Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

Ответы и указания

401

(0, 0).

8.15. 4

х2 4-у2 ^ 9.

8.16. Криволинейный треугольник, обра­

зованный прямой у — 2 и параболами у2

=

±ж,

исключая вершину

(0, 0).

8.17.

0

(р

7г.

8.18. Часть плоскости,

заключенная между

7Г

7Г

ЗтГ

57Г

су

с\

су

су

лучами <£ =

—— и < / ? = —,</?=

—

и < / ? = — . 8.19. о;

4- у

4- г

^ R .

8.20. 0

<: х 2 + у 2 ^ г2,

г

^

0.

8.21. ж2 4-у2 - z 2

<

1.

8.22. гг-мер-

ный куб

-1

<С

Xk

^

1

(к

— 1, 2, ..., п).

8.23. n -мерный эллипсоид

4

+ 4

+ -- -+ 4

^

1'

8-24- / ( 2-!) =

V 4;

Я 1, 2) =

4;

/(3, 2) =

0;

а\

а2

а*

/(а ,

а)

=

-1;

/ ( а , - а ) =

1.

8.25. /( - 3 ,4 )

=

-24/25;

f{ l,y / x )

=

—

/ ( a;! У)-

8.26. л/1 + .г'2.

8.27. /(ж)

= х2

— х;

z

=

2т/ +

(ж — t/)2.

ж2 (1 — ?/)

V

И

8.28. — ------ .

<

Обозначим

гг

= д: 4- ?/,

v

=

- .

Тогда

о;

=

1

4- у

’

х

14-v ’

uw

..

ч

u 2

u 2v2

u 2(l — v)

^

у =

---- ,

/(и, V)

— —---- — -

—--- —

= — ------ . Остается пе-

у

14-г;

V

'

( l + v )2

(1 + v )2

1 + v

реименовать

переменные и и у в х и у .

t>

8.29. а)

х4 — 2х2у2 4- 2у4\

б)

4х2у2.

8.31. а)

cos2ж;

б)

cos(х2 - у 2).

8.32. - 6.

8.33. 1.

8.34.

0.

8.35.

е.

8.36.

1.

8.37.

lim

г =

---- --------------

вдоль прямой у

'

ж->о

к — 1

у—»0

при к — 4/3;

lim г = 2 при к = 3/2; lim г =

1 при к = 2;

lim г — —2 при

к —

1/2.

8.40. Не имеет.

8.41. Не имеет.

8.42. У к а з а н и е .

Рассмо­

треть изменение х и у по параболе у =

х2.

8.44. (1,

—1).

8.45.

(га, гг),

где га, п £ Z.

8.46. Линии разрыва —

прямые ж =

кп и у =

Ш 7Г, где

/с, 771 £

Z.

8.47. Линия разрыва — окружность ж2 4-у2 — 1.

8.48. Линии

разрыва

— прямая х + у — 0 и парабола у2 = ж. 8.49. Линии разрыва—

окруя&юсть ж2 4- у2 — 1 и гипербола ж2 — у2 = 1.

8.50. Поверхности раз­

рыва — координатные

плоскости ж = 0, у —0, л

=

0.8.51. Поверхность

ж2

у2

Z2

разрыва — эллипсоид — 4- —

4- — = 1. 8.52. Поверхность разрыва

—

а 1

о1

с 1

конус ж2 4- у2 — z2 = 0.

8.53. Поверхность разрыва — однополостный ги­

перболоид ж2 4- у2 — z2 — 1.

8.54. Поверхность разрыва — двуполостный

гиперболоид ж2 4- у2 — z2 — —1.

Fi7

Fi7

Ъу4 — 15ж3?/2,

Fi2 7

8.55. —

=

5ж4 — 15ж2?/3,

—

=

— z — 20ж3 — ЗОжу3,

дх

ду

о х 1

d2z

9

9

d2z

~

~

dz

У

dz

1

402

Ответы и указания

д2г

_

2У

д2г

_

1 _

1 _

д Ч = 0 & 5

7

д г ^

у3

дх2

ж3 ’ дхду

х2 ’

9?/2

’

дх

(х2 4- у2)3/2 ’

сЬ

х3

922:

Зх?/3

Зх2у2

д2г

ду ~

(х2 4-т/2)3/2’

а 7 2 ~ ~ ( у Т

^ / 2 ’

5x5?/

~ (х2 4-</2)5/2’

а ^2

З13!/

8.58. |г =

(1 - ху)е— ,

|г =

-х2е-'»,

0,2

-

(х2 4- ?/2)5/2

9х

’

9?/

’

<9х2

д2х

д2 z

дz

=

у{ху - 2)е~ху,

= х(жт/ - 2)е~ху, —

=

х 3е~ху.

