Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

Ответы и указания

411

5

4

4

5

4

х

9.11. /

dx I

f(x ,y )d y

=

J dy J f(x ,

y) dx.

9.12. J dx / f(x , y) dy +

1

2

2

1

2

2

5

4

7

4

4

y+3

+ J dx /

f(x ,

y) dy + /

dx

I

f(X , y)dy =

J dy

J f(x , y) dx.

4

2

5

x—3

2

у

a

\/2a2—x2

9.13.

J dx

J

f(x , y)dy =

~a

x2/a

a

dУ

у/ay

aV 2

yj2a2-y2

= j

J

f(x ,y )d x +

J

dy

J

f(x , y) dx.

0

~V^y

°

-у/2а?-уъ

a

y/ax

2a

yj2ax—x2

9.14.

I

dx

I

f(x , y) dy + I

dx

I

f(x , y) dy =

0

0

a

a+у/a2—y2

=

dy

/

f(x , y)dx.

0

y2/a

a

yj2ax —x2

2a

y/2ax —x2

9.15. J dx

/

f(x , y) dy+ /

dx

/

f{x, y) dy =

О

y/ax — x2

a

0

a/2

(а —у/a2 —Ay2)/2

J

a/2 a+y/a2-y2

J

dy

J

f(x , y) dx + J dy

f(x ,y )d x +

0

а —у/a2 —y2

0

(a+y/a2 —4y2)/2

a

a+у/a2—y2

+I

dy

/

^x'y^dx'

a/ 2

a—yja2—y2

9.16. По переменной x\ область

интегрирования ограничена линиями

1

2+\/7-6у-у2

У =

-yfx,

у — х3, х =

1, х

=

2.

9.17. J dy

J

f ( x , y)dx.

“ 7

2-у/7-6 у-у2

О

у/х+1

1

y/l—X

9.18. I

dx

/

f{x, у ) dy + /

dx

i

f(x ,

y) dy.

-1

-y/xTT

0

—y/\^x

412

Ответы и указания

2

2-у/А-у'2 2

л/16-у2

9Л9. /

dyJ

f(x ,y )d x

+ J

dy J

f{x, y)dx+

0

2+л/4-~?/2

4

y/Ui-y2

+

^

l ^X’ ^ ^ '

3

v/ar

8/3V4+Z/2

9.20. /

dx

J

f{x,

y) dy.

9.21. J

dy

J

f(x , y) dx.

O

x

0

2y—2

a

a—yja2 —y2

2a

y/2ay-y2

y)dx.

9.22./ dy

J

f(x,y)dx +Jdy

J

f(x,

0

0

a

0

0

л/ж+1

1

- ч/2ж

1

y/x+1

f{x,y)dy.

9.23.

J dx J

f(x,y)dy+J dx J

f(x,y)dy-{-Jdx

J

-i

-v'S+T

о

-y/x+T

о

^

3

10 —у

9.24. I dy

J

f(x,y)dx.9.26.^a4.

9.27.112/9. 9.28.1/4. 9.29.1/3.

1

9/i,

4

1

9.30. 9/20. 9.31. 68/15. 9.32. тг2Д28. 9.33. -a3.

9.34. e. 9.35. —a362.

У к а з а н и е .

О

Id

л

/ ( ж)

0

bsint

I

,<b = / " ' ( -

^

1

*

/

r t . ™

a

0

0

t t /2

о

G

где S — площадь области G . 9.39. 1,63 <

I < 2. У к а з а н и е. По теореме

об оценке двойного интеграла т 5 < у у

/(.т, у) dx dy < М 5 , где Л/ —

Сг

наименьшее. М

наибольшее значения функции в области С , в — пло-

7 г / 6

а л / З в т <р

7 Г / 2

а с о э </?

щадь области С . 9.40. 5/3. 9.41. J Жр

J

f(r )r d r

+ Jd<p

^ f(r )r d r .

о

0

тг/6

О

Ответы и указания

413

п/2

2а эт кр

, 4 2 .

/

СЬр

J

Г (г СО$(р,

Г Б1П ф )г с1г.

