Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

32 Гл. 5. Введение в анализ

При вычислении пределов вида lim u(x)v^x\ где lim u(x) — 1,

lim ?;(х) = оо, используется замечательный предел (2).

TO

\ 2x

0— 1

r-»oo у 2 + X /

(здесь использована непрерывность композиции непрерывных функ­ ций). >

Используя замечательный предел (2), а также результаты за­ дач 5.317-5.319, вычислить пределы:

5.334. Доказать, что lim /(т) = а в том и только том случае, х—»хо

когда для любой последовательности аргументов (тп)пе^, сходя­ щейся к жо, соответствующая последовательность (/(^n))nGN зна­ чений функции сходится к а.

Используя результат задачи 5.334, доказать, что для следую­ щих функций не существует lim /(т):

Х —>Х0

5.335. f(x ) — cos т,.то = оо. 5.336. f(x ) = sin 1/т, то — 0.

5.337. /(;х) = х — [т], то — оо.

Найти односторонние пределы:

5.346. Доказать, что предел функции у = f{ х) во внутренн точке то области ее определения существует тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы и они совпадают.

2.Бесконечно малые и бесконечно большие. Функция а(х) назыв

Пусть а(х) и ß(x) — сравнимые бесконечно малые при х —> Хо и

сх(х)

пусть, для определенности, существует lim ——— = С . Тогда:

Х-+ХО р[х)

бесконечно малой порядка г относительно ß(x).

малых, вводится понятие сравнимых бесконечно больших и их класси­ фикация.

Используя результат задачи 5.364, вычислить пределы: arcsin (x/yfl — x2)

ln (1 — x)

тельно В ( ж) = ж при ж —>• оо:

5.372. Л(ж) = ж3 + 150ж + 10.

5.373. А (ж) = \/ж2 + Зж + 5 + |ж|.

3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Функция у — f (х) с областью определения D называется непрерывной в точке хо, если выполнены следующие три условия:

а) функция у = /(х) определена в точке х0, т-е- £ D\

б) существует lim /(х);

X —ÏXo

в) lim f(x) = f {хо).

X —ÏXo

Если условие а) выполнено, то условия б) и в) эквивалентны следую­ щему:

lim Д /(х0, Ах) = 0, Лее—»0

где

Д/(х0, Ах) = /(хо + Ах) - /(хо)

— приращение функции у = /(х) в точке Хо, соответствующее прира­ щению аргумента Ах = x —XQ.

называется точкой разрыва функции у — f(x). При этом различают следующие случаи:

а) lim /(х) существует, но функция не определена в точке хо или на­

другу), то Хо называется точкой разрыва 1 -го рода.

в) В остальных случаях хо называется точкой разрыва 2-го рода.

5.378. Используя логическую символику, записать на язы «£-6» следующие утверждения:

а) функция у — f{x) с областью определения D непрерывна в точке то Е D;

б) функция у = f(x ) не является непрерывной в точке то Е D .

Доказать, что следующие функции непрерывны в каждой точке их естественной области определения:

5.379. f(x ) = хп, п е N.

<1 Используя формулу бинома Ньютона, получаем

Д/(*о, Д*) = (*o+A*)"-a:J = С ^х”- 1 А х+ С 1х% ~2(& х)2 + .. .+{ А х ) п .

Отсюда lim Д/(хо, Ах) = 0. >

X ^ 7г/2,

X > 7г/2.

Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в слу­ чае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерыв­

4.Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность. Фун

ция у = fix) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке х £ D. Она называется равномерно не­ прерывной на множестве D , если для любого е > 0 существует число

<5(г) > 0 такое, что для любых х', х" £ D из неравенства \х' —х"\ < <$(е) следует |fix') - fix ")|< е.

Теорема Кантора. Если функция у = /(ж) непрерывна на от ­ резке [о, Ь], то она равномерно непрерывна на этом отрезке.

38 Гл. 5. Введение в анализ

5.404. Доказать, что если у — f(x ) — непрерывная на [а, Ь] функция, то она:

а) ограничена на [а, 6]; б) достигает на [а, Ь] своих верхней и нижней граней (теоре ­

ма В е й е р ш т р а с с а ) ; в) принимает на любом интервале (а;, У ) С [а, Ь] все промежу­

точные значения между f(a') и /(&') ( т ео ре ма Коши) .

5.405. Доказать, что если функция у — f(x ) непрерывна на

принимает на любом отрезке [0, а] все промежуточные значения между / ( 0) и /(а), однако не является непрерывной на [0, а].

5.407. Доказать, что всякий многочлен нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень.

5.408. На языке «е-6 » сформулировать утверждение: функция у — f (х) непрерывна на множестве D , но не является равномерно непрерывной на этом множестве. В качестве примера рассмотреть следующие функции:

5.409. Доказать, что если функция у — f{x) непрерывна на

[а, +оо) и существует конечный lim /(т), то эта функция рав-

х—>+оо

номерно непрерывна на [а, +оо).

5.410. Показать, что неограниченная функция f(x ) = x + sinx равномерно непрерывна на всей оси —оо < х < +оо.

Следующие функции исследовать на равномерную непрерыв­

5.415. /(ж) — аг^ ж , И = М. 5.416. /(гг) — у/х, И = [0, +оо). 5.417. / ( х ) — х б ш х , И — [О, +оо).

§5. Комплексные числа

1.Алгебраические операции над комплексными числами. Компле ными числами называются всевозможные упорядоченные пары г ~(х,у) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения:

Множество всех комплексных чисел обозначается символом С. Действительные числа х н у называются действительной и мнимой

частями комплексного числа г = (ж, у) и обозначаются символами Пег и 1т г соответственно.

тельными числами ж, а число (0, 1) обозначить символом г, то равенство

(3) принимает вид

г — х (у

и называется алгебраической формой комплексного числа г = (ж, у).

5.418. Доказать, что операции сложения и умножения ком­ плексных чисел обладают следующими свойствами:

д) 21(22 + г3) — ^1^2 + 21^3 (закон дистрибутивности).

!) То есть установить взаимно однозначное соответствие (х , 0) £ между

множествами {(х, 0) |х Е К} и М. Из (1) и (2) следует, что это соответствие «сохраняет операции»:

5.419. Доказать что:

а) \/^], 22 ф 0 3 г(г2г = гх)

(число 2 называется частным от деления г\на Х2 и обозначается

В задачах 5.420-5.429 выполнить указанные операции, пред­ ставив результат в алгебраической форме.

5.420. (1 — 2г)(2 + г)2 + 5г.

<1 Задача состоит в том, чтобы заданное комплексное число представить в форме х + 1у. Для этого можно воспользоваться непосредственно фор­ мулами (1) и (2), однако этот же результат можно получить следующим

образом. Как показывают свойства операций, перечисленные в задаче 5.418, при сложении и умножении комплексных чисел, представленных в алгебраической форме, с ними можно обращаться как с биномами вида

2 — i

5.425. ----

1 + г

<1 Результат может быть получен непосредственно по формуле из задачи

5.419. Заметим, однако, что (1 +г)(1 —г) = 2 есть действительное число. Поэтому, умножая числитель и знаменатель заданной дроби на 1 —г, находим: