Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

Ответы и указания

371

6.78. sh ж. 6.79.

6 .8 0 .---- 6.81.

^— —-1-9? -1?-.

ch2 ж

sh2 х

(х + I)4

л

10 —2х —2х2

2х2 + 9х + 1

6.82.

---- 6.83. -

Зх2 {/х2(х + 2)2(х - 1)

2у/х + 2у/(х - 1)5(2ж + I)4

11»*-7**-_5_8х> + 48*^

_

х

4л/^ гТ>/(® + 2)3 -У(ж - 2)5

х

+ In ж • In 2^.

6.87.

{у/х) У*

•

6.88. (Ina:)1/* х

l- lnzlnlnrr

л

/

ln sin ж

.

\

х ---- —----- .

6.89. sinx

arcsina: [ —-===. + arcsin x • ctg x ).

x ln X

V V 1 - X2

)

6.90. Xх* 'Xx~l (1+ж1п.т(1пж—1)). 6.91. ---- --flnlnrr + —^--

-

v

v

n

zln*

V

lnx

x

x > 0. Указание . Найти производную каждого слагаемого.

Л ЛЛ

.

.

1 + 2\/l + cos2 х

лт

_

6.93. —sin2х—

----- —--------- -

. Указание. В качестве

2V 1 -f cos2 rr(cos2 X +v l -f cos2 x)

промежуточной переменной взять u =

cos2 x и далее воспользоваться

правилом

дифференцирования сложнойфункции.

arccos х

6 .9 4 .-- _

х

\/1 - х2

, _

2 arcsin е~х2 -f е~х2 (1 —е~2х2)1/2

х (2 ln arccos х + 1).

6.95. -2хе х ------------ 0

2-.Q/0-------.

v

;

(1 - е~2х )3/2

6.96. -

-~ r ; (4a-xarctga~x

+ а-2х - 1).

6.97. а

=

2,

Ъ = 0.

(1+а~2х)2

Указание . Условия непрерывности

lim f(x)

=

lim

f(x)

и диффе-

х—>—0

х—>+0

ренцируемости / Ц 0) =

/+(0) составляют в совокупности систему двух

уравнений относительно а и Ь.

6.98. а = —

1

3

Ь = -.

6.W.

2x2

6.100.

...

1

/

/1 - ж \ т/(т+п)

/ l + a;W(»>+n)N

6.101.

n

----

-rn

\1 —x

m 4- n \

4- x J

Л

Л

Л

ч _

Л

т smnix

m tgm x

Л

. / а\-Т

6.102. - sm2x cos (cos2ж). 6.103.--- — -- г =

------ . 6.104. ( —) х

cosn+A(mx)

cosn mx

\Ь/

бл ю -

^

' 6-106-

^

<

Л

e .l0 7 .2 ,lo62e ctg(2,I

+ J ) .

ПЛОВ,

+# £ > ..

V 3

V

2 /

1 + tg4 ж

6.Ш .

+

a cos ax cos bx + b sin ax sin bx

/ sin ax , „

sin2 ax \

6.132. ------------ —-----------

3cosЬх 1пЗ+

—

5-г- .

cos^ bx

\

cos

bx J

6 136

у/ф2(ж) + ф2 (х)

\/<р2х + ф2(х)

6 .Ш .^ )* > ^ Ч * )1 п Л х ) + *

№

у

6.140.

6.141.

V

щх)

)

X

f{x)

4

1

I)2 т

6.143.

f ( f { x ) ) f ( x ) .

6.144.

-.

6.145. — .

6.146.

—

a y

о

е

6.147.

* ? Г К } -

6.148. -

Д

6 .1 4 9 .----

у(2у2 —х2)'

у х'

’

2(1 + In у)

6.150.

6.ш .

~ !) -

_ 2»-.

еУ cos х —ех cos у

х

2у(1 —2х)

6.ш .

, / I Z Z

1 -

6.154.

£ ± » .

6.16S. W1 - * 1 - » 2

V1 —X2 1 —yj/l - у2

х —уX1

6.156.

6.157. -.

6.160. ±

г- —

Указ ание .