7г/ 4

а сое (/?/ бш2 (/?

7Г/4

Б1П V?/СОБ2 (/?

9 . « .

/

(1<р

J

/(ГС О БС /?,

Г $\Х\Ц))г &

+

О

О

Зтг/4

1/вт<р(/?

/

^ /

«

гсоБ(р, тэт</>)г<С?Г+

^/4

0

7Г

. .

2 .

8111БШ (£р/> С052

(/?

+

/

(кр

/

/(гсозу?, ГЯШ^ГсЬ'.

Зтг/4

О

7г/б

%/бС08<р

я/г/2

Зл/соэ22у?у?

9.44.

^ (1<р

j

/(г 2)?* с/г 4- J

скр

J

/(г 2)/*с/г. 9.45.

~(е“2

— 1).

0

0

7Г/6

О

9.46.

^а3.

9.47.

9.48.

9.49. ^ 7Га4-

9.50. ~(37г

- 2).

2 \ / 2 4

1

Г

[

( и(а - и)

шЛ

9.51. — г"а

• 9.52. -

/

/ / ( ------- , — ) и(1и.

15

а

у

у

\

а

а

/

6

я

0

0

3

6-и

9 . 5 3 . ^

J

(1и J

л/п у 2) с1у .

9 . 5 4 . -

£ (1и

^

— т г ~ ^

а

р

I

—и

2

V

Ь

е — 1

9.56. 2тхоЬ(с — у/с2 -

9.55. ~ J

(1и У /

“

•

1). 9.57.

^ -

р

а

9.58. ^ (а “ 6/5 -

Г

6/5)(<?8/5 - р 8/5).

9.59. ^ а 2.

9.60. ^(15 - 161п2).

48

^

3

2

9.61. а 2(тг -- 1).

ным координатам.

9.63. ^а2(8 — 7г).

9.64. (7Г — 1)а2. У к а з а н и е . Пе­

рейти к

полярным

координатам.

9.65. а 2/210.

У к а з а н и е . Сделать

9

2

/

7Г \

тга3Ь

замену переменных: х =

гсоэ2 <^, у — г э т (р ^0 ^ </>

—у

9.66. —- .

У к а з а н и е .

Перейти

к

обобщенным

полярным

координатам.

8

414

Ответы и указания

4

г

замену переменных:

у2 = их, у = га. 9.69. —т=а2.

9.70. 8 у 2 а2.

у З

О

О

2

/

1\

2

2

9.86. - 7га3(3 -\/2). 9.87.7гаЬс11---).

9 .88 .- 7га3(2-\/2). 9.89. -паЬсх

3

у

б/

3

3

х (2 - у /2 ).

9.90. ^1пЗ. У к а з а н и е . Сделать замену переменных и =

=

ху,

у2 =

га.

9.91. 9/8.

У к а з а н и е .

Сделать замену

переменных

и

= ху ,

1

4

= 5у/ж.9.

2

3

8

2

о

а2Ь

7Г

7г2

9.94. х = -а, у = -. 9.95. —

.

9.96. М*

=

— ,

М„

= 1 - — .

9'97' "

“

20( Т ^

Ь 2)-

У = 8( Т ^

Ь 2)-

9'98' ' •

=

> /“

•

'■ = 7>П -

128а

_____

т

21

,

,

49

,

,

35

9"

‘ ж = у = т ё -

9Л00-4 = Б ™ 4’

=

32^ ’ /о =

Тб™4-

7ГаЪ3

„7Га 3Ь

„

7гаЬ,

, .

___

>

26

9.101. 7,

=

7,

=

/„

=

f

V

+

9.102. а)

15

61

/’ /’

ка&а5

б)

—

а 4.

У к а з а н и е .

I x-- a =

11 (xх + a)2 dxйх dyс1у..

9.103. I7*x

=

в

I y

=

— fca5, /о

=

20

где ^ —

коэффициент

пропорционально-

л

4/0

r

2a - s i n 2a

4

2a - f s i n 2a 4

сти.

9.104. 7Гa / 8.

9.105.