8.59. —

=

_

сое?/2

дг _

2г/8т 1/2

д2.г

_

2 сое у2

д2г

_

2 у я т у 2

х2 ’

ду

х

'

дх2

х3

’

дх дух

<92г

2 вт у2 + 4у2 соб у2

дг

дг

.

д2г

а ?

= --------- ; ------- ' 8-60- Ш

=

»

%

=

х г

’

а ?

=

=

Ух 1°22/>

=

ух~1(х\пу + 1),

^ 2 =

-

1)г/ж_2

(2/

> 0).

<9^

2х

9^

2у

д2г

2(у2 - х2)

922

8.Ы . —

— ------ —

— ---------

---

— -----------------—

дх

х2 4-у2 ’

сЬ/

х2 4- у2 ’

9х2

(х2 4- у2)2 ’

9х ду

4

худ2г

2(х2 —у2)

8.62. 7— —

дг

у sgnx

9^|х|

—

—

(х2 4-у2)2 ’ ду2

(х2 4-у2)2

*

дх

х2 4-у2 ’

ду

х 2 + у 2 '

д2z

_

2|х|2/

_

(у2 - х 2)щ п х

92г

_

2|х|г/

9х2

(х2 4-у2)2 ’

дхду

(х2 + у 2)2

’

<Э?/2

(х2 4-у2)2 '

9гг

х

<Э2гг

2х2 — у2 — г2

д2и

8.63. -г—

=

(х24-у24-г2)3/2’

9х2

(х24-у24-z2)ъJ2’

дх <9?/

дх

=

^ Х У

8 6 4

^

=

/ 2 / \ 5

=

±

( У \ г

=

(х24-у24-г2)5/2

’

дх

х \х/

сЬ/

у\х/

9^

у

(Ри _г(г4-1)

{у\2 сРи_

г(г - 1) /2А2 92гг

_

V

дх2

х2\х/ ’

ду2

у2\х/ ’

дг2

\х/

х охоу

ху \ху

охог

х\х/\х

= I (2 )' (1

+*|„ М).8.65. р

= „’ Л< +3,р

= 2адЛ< -

4,

дуoz

у \х/ \

х/

ах

ау

|

= 3*у2*2^ + 2,

| -

1 , 0

=

0,

0

=

2х ^

,

^

^

^

^

^

^

д2и

д2и

д2и

д2и

1ы Гг = 4у2^

’ ^

т

= 8^

3<3’

Ш

- и х у 2 ^ -

8.66.

Гх(3, 2)

= 56,

/;(3 , 2) =

42, /^ (3, 2)

=

36,

/« у(3, 2)

- 31,

/;;(3 , 2)

= 6.

8.67. / ' ( 1 , 2) -

е(2е4 - 1), /'(1 , 2)

=

4е5, /^ (1, 2)

■=

Ответы и указания

403

=

е(6е4 - 1),

/",11 2) =

8е5,2) =

18е5.

8.70. /£,(0 , 1) = 0,

/£„(0, 1)

=

2, / “ „(О, 1)

= О,

/"„(О, 1) =

0.

8.71.

=

= ~~1+48(Х

^

Ц) ,™ г= у/(г- (Г(11-ч)>.

и

~

дхг ^

др+яи

=

— 6(со з х 4-сояу). 8.73. ^

~■— - — р!д!.

8.78. г2 сое#.

8.85. /^(0, 0) =

—

(0, 0)

=

0. У к а з а н и е . Проверить,

что

функция

равна

нулю

во

всех

точках осей О х и От/,

и использовать определение частных про­

изводных.

8.86. У к а з а н и е . Проверить, пользуясь

правилами диф­

=

у

( х 2 - у 2

Ах2у2 \

=

~2--- 2

+ 7 о--- 2У2

ПРИ х 2 + у2 ф 0,

/;(0 , 0) = 0, и, следова-

чх2 4-т/2

(х2 4-т/2)2 у

тельно, / ' ( 0, у) = -у. Отсюда /''у(0, у) =

/ " у(0, 0) =

- 1.

Аналогично

находим,

что

/ " ж(0, 0)

=

1.

8.87. Аг

=

0,33, с1г =

0,3.

8.88. Дг

=

=

0,0187,

с/г = 0,0174.

8.89. <Ь =

,------ хАх . .

.

+ ■

Лу

у/х2 4-у2{у 4- у/х2 4-у2)

у/х 2 4- У2

8.90. бк =

—--- у Г — --(2х с1у

у с/х).

8.91.

tg - (x dy - ydx).

х 1 соб2 (у1 /х)

у2

у

8.92. du—(хуУ( —dx4-- dy4-1п(ху) dz).

\х

У

)

8.93. df =

(хг - х г)хх12~хз~1 1пх4 dx\ 4- хХ2~Хз \пх\1п х 4 dx2 -

- Х?2-Жз 1пХ 1 1пХ4 с/хз 4- х^2~Хз ———.

