t -

(C2 + C 3)e_ t ;

x

—

e2t + e~l , у

=

e2t + e~l ,

z = e2t

-

-

2e~*.

10.439. x

=

Ci

+ 3C 2e2t, у

= - 2C 2e2t + C 3e~L,

z = Ci

+

+ C 2e2t - 2Сзе~1. 10.440. x =

С ге1 + C 2e2t + C 3e3', у =

C V

+ 2C 3e3t,

z

=

2C ief + C 2e2t + 2C 3e3i.

10.441. x =

2C ie2t + C 2e~31

-o

lo

у

—

C ie 2t 4- 3C 2e_3i - ~ -

10.442. x

=

(C2 cos£ 4-C 2 sinf - l)e 4,

/

t2

t3

\

у

=

(Ci sin£ - C 2 cost)el .

10.443. x =

( Ci 4- C2£ 4- у

4- — - З е Ч

e2t,

у =

( Cl " Ч + ° 2t + 7 “ 2е<) е2‘-

10.444. х

— С\ cos t 4-С 2 sin t - t cos t,

у — (C2 - C i) cos t -

(Ci

4-C2) sin t 4-£(cos t 4-sin £).

10.445. x

=

Ci cos t 4-C2 sin £ 4-tg t,

у

=

- C i sin £ 4-C 2 cos t 4-2.

10.446. x = 3(C\e2t + C 2e~2t) + <73 cos21 + C4 sin 2f,

3/ =

2(C'ie2< + C 2e~2t) - 2(C3 cos 21 + C4 sin 21).

У к а з а н и е .

Искать решение системы

в виде х

=

Aekt, у —

B eki.

10.447. х

~

а(1 -

2~ь)

За(1 -2"*)

„

---------, у =

---- ----- .

У к а з а н и е .

Система

диф­

ференциальных

уравнений:

х = k\(a — х

— у),

у

=

k2(a — х — у).

к

voy/m .

к

х 2

к2у2

Л_

10.448. х

=

a cos

= t , у =

— -—

sin —F=t\ —7 4---- 7

= 1. У к а з а ­

х/га

А;

у in

az

TTIVQ

ние.

Дифференциальные уравнения движения:

rax

=

—к2х,

т у =

= —к2у.

10.449. Неустойчиво. 10.450. Устойчиво.

10.451. Неустойчиво.

10.452. Асимптотически устойчиво.

10.453. Асимптотически устойчиво,

если а

< —1/ 2; устойчиво, если а =

- 1/ 2, и неустойчиво при а

> —1/ 2.

10.454.

^ = -фг + /j(i, 01 + щ (*),

..., 2„ + у?п(*)) =

• • •, *п),

г = 1, 2, ...,

п.

У к а з а н и е . Преобразовать систему

(1) к новым пере­

менным, полагая Z{ — х* — <#,

г =

1, 2, ..., п.

10.455. Точка покоя х* = 0

(г =

1, 2, ..., п)

системы дифференциаль­

ных уравнений устойчива, если для любого £

> 0 найдется S(£) > 0

та-

п

п

кое, что из неравенства YL Х? (М

<

^2(^) следует

x2(t) <