1Х

=

----—--- a

,

1у

=

---- —--- a .

9.106. ^7(^2 - ^)(^2 “ ^1)-

У к а з а н и е . (3 =

7(^2 — ^1) J J

\xy\dxdy.

4а Н 2

С Г

°

9.107. —-— . У к а з а н и е . Е —

/ / (2х 4-у) dx dy.

G

6

(12—2х)/3

(12 —2х —Зу)/4

9.108. /

dx

J

dy

J

f(x, y, z) dz.

0

0

0 __________

a

(b/a)Va2x2

cy^l-(x2/а 2)-(y2/b2)

9 .1 0 9 ./ dx

J

dy

J

f(x, y, z) dz.

-(6/а)ч/7г^ г

-С1/ 1-(12/«2)-(У2/<>2)

416

Ответы и указания

= у /(х - х0)2 + (у - Уо)2 + {г - г0)2.

(1х (1у с1г

Имеем:

II = 7 J J J

(1х (1у с1г

т

т

Перейдем к цилиндрическим

координатам:

2тт

Ь

{а/Ь)\/Ь2-г2

чп у/х2 + у 2 + г2

» Ч Л

' Я &

Ч Ч

*

Г (1г

/

у/г2 + ,

Тх

О

О

О

2тг

кН

\/Ь2 - а2

\а

V о2 ,

9.151.

— —(у/Н 2 + Д2- Я ), где А: — постоянная закона тяготения.

II2

получим уравнение конуса в виде х2+у2 = Я

Вследствие симметрии

т-,

1Г [ Г %(1х(1у(1г

Г [ Сг (1х(1у (1г

разится интегралом F z = k 1J J J --- --- = k1J j J

т

т

Перейдем к цилиндрическим координатам:

9.152. ^ Л а 4.

9.153.

^ т г Я Я 4. 9.154. 1/4.

9.155. тг/2.

9.156. 4тг.

15

10

9.157.

1.

9.158. Расходится.

9.159.Сходится

при

а

> 1.

9.160.

4.

9.161.

|тг. 9.162. тг/2.

9.163. Сходится

при

а

<

1.

У к а з а н и е .

Изолировать

прямую

у —

= X узкой ПОЛОСКОЙ

Г[ <1х<1у

Г ,

Г

(1у

и

ПОЛОЖИТЬ

/ /

---------—

=

11ГП

ах

--- г

УУ (®-у)в

е-чоу

У

(а:-у)“

9.164.

Сходится

при

а

<

3/ 2.

9.165. 15/4.

9.166. 3/7.

9.167. /(ж 0).

9.168.

-1п(1 + у2).

9.169.

8ту(1 + у)

-

Щ —

- 8 т у ( у - 1 ) .

-1 + у

У1 - у

У

У

/у

х2е~ух

2

Г

(1х. 9.171. о

(х(х — у) соъ ху — ъ тху) с1х.

9.172. х(2

-

3у2){(ху)

+

( - }

+ х2у{ 1 -

у2)Р (х у ). 9.174. Е 1

=

Г

\У/

1

Е

Е

. У к а з а н и е . При вычислении Е 1 пока-

= —(Е —Е ),

Е 1 = 77----— —

к

к(1

- к1)

к

Ответы и указания

417

тг/2

7г/2

зать, что J (1 —k2sin2 ip)~3^2 dip =

J (1 - к:2sin2 ip)1^2 dip, для

о

о

чего использовать следующее тождество: (1 — к2sin2 <р)~ 3/2 — ---- - х

1 —к2

х(1 — к2sin2 ip)1^2 —

- то -7 —(sin v?c° s <^>(1

— к2sin2 <р)~1/2).

1 —к2 dip

2

1

9.175. arctg-. 9.176.

- I n 2. 9.178. F(y)

сходится неравномерно на

4-00

Е [у\, 2/2], для которого J f(x ,

у) dx ^ е.

9.179. Сходится равномерно.

в

9.180. Сходится неравномерно.

9.181. Сходится равномерно. 9.182. Схо­

дится равномерно. 9.183. Сходится неравномерно. 9.184. Сходится рав­

номерно. 9.185. Сходится неравномерно.