Функ-

а; у In ж - ж

х

yjx2 - 1

ция у — chrr,

х £

(—оо, +оо), не имеет обратной,

поэтому

следует

Ответы и указания

373

1

1

2

6.161. log2 е • ctgrr.

6.162. —= = .

6.164.

---- т-г. 6.165.

--- ~ оТ \•

&2

&

УГ+8^

l +e“«*)

1+6а2(х)

6.166. .

---.

6.167. -— --1

6.168. 31 -

6.169. —.

а(ж) + log2 е

1 + 1па(т)

2

St

Г\I

1

6.170.

.

6.171. -23t+1.

6.172.

— ctgip.

6.173. 2cos2lx

t -f- 1

Cl

x(cos21 -

2sin21).

6.174. 1.

6.175.

6.176.

|ln2ctg2i.

_____ ________

/

О

6 . 1 7 7 . 6 . 1 7 8 .

\№ — ф - . 6.179.-th t. 6.180.1. 6.181.-1.

2ч/4^г

у

_ Щ з

a

4

2 —

6x4

2

6.186.- —— x

О

(1тЖ j

01П Z

x 2 + 1

____

Л

2 /

9

Sx

( 1

+ 2 x 2) a r c s i n e

X p r i j a - « •* « •

P -2 - » •

+

( 1 - ' ^

•

в.ш. ^-42 + l,.x) (ii„x + \- ^

+ a^aVin»))-

y " a3a‘

6.190. y'(0) = 3,

y"{0) = 12, y'"(0) = 9.

6.191. 2.

6.192. 6.

6.193. y{0) = 1, y'(0) = In 2,

„”(0) =

2-1. 6.194. „■=

- I

j ( -L), „» = « r (-L) + ±s , " ( 1 ) .

6.105.,/ -

/(er)

’

^ =

I

|

l / , V

)

/ , V

) Y

6.197.«' =

/2{e*) /

_

u u ' + vv'

n _

(u2 + v2)(uun + vv”) + (u'v - uvf)2

o ino

, _

U*

" 7 ^

+ ^

,

y

=

~

(U2 + u 2)3/2

•

•

- y

- u ~

v'

„

uu"

— a '2

vv" — v'2

Л

m!

^ m;

---2/"

— ------ ----------- ----. 6.199.

------ —xm n , если n

гг

vz

(m — nj!

0, если n >

m. 6.200. (/c In a)na^ . 6.201. sin

+ n ^ )' У к а з а н и е *2/

—

=

co s x =

s in

-f

2/"

=

^ s in

+ 7 ^ ) ) “

c o s

( x‘ +

^ ) —

s in (ж

+

7r)

и

т.д.

6.202. (- 1 )71-1 — —

— .

6.203. 2n~l cos (2x + -77-V

У к аза -

V

2 /

1 -f-cos 2ж

2n!

ние. Воспользоваться формулой: cos2 a; =

--- ---- . 6.204

2

*

(1 - z ) " * 1’

(ж -1)50~ (а;- 2 )50

1-3- 5 ...37(79 - x)

лг

6.206.

—

----------------------------------- -rz-.— . 6.207.—— -

(x2 - Зя +

2 )51

220(1 - x)20V T ^

пользоваться равенством 1 + x = 2 — (1 — x).

6.208. cos x-(209 — x —x2) —

— 15sinx-(2x + l). 6.209. ex(x2+39^ + 360).

6.210. 4\^sin

Ответы и указания

375

1

7Г

t2 =

6.263. в = arctg 7 .

6.264. в =

- 4 2<р.

6.265. a) t 1 =

0,

8;

б) t G

&

2

4

г-

4

G (О, 4 ) U (8, -f-oo);

в)

= ” (3 4 v3), t2

=

- (3 -

\/3).

6.266. -acjsina;^

7

6.267.

242.

6.268. — тг.

6.269. auea*.

6.270. ?;.т =

-2awsin 2<p,

vy =

18

= — 2acjcos2^. 6.271. В точках (3, 16/3) и (-3,

—16/3).

6.272. 47гг2г; и

8ттп;.

6.273. 2тград/с.

