Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

. 1

л/З

1

вом квадранте при у ^ - — отрезок прямой х —

при у > - —

отрезок прямой у — 1

х

3 2

5

4

... 5.214. 2,

0, б, 0,

- —т=.

5.213. 0, -, -, -,

-,

уЗ

2 3

4

о

.-»к

о „

14

17

20

5.216.

2тг

7тг

8тг

13тг

14тг

10, ... 5.215.

8, 11,

3 ,

5 ,

7 , ...

3 ,

3

, 3 ,

3

,

3 , • • •

5.217. ®п =

f-l'l"

5.218.

zn =

1 + (-1)п.

5.219. хп

=

2г?

*— V-

---—

п + 1

(

2 n _ 1

5.220.

5.221. хп = (- 1)"^

5.222. хп =

—

(?1 —1)7Г

5.223. Наибольший член

— 4.

5.224. Наибольший

s in -------.

4

член .Т5 =

е.

5.225. Наибольший член Хд — 1/6.

5.226. Наименьший

член Х2

=

—22.

5.227. Наименьший член х$

— 24.

5.228. Наимень­

ший член х 3 =

—9/8.

5.229. а)

З Л

> 0

Vn Е N(|xn | ^ A); VA > 0

Зп

6

N(|x„| >

А).

6) V N Е N (x n

< rcn+i);

3 п

Е N (хп ^ хп+1).

в) Ve > 0

3N

е N

Зп € N(n > N Л \хп - а\ ^ е).

г) VЕ

> 0

3N

€ N Vn Е N (п >

>

N =>

|хп| >

Е)]

З Е > 0 V7V Е N

Зп

Е N (n

>

TV Л |xn | ^ Е).

д) Уе

>

0

Зп

Е N(|xn - а| < е);

Зе

>

0

Vn Е N(|x„, - а|

^ е)

5.230.

а)

а

=

1/3,

N = 3; б) а

=

1,

=

10; в)

а

=

0, N =

999

г)

а =

5/7, АГ

=

3.

5.231. 1/3.

5.232. -5/9.

5.233. 0.

5.234. -1/2

5.235.

0.

5.236.

0.

5.237. +оо.

5.238. 0.

5.239. 3/2.

5.240. -1

5.241.1/2.

5.242.1/3.

5.243.0.

5.244.1.

5.245.1/6.

5.247. Является

5.248. Не является. 5.249. Не является. 5.250. Является.

5.251.1/3,3

5.252. 0,

л/2/2,

1, ->/2/2,

~1.

5.253. тг/6,

-тг/6.

5.255. inf {a:„} =

=

Иш. х п — Игп хп — 1,

sup{xn } =

2.

5.256.

lim

хп — inf {хп} = 0,

Ответы и указания

367

5.367.

3.

5.368. -2.

5.369. 2/3.

5.370. 8/9.

5.371. ЗуД/2.

5.372. 3.

5.373.

1.

5.374. 1/2.

5.375. 2/3.

5.376. 2.

5.377. 1/6.

5.384. А = 3.

5.385. a — 2.

5.386. b = 7га/2. 5.387. Xi

— 0,

,т*2 =

1 —

точки разрыва

второго рода.

5.388. х — 5/3 —

точка разрыва первого рода. 5.389. х —

= 0 —

точка

устранимого разрыва; /(0)

= п. 5.390. х

= 0 — точка

устранимого разрыва; /(0) = 1. 5.391. х =

0 — точка устранимого раз­

рыва;

/(0) =

1.

5.392. х\ =

2,

х2 =

-2

— точки разрыва

второго

рода.

5.393. х =

0 —

точка разрыва первого рода.

5.394. х

— -2 —

5.396. х ~ 0 — точка устранимого разрыва, /(0)

= 2

; о; — ±1 —

точки

разрыва второго

рода. 5.397. х\ — 0 — точка

устранимого

разрыва,

/ ( 0) = —1; .Х2 =

1 — точка устранимого разрыва, / (

1) — 0; хз

=

—1 —

точка разрыва второго рода.