9.186. Сходится равномерно.

9.188. ^In —. 9.189. arctg — -arctg — . 9.190. arctg %. 9.191.1n (1 + а).

2

a

m

m

ß

9.192.

/^-e-(52/(47). У к а з а н и е . Продифференцировать интеграл по

2

V 7

d F

S

л

параметру 7 и решить уравнение

9.193. — In ( а +vl -h а 2).

9.194. 7г(\/1 — a 2 -

1).

9.195. 7г1п 1 ч- vT"

а ,2

Глава 10

10.4. у (ln |1 — х2\+ 1) =

1.

10.5. у( 1 + х) =

1.

10.6. у — 2 — 3cosx.

10.7. f ( x , у)

= 0,

<

0—max,

> 0-m in. 10.8.

а)

2/ + .т3 + Зх2 =

0;

б)

у

=

In (ж + ч/ж2 + 4)

- In 2.

10.9. х 2 4- у =

=

од'.

10.10. ху1 + у =

0.

10.11. 2/'

= 2/thx.

10.12. 2ал/?/' = х 2 + у2.

10.13. уу' =

ж. 10.14. ху1 + 2у =

0.

10.15. у' =

— Цг.

10.22. у2 - х 2 =

4ку2

=

С . 10.23. т/3 + ж3 -

Зх =

С .

10.24. у2 + х2 =

С .

10.25. у = С х 2.

10.26. т/ = C^x+lje“ *.

10.27. arctg у -arcsin ж =

С;

х — ±1. 10.28. ех +

+ е~у =

С .

10.29. у sin у + cos 2/ - ж cos ж + sin х =

С .

10.30. arctg у +

418

Ответы и указания

+

^1п(1 + х2)

=

С.

10.31. у -

х = ± 1 .

10.32. у =

= C V 1 + е2х■ 10.33. (1 + е*)2 tg у =

С . 10.34. ех - ^е2У - 2 In |1 + у\-

"

*

=

с >

у

=

" L

10-35- У =

х + v l + xz

Ю.36. J y +

+ х(1 — ln ж) =

С ,

у — 0.

10.37. tg

— ж = С , х Л- у ~ (2к + 1)7Г,

ж € Z. 10.38. Ах + 2t/ + 1 =

С е2у. 10.39. ^arctg ;-(4х + у + 1) — ж = С .

Z

Z

10.40. (а; + С) ^tg i(y

— а: - 1 ) - 1^

= 2 , j/ — х — 1 =

^ + 2 /г7г, а; € Z.

10.41.4у—6х—7 = Се~2х. 10.42.31n

v^4a; - у + 1 + 2

= 3^4х - у + 1+

$ Ч х — у + 1 - 2

+ х + С,

4х —у + 9 =

0,

4х — у —7 = 0. 10.43. х2 — у2 = 1 . 10.44. i х

х

(х2 + у2) + ln -

=

1.

10.45. у =

sin х.

10.46. у — ±X\J2 ln \х\+ С .

10.47. у =

2x(arctg С х + 7rfc),

у = &7гж, k G Z. 10.48. ж2 — 2ху - у2 — С .

х

= 0.

10.51. еу/ж

=

Су,

у =

0.

10.52. ее~У/*

=

С х .

10.53. In - =

х

=

2arcctg(ln |х| -i- С ),

у =

хе2кж,

fc £ Z.

10.54. у

=

х arcsin С х,

у = ктгх,

к G Z \{0}.

10.55. у = xsin (ln |х| Н- С ),

у =

±ж.

10.56. у —

— С (у2 — х 2), у =

i x .

10.57. уг =

-4ж3 + С х ъ(у3 — 4х3),

у =

-лУ4ж.

10.58. х2 - ху + у2 + х - ?/ =

С .

10.59. х + у - 1 =

С (у 4-2)2,

у = - 2.

у+2

10.60. х+2у+3In |х + у - 2| = С. х+у = 2 . 10.61. у+ 2

= Cß~2arctg *- з.

10.62. sin

■-г =

С(х + 1).