6.277. (A?/)i =

1,261,

(dyjj

=

1,2,

(At/)2 =

= 0,120601, (dy)2 = 0,12.

6.278. As

=

2xAx 4 A x 2,

ds

=

2xAx.

6.279. ds =

ции (см. задачу

6.276). 6.283. 2 см.

6.284.

Зсм.. 6.285. 2у/ a 2 - х2 dx.

6.286. x sm x d x .

6.287. arctg х dx.

6.288.

ln xdx. 6.289. arcsin x dx.

6.290. J £ * L .

M W . V

6.292. - > / 2 * ,

6 .2 9 3 .- ^ .

1

+ 5у4

y{2y2 - .г2)

у x

ev -

1

6.294.

<b.

6.295.

* "(* +»>

dx.

6.296. JL±ü<i*.

у1

1 4 sin (x 4 y)

x -

у

6.297. - 1 +y s.n

dx.

6.298. a )

0,05; 6) 0,805;

в )

0,2.

6.299. 2,93.

x sin (xy)

6.300. 1,2.

6.301. A V

«

2ттгЪЛг. У к а з а н и е , Поскольку

h постоянна,

то v является функцией одного аргумента г: и = irhr2.

R T

6.302. A V

«

1

ется

функцией

только

одного

аргумента р : V =

R T - .

6.303. —ab2 sin (hx 4

с) dx2 — — b2y dx2. 6.304. 3

2

р

x

ln9(2.r2 ln 3 — 1) dx2.

л

(2 - x2) sin x — 2x cos x , 9

л

л

7 0

лЗ.т

6.305. ---------- --------- dx

. 6.306. 2а dx

. 6.307.2—

— --- -— dx2.

______f

(x2 — З.г + 2)3

\/l — x2 • x 4" arcsinx

,

0

л

6 .3 0 8 .-----—---- -------- dxw. 6.309. - x (l 4-x

)

/

dx~.

(1

— X 1 ) 6! “

л

„

a (l

+ a2)sin.x

. 0

,

2 dx2

„

R 2 dx2

6 .3 1 0 .

-------^— —

dx2.

6.312.

7----

.

6.313. -7--- — .

(1 4

a2 sin2 rr)

/

(x + 2y)s

(у - 6)3

6.3,4. 6X(‘ + f

l f

,

6.315. #

^

4 .

6.316. /(*)

„p„

(1 - 2>yl Y

( l- a c o s y y

x =

0 G [-1, 1].

6.317. 0. 6.319. У к а з а н и е . Провести доказательство

действительных корней.

6.321. У к а з а н и е . F(b) = F (a)-

6.322. £ =

= l / S

.

6.326. У к а з а н и е . Воспользоваться результатом задачи 6.323.

6.328.

=

1/2,

£2

= 5/3.

6.329.0.

6.330.1/3.

6.331. —am~n.

6.332. !n a ~!n t

6.333.

1.

6.334. 2/3.

6.335. -^=.

6.336. a2

l n c - l n d

'

3^5

6.337.

2.

6.338. 2/3.

6.339.

-1/2.

6.340.

2. 6.341. 9/50.

6.342. 1/2.

6.343.

1/2.

6.344.

0.

6.345.1/2.

6.346. -oo. 6.347. cos3.

6.348. -2.

6.349.

1.

6.350.

0.

6.351.

0.

6.352.

0.

6.353. 2.

6.354.

0.

6.355. +oo.

6.356. 1/тг.

6.357. a.

6.358.

0.

6.359.

-1.

6.360. 0.

6.361.

1/12.

6.362. -1.

6.363. 2/3.

6.364.

1. 6.365.

1.

6.366.

1. 6.367. e.

6.368. 1.

6.369.2.

6.370. l/e . 6.371.1.

6.372. l/e .

6.373.1.

6.374. e“ 6.

6.375. e2.

6.376. e.

6.377. 1/Ve.

6.378. l/ ÿ ë .

6.379. -9 + 17(æ + 1) - 9(x + l )2 +

+ 2 (x + l ) 3.

6.380. 7 + 11 (a; -

1) + 10(* -

l )2 + 4 (l + в(х -

l))(a: - l ) 3;

a) в =

1/4;

б) в —

любое

действительное число;

в) в =

1/4.