Х4

8.94.

й/(1, 2,1) = 5 &

~ 2(ф :,+ .2 ^ )

8.95.8,29.

8.96.2,95.

8.97.0,227.

8.98.

8,2м3.

8.99. Уменьшится

на 1,57см.

8.100. Увеличится

на

617,5 см3.

8.101. dz =

Зх(х 4-2у) dx 4-3(х2 — у2) dy,

с12г =

б((х 4-у) с/х2 4-2x dx dy — ydy2).

8.102. dz -

(xdy - ydx)

4-

,

Л = 2 ( X * 2 + ( Л _ ± ) * * , _ £

.

8 103 с/г =

(ж + У) ^

^^

^

_

-г/2 <£е2 + 2ху йх(1у - х2 <Лу2

у/х2 + 2 ху

'

(х2 + 2 ху)3/2

Ответы и указания

407

= xy2 + y2h + 2xyk + 2yhk + xk2-\-hk2. 8.178. Д/(х, у) =

— h2 + 2hk + 3k2.

- (z - 1)

- 1) + (ж - 1)2

+ (ж - 1) (у - 1) ~ (х - 1)3 + (х - 1)2 (у -

1) 4-о(/э3) ,

где р =

у/{х - I )2 + (у -

I) 2.

8.185. fix , у, z) = {х - 1) +

(у - 1) -

8.186. z

=

1 + |(ж - 1) -

^(у - 1) - ^(ж -

I )2 - ^(у - I )2 + vip2),

где р

=

y /ix ^

T j^

lji^

l)2.

8.187. гт т-

=

-9 при х - 0, у

= 3.

8.188. zmax

=

1/64 при х

=

1/4,

у — 1/2.

8.189. zmul- =

- 4/3

при

х = 0, у =

— 2/3.

В стационарной точке (2, —2/3) экстремума

нет.

8.190. 2т -ш =

30 при ж = 5, у — 2.

8.191. 2min = 10 — 18 In 3 при я =• 1,

у =

3.

8.192. zmin =

-28

при ж =

2, у =

1;

гтах = 28 при х =

-2,

2/ =

— 1.

В

стационарных точках

(1, 2),

(— 1, —2) экстремумов

нет.

8.193. zm\n =

0 при х — у — 0.

В стационарных точках (—5/3, 0),

(1, 4),

(1, —4) экстремумов нет.

8.194. zmm- = 0 при х = у = 0; 2тах

=

2е-1

при х

— ±1,

у = 0.

В стационарных точках

(0, ± 1) экстремумов нет.

8.195. 2тах

=

2 при ж = ту = 0. 8.196. umin —

-14 при х =

2,

у -

-3,

z — 1 . 8.197. Umax =

1 /77 при х — у — z — 1/7. 8.198. ггтш =

29/4 при

х =

21/4, у — 21/2, г = 23/4. 8.199. Уравнение определяет две функции,

из которых одна имеет максимум (zmSLX — 6) при х = —2,

у

— 1, дру­

гая —

минимум (zm*m = —2) при х — —2 , у = 1; в точках окружности

(х 4-2)2 4-(у — I )2 =

16 каждая из этих функций имеет краевой экстре­

мум z — 2.

У к а з а н и е . Указанные функции определяются явно равен­

ством z — 2 ± у

/ 1 6 - (х 4- 2)2 — (у — I )2 и определены только внутри и

на окружности

(х 4-2)2 4- (у — I )2 = 16, в точках которой обе функции

принимают

значение z —

2.

Это значение является наименьшим для

408

Ответы и указания

у — —2, а другая — максимум

(^тах

=

-8/7) при х

=

0,

у

=

16/7.

8.201. 2т т

=

-19/4 при х = у = -3/2.

8.202. 2т }п = 2 при ж =

у =

1.

8.203. 2т т

= -1 - 2л/2 при а: =

-1/>/2, у = 1/\/2;

2т ах =

1 - 2\/2 при

ж =

1/л/2,

у = -1/%/2.

8.204. 2т!п =

0 при ж =

1,

у =

0;

2тах =

1/27

при х = у =

1/3.

8.205. 2т ,п

:

— \/5 при

ж =

—2\/5,

у

-

—1/\/5;

2тах

= \/5

при ж =

2/\/5, у =

1/\/5.

8.206. ит т =

-18 при а; =

-4,

?/ =

-2,

2

=

4;

итах

=

18

при а;

= 4, у = 2,

2 = -4.

8.207. ит ш

при

а; =

у

=

0,

2

=

±2; итах =

16 при х — ±4,

у

=

2

=

0;

при

ж =

2 = 0,

у = ±3 экстремума нет.