10.63. In

- 1

=

.

10.64. у =

х + 1

v

’

х + 3

х + у

=

хе1"*.

10.65. ln jy|+ 2y/xjy = 2.

10.66. у =

i( x 2

-

1).

10.67. у =

=

е- * 2

^(7 +

У ~

С х3 — х2. 10.69. у

=

sinx + Ccosx.

10.70. у =

(х+ С)(1+ х2). 10.71.у = Се~2х+ 1е3х. 10.72. у =

xl nx + - .

5

х

10.73. у =

(х + 1)2(еж + С ). 10.74. х =

С у+ ^ у3, г/ =

0. У к а з а н и е . За-

dx

х + у3

dx

писать уравнение в виде —

=

----- ; оно линейно относительно х и — .

dy

у

dy

10.75. х =

arctg у — 1 + C e-arctgy.

10.76. у =

xsinx + С х .

10.77. у =

=

еж(С+1п |х|). 10,78. [/ =

я*(Се-*-1). 10.79. х =

С?/+1п2 у.

10.80.ж =

Ответы и указания

419

= ---- у = О,

у =

1.

10.81. х =

C't/+i/3, у — 0. 10.82. sin у =

Се

ж4-

2/ -

1

4-х — 1.

У ка за ние. Положить sin у — z.

10.83. у =

sin х.

10.84. t/ =

1

1

1

/

1

^2

= е2х — ех + -х 4- -. 10.85. х =

у\пу-\--. 10.86. у = е-2*2 ( С

4- - х2

2

4

у

V

2

у = 0. 10.87. у =

—--- , у — 0. 10.88. у =

(cos х • ^С - 3 tgx)

1, у =

0.

С — х

С

П

I*

10.89. у =

—= = = = = ,

у =

0.

10.90. х2 =

Cesin2/ - 2(sint/ + 1). У к а з а -

\/2 cosx 4- С

^

dx

x2 cos у 4-sin 2y

9

9

ние. «записать уравнение в виде —

= ----- --------. 10.91. у* = х

—

UU

£JC

- 1+С^/|х2 - 1|. 10.92. xt/(C - ln2 у) =

1. 10.93. x2(C -cosy) — у^ у — 0.

geos a;

^

1 0 М ' #3 = з _

2е<*-д '

1 М 5 - 12 = J ^

- r , М 6 ' * ! + * » + » 2 =

С-

10.97. Ъх2у — 8ху 4- х 4- 3у =

С .

10.98. х3 4- 3х2у — 2ху2 — у3 =

С .

10.99. ху - - 4- -

=

С .

10.100. -

4-

-

2у =

С .

10.101. л/х2 - t/2 4-

X

I /

у

у2

4- ху — - =

С .

10.102. х2 4- 2/е~ж

=

С .

10.103. х2 4- уех! у — С .

У

10.104. х2 cos2 у Л- у2 —

С .

10.105. xs'my

4- у cosx 4- ln|x/t/|

=

С .

10.106. Вся плоскость Оху.

10.107. у

ф

х.

10.108. у

ф

10.109. х

>

у2.

10.110. у

=

0.

10.111. у

=

1.

10.112. у

=

-х.

х2

р 2 4-4р3;

10.113. у

=

— .

10.114. х

=

2р

4-6р 2 4-С ,

у

=

у =

0

(особое решение).

10.115. х

=

2>/р2 4-1 — In (1 4- \/р2 + 1) +

^

у = p\J1 4-р 2; у =

0 (особое решение).

10.116. х =

ер 4-С,

у — (р — 1 )ер.

10.117. у = С х 4-“ (С 2 — х2),

у =

—х2 (особое решение).

10.118. х

=

3

р 2

у = р 2 cosp—p sin p —

= р 3 -.£>4-2, у =

- р4— — 4-С .

10.119. х = pcosp,

— cos р + С .

10.120. х =

2р — Inp,

y=zp 2 —p + C.

10.121. х =

Ct/ 4- С 2,

х = ~ т 2/2 (особое решение).

10.122. у =

^Сх24-~^, у — ±х (особые ре-