2

6.381. Р ( - 1) =

143, Р '(0)

=

-60,

Р " ( 1)

=

26. 6.382.

1 + J j +§[

+ ■■■

гг*71

ЭС

гр

грЗ

/у»5

•••+ £п\Т + Г(п£+-1)!Г^ П+1-

6.383. т>-^71! + ТТ3! -••• +5!(-1)'”-1’/2^п\+

sin [вх + (п + 1 )(7г/2))

.

х

х3

х5

,

+

(п + 1)\

Х

’ п не4етш; Î! "

3! + 5! ~

•+ (_1)

Х

Xп—1

sin (вх + (п + 1)(7г/2))

+

'

( „ + 1)1..............* “+‘ '

"

™

6384

1- -

+ - -

|(

11,-1

с м (« 1 + (п + 1)(Т/ 2))

2!

4!

'

1

'

(п - 1 )!

(п + 1)!

ж2

ж4

,\п/2а;П

соэ (0а; + (п + 1)(7г/2))

т г + 1

" " в

^

2! + 4|---- + (- 1 ) / Ы

+

-

(« + !)!

'

т2

тп+1

п четно. 6.385. а; - —

+ ... + (- 1)’1-1--- 1- --- ——--

, х > -1.

2

'

'

п

(п+ 1)(1 + 0ж)п+1

6.386. х - ~

^— ... + ( - 1)(п_1)/2—

+ Дп+1(х), гг нечетно; а: -

+

3

5

1

п

3

+ ——

... + (—1)п/2--- - + Я п+1(ж),

п четно. У к а з а н и е . Остаточный

5

п — 1

член записать в общем виде.

,

ск(а —1) . . .(а —п + 1)

„

а

а(а —1)

,

Ответы и указания

377

X2

ХА

X6

х2п

6.388 .1 - Y

+ ^ i ~

2г и + ' "

+ (~ l)n F ^ ! '

У к а з а н и е -В Разл°-

X2

жении

еи по формуле Маклорена

(см. задачу 6.382) положить и = — — .

6.389.

^

^

+ ... + (-1

- У к а з а н и е . Записать

«чоп

5х

(5х)3 I

I ( m

(5a:)2n+1

fi401

,

3:2

*-S“

- T -

2Г з ! + "-

+ (-1)

22n+1 ■(2n + 1)!

*-s ,1 - 2 I" 2 +

7 -

—

«

“ (1+! T - ^

P +

+Й

&

+ --- + ( _ 1 ) П _ 1 1

3 2 n 2n\

3 ) V

) '

6-393- 2 - ( x ~ 2) +

,

(a; — 2)4

„ „ „ „

x3 l + 2 sin30x

+ (x

- 2)2

- (ж -

2)3 + --- ---- --- г.

6.394. ж +

-------- IL— г-:-.

к

к

>

(l + Q[x — 2))

3

cos4 Ox

.

+

ж3

+

ж4 96х + 6вэх 3

J + _ ( I

(x - 1)

_

3 ,

,

6.395. ,

_

6.396. , - L _

_ 1 ) 2

5

35

(x — I )4

- 1 6 ( I - 1)3+

Ш

^

7 Г

^ '

6-397. a) 0,842 ; 6 ) 1,648; в) 0,049;

г) 2,012.

6.398. a)

6 )

£

6 . 4 0 0

. ,)

1;

6 ) 1/2;

в) 1/2.

6.401. У к а з а н и е . Воспользоваться разложением функции по

тельно.

6.402. J(xq) =

0 — минимум, если ср(жо)

> 0 и п четное;

f(x о) =

0 — максимум,

если <р(хо) < 0 и п четное;

экстремума нет,

ным условием

экстремума.

6.404. На

(—1, —1 /у/2)

и

(1/\/25 1) убы-

вает, на ( - 1/\/2, 1/\/2) возрастает; ymi„ = у(-1/\Д) =

- 1/\/2, утах =

=

у(l/s/2)

=

1/2.

6.405. На (—оо,

—1) и

(0, 1) возрастает,

на

(—1, 0)

и

(1, +оо)

убывает;

ymSkX =

у(~ 1)

=

у{ 1)

=

1.