8.208. итах =

26 при х = у =

2 =

2.

8.209. итах =

2 в точках

(2, 1, 1),

(1, 2, 1),

(1, 1, 2);

итш =

50/27

в

точках (2/3, 5/3, 5/3),

(5/3, 2/3, 5/3),

(5/3, 5/3, 2/3).

8.210. У к а з а -

ние. Искать

минимум функции и =

ж3 -Ь у3 ~Ь

при ж + у + г == й.

---- -----

8.211. а)

2наиб =

6

при

ж = 1,

у

=

0;

б) zHAиб =

5 при х

-

у

=

0.

8.212. 2„аиб =

6 при х =

3,

у -

0 и при ж =

0, у =

3,

2„аим =

-1

при

ж =

у =

1.

8.213. 2„аиб

=

-

при

ж = у =

±-^=;

г„аим

=

- -

при

1

2

1

/

2

ж — —у — ± —^=.

8.214. -^наиб — 2^2

при ж —

, у —

у 3 ’

^наим —

2

1

/

2

при

ж =

-- -р,

у

=

±л/-.

8.215. а

=

^/а •

•

^а.

"

Зч/З

^

л/3’

"

“

V 3

8.216. Куб с длиной ребра а.

8.217. Куб с длиной ребра d\/3. 8.218. Коор­

2

R

2R R

шин. 8.219. Длины сторон параллелепипеда—р ,

—f ,

—J=. 8.220. Дли-

у З

у З

у З

2у/2

2лД

Н

ны сторон параллелепипеда — —Я,

— —Я , — . 8.221. Равнобедренный

и

О

О

треугольник с длиной боковой стороны "

. Q—— . 8.222. (-12/5, - 3/5),

2 sin а:/2

(12/5,3/5). У к а з а н и е . Достаточные

условия

экстремума заменить

о

. гщхх + т 2х2 + ■■■+ т пхп

_

гщух + т 2у2 + • • • + т пуп

.

о«**э. ж —

, у

—

m i + т 2 + ... + m n

m i + m 2 + ... + m n

„

sin a

v\ ..

_

8.226.

- =

— . У к а з а н и е .

Очевидно, точка М , в которой луч пере-

sin р

v2

Ответы и указания

409

чем A M

= ——

,

В М =

--- -, А\М =

a t g a , В\М = b t g /З. Продол-

cosa

cos р

a

b

жительность движения луча р ав н а ------- 1------ Задача сводится

Vi cos a

V2 cos p

r/

n\

=

a

b

к отысканию минимума функции / ( а , р)

------- 1------ - при усло-

v\cos a

V2 cos p

вии,

что

a t g a

+ btg/3 =

c.

8.227. a =

/3. 8.228. I\ : /2 : ...

: / n =

1

1

1

=

'

~R~ ’

’ ”

’

У к а з а н и е .

Найти

минимум

функции

f { h

j ^2, •••, Лг)

=

-Rl

"f /|^ 2

+ •••+

При

7i

-f /2 "f . . . -f /п

= /.

л

ч

^

ж -тг/4

у - 7Г/4

г - 1 / 2

ч

8.229. а) ж - у - 2г + 1 =

0, --- ---= ---- -—

= --- б) ж + ez -

л

ж — 1

?/ - 7Г

^- 1/е

л _

7га

л

1

-2 = 0,

----

=

----

=

---- — .

8.230. — р .

8.231. cost*

=

-7=,

1

О

е

2V 0

ч/б

1

2

cos(3 =

— т=, COS7 = —

р .

8.232. 4ж -f у -f 2z - 78 =

0. 8.233. а) 2ж -f

у б

\/б

+ 7 v _ 5 2 + 4 = 0, 3 ~ ? = ^

= ^ ; б ) 1 + „ - 4 2 = 0,

=

=

в) z = 0, ^

^

=

у

(в точке

(0, 0, 0));

г

=

-4,

ж

у

z + 4

/

//л

л

0

,

ж — 2

у — 10/3

2 + 4

- =

-

=

—

(в точке (0, 0, -4)).

8.234.

- у - =

-------

=

плоскости Ожг,

в точках (±2, =р4, ±2) —

плоскости Ожг, в точках

(±4, =f2, 0) —

плоскости Oyz.

8.237. а) жсоз<£0 + ysin^o

~ z t g a — 0,

ж — го cos <^о

У — го sin у?о

_

z ~ ro ctg а

б) ажзт^о — ay cos VQ +

cos (fo

sin

“ tg a

+

= auoVo,

x - u 0 cos vo

=

y ~ u 0 sin г;0

г - av0

OOQ

---- ;-----

----------

= ------ . 8.238. cosy? =

asinuo

— acos^o

Щ

=

— ^ = L = .

У к а з а н и е . Углом между двумя поверхностями в точке