6.406. На

(0, 1)

и

(1, е) убывает, на (е, +оо) возрастает;

ут \п

=

у(е)

=

е.

6.407. На

(^ (6fc - 1),

^(6fc + 1))

убывает,

на

^ ( 6fc + 1), ^(6& + 5)^

возрас-

тает; утт =

у (2ктг + | )

=

2кп

+

- \/з) ~ 2ктг - 0,685,

утах

=

=

у ^2Ьг + у

)

=

2(fe + 1)тг -

( |

- \/з) «

2 (к + 1)тг + 0,685,

к е Z.

6.408. На

(0, 2)

убывает,

на

(2, +оо)

возрастает;

т/т1П

=

у(2)

=

378

Ответы и указания

— 2(1 — In 2)

и

0,61.

6.409. Возрастает во всей области

определения.

6.410. На

- 3),

^(8fc + 1))

возрастает, на

+ 1)>

+ 5))

убывает;

утях

-

y ( 2k7r +

j )

=

с2кл

« 1,55е2А7Г,

ymin

=

= y^ kir+^ ^ j

=

— е2кл(ел/4-^-^ и

— 1,55е2Лтг,

к €

Z.

6.411.

На

(0, 1/е)

убывает,

на

(1/е,

+ о о )

возрастает;

î/min =

т/(1 /е)

= (1/е )1/6

«

«

0,69.

6.412. На

(— 0 0 ,

0) убывает,

на (0, + о о )

возрастает;

ут\п —

=

1/(0)

=

2.

6.413. М

=

3,

m

= -24.

6.414. M

=

8, т

=

0.

6.415. М

=

0,6,

m

=

-1.

6.416.

М

= 1,т

=

0,6.

6.417. М

=

2,

??г

= s/2 «

1,26.

6.418. М

=

тт/4,

m

= 0. 6.419. M

=

1, m = -1.

6.420. Л/ =

1/\/ё «

0,61, т

=

у/е «

-0,61.

6.421. У к а з а н и е . Рас­

смотреть функцию

у— ех —(1+.х) и показать, что у нее существует един­

2-с.

6.426. |АР| =

=

^500 —

км ~ 442,3 км.

6.427. х =

-,

у — ^ ^р - х - “7^ -

6.428. а

=

^ .

6.429.

6.430. тго3.

6.431. ^ ят 2Л.

6.432. ?тгг3.

0<7г

3

4

27

3

6.433.

6.434. 2г2.

6.435. N ( 1, 1).

6.436. х =

у =

Д/%/2.

6.437. Разделить отрезок пополам.

6.438. г =

../? Я —

+ 7/2

■=-------- . 6.439./г =

(е2/3- d 2/3)3/2.

(\ /Д Н Я 2 - R){y/W T H * + 2Я)

выпуклость вниз, на (—1, 1) —

выпуклость вверх, М\(—1, у/2) и

М 2(1, \/2) — точки перегиба, к[ =

/с2 = оо. 6.444. График всюду вы­

Л/(0, 0) — точка перегиба, к =

оо.

6.447. На (0, е-5/6) — выпуклость

вверх, на (е-5/6, -foo) — выпуклость вниз,

М ^е“ 5/6, 1 — g e_5//6^ —

3

3

9

точка перегиба, к = — - е~5/3

«

—0,28.

6.448. а = — -

,

Ответы и указания

379

6.449.

в.451. У к а з а н и е .

Если

хо

—

абсцисса

точки

перегиба,

4х2

то х0 tgxo =

2. Тогда= у2(хо) =

Ждвт2 хо =

-—

6.452.

х — 2,

4 -Ь х0

у — 1.

6.453. у — х —

6.454. х =

0,

?у = 1

(правая),

у = -1 (ле-

о

7Г

7Г

вая).

6.455. у = Зх + — (правая), у — Зх — — (левая).

6.456. х — О,

у = 2х, ж = —1

(левая).

6.457. у =

0.

6.458. ж =

—

,

?у

= х Н— .

7Г

/

64\

6.459. у =

- х -

1.

6.461. г/т ш =

у(0)

=

-1;

( ±1,

\

и

(±у/5, 0) —

точки перегиба.

6.462.

утах

=

у(± 1)

=

1, ут 1П-

=

( 1 / б Т Л Г

6+ч/21/6+% /21

я

влв,

1=Ьу-- -- , — —— ( --- ---- 31

1 — точки перегиба. 6.463. ут&х =

- у {-у/3) =

у/3, 2/тт = 2/(\/3)

-

— л/3;

(0, 0)

И

^’"н г )

~~

27

точки перегиба.

6.464. ут \п =

?/(3) =

— ; (0, 0) —

точка перегиба; х = 1

ж -Ь 2

о

/~

и у

=

—

---- асимптоты.

6.465. т/тах

=

1/(0)

=

0,

г/т ;п

=

у ( у 4)

=

=

^^4;

^—>/2, - - ^ 2^ —

точка перегиба; х =

1 и у — х — асимп­

тоты.

6.466. (О, 0) — точка перегиба; х =

±1 и у =

х —

асимптоты.

6.467.

ут&х

=

У(¥4)=

Утт

=

2/(0)

= 0; (& 2 ,

1</2)

—

точка перегиба;

гг = — 1 и

1/=

гг — асимптоты.

6.468.

1/тах

=

= у(1) = 1 ,

^л/4,

—

точка

перегиба;

х

=

— >/2

и у

— 0 —

асимптоты.

6.469. (0, 0) —

точка перегиба;

а: = ±1

и

у

=

0

—

асимптоты.

6.470. утах

= у{0)

=

0,

ут \п

=

у(-\/2) = - - 5—,

17

+ ч/45^2(7

+ ^ )2 \ / 3/7 - %/45

^2(7 - >/15)2\

2

’

9 + ^

)

И \ Ч

2

’

9 -

\/45

у)

точки перегиба; я =

1 и ?/ =

0 — асимптоты. 6.471. (0, 0) —

точка пере­

гиба; я =

-2,

х — 2,

у — 0 —

асимптоты.

6.472. 1/тах = у (—3) =

-4,5,

2/тт =

у{3) =

4,5; (0, 0) — точка перегиба; х =

—л/3,

ж =

л/З,

у =

ж —

380

Ответы и указания

асимптоты.

6.473. ут \п

=

у(—1)

=

-1/3;

(-л/4,

-л/4/6)

—

точка

перегиба;

х

=

\/2 и у =

0 — асимптоты.

6.474. ут \п =

у(0)

=

— 1,

(±л/3/3, -1/2)

—

точки перегиба;

у =

1 —

асимптота.

6.475. (0, 0)

и

(у/А/2,

1/3)

—

точки перегиба;

х

=

— 1

и г /

—

1

—

асимптоты.

6.476.

1/тах

=

?/(0)

=

2,

(±1,

л/2)

-- точки

перегиба; у — 0 —

асимп­

тота.

6.477.

ут \п

=

1/(1) =

-1;

(0, 0)

и (2, 0) —

точки

перегиба.

6.478. ут ах

=

г/(0)

=

2,

2/П1|п

=

у(± 1) =

\/4.

6.479. (0, 0)

— точка

перегиба; х — —1,

.т = 1, ?/ =

0 —

асимптоты.

6.480. (0, 1) и (1, 0) —

точки

перегиба;

у

=

—х

—

асимптота.

6.481. (0, 0),

(±1, ±^/2)

—

точки перегиба.

6.482. (0, 0),

(± 1, ±>/2) —

точки перегиба;

у — 2х —

асимптота.

6.483. (0, 0),

(±1, ± У2) —

точки перегиба; у =

х —

асимп­

тота.

6.484. (0, 0) — точка

перегиба; у

=

— 1

—

левая

асимптота,

у — 1 — правая

асимптота.

6.485. ут \п

—

у{~\/3)

=

1;

(0, 0)

—

точка

перегиба;

х

=

—у/2

— асимптота.

6.486. ут&х = у(0) =

0,

Утт =

2/(2) =

л/16;

(~^4? — л/2) —

точка перегиба;

х =

л/4 и у =

х —

асимптоты.