5.398. х = 0 — точка устранимого разрыва;

/ ( 0) =

1/2. 5.399. х = 1 —

точка разрыва первого рода.

5.400. х = 1 —

точка

разрыва первого рода. 5.401. х — 2,5 — точка

разрыва первого

рода.

5.402. х — 7г/4 — точка разрыва

первого рода.

5.408. (Ve >

0

V^o Е D 36 > 0 (|ж - хо| <

<5 => If(x ) -

/ (х 0)| < £)) Л (Зе > 0 V <5 >

0

непрерывна.

5.414. Не является равномерно непрерывной.

5.415. Рав­

номерно непрерывна.

5.416. Не

является

равномерно

непрерывной.

5.417.

Не является равномерно непрерывной.

5.421. 9 + 7г. 5.422. -3+4г.

5.423. -4г.

5.424. -29 + 22г.

5.426. 4;

-

т^г.

5.427. г.

5.428. ^г.

17

17

15

5.429. —2+^г. 5.430. х = 2, у = 3.

5.431.x

= 1/3,

у = 1/4. 5.432.^= 1,

z2 — г.

5.433. z\=

2 + г,

z2 =

2 - г.

5.434. zi =

1 +*г£,

z2

— t,

t Е М.

5.435. cos

Z

+ г s

i

n

5.436. 2 ( cos —

+ i sin

j .

5.437. cos

о

+

Z

V

o

0 /

. .

27Г

37Г . .

37Г

5.439.

б7Г

. .

67Г

+ z sin

— . 5.438. cos —

+ г sin — .

cos—

+ г sm— .Указа-

3

2

2

7

7

ние.

Определить

угол <р, удовлетворяющий условиям:

Е

[0, 27т),

cosa? =

7Г

7Г

7Г

7Г

7Г

x

- cos —, sin op = sin —.

5.440. cos — + i sin —.

5.441. 2cos —

7

7

6

6

14

(

7Г

. .

7Г \

„

4

.

1

.л/3

7

17.

x (cos

—+ г sin — ).

5.448. a)

-4г, - +i —

; 6)10 - 2г,

- - ---- -г.

\

14

14/

2

2

4

4

5.450.

3

3

5.453. Сдвиг

а

= {-2, 0).

- -

2г.

5.451. -

+ г.

на вектор

368

Ответы и указания

=

0, х

^ 0} и 1о =

{(ж, у) |у = ж, х ^ 0} (луч li

не принадлежит сек­

тору).

5.472. Сектор, ограниченный лучами /1

=

{(.т, у) |у — ж, х < 0}

и

12 =

{(ж, у)\у =

—ж, х ^ 0}. 5.473. Ось

Ох.

5.475. 5e*arctg(24/7).

при sin ^

< 0. 5.482. a) 24е_г^7Г/2\

о

б) 16ег^77Г/4^, 2е~г(7/2К 5.485. 32г.

А

5.486. 2.

5.487. 512(1 - is /3). 5.488.

5.490. a) i(3cos<^> + собЗ^);

6) i(3sincp — sin3(p). 5.491. 4 cos3 ip

—3cos ip. 5.492. 3sin ip —4 sin3 ip.

5.493. cos4 ip —6 cos2 ipsin2 ip+ sin4 ip.

5.494. 4 sin ipcos3 ip —4 cos ipsin3 ip.

из единицы: z\= 1,

1

.\/3

1

.л/З

z2 — —7:+ 2 —

= —- —г ——; корни 4-йстепени

2

2

2

2

^

из единицы: z\ =

1,

z2 — г,

z% — —1,

z4

=

—г.

5.496. ±-^-(1 +г).

5.497. ±^ (1+г),

± ^ (1- г).

5.498. cos Q

+ y fc ) +isin

А = 0, 1, ..., 8.5.499. ±-^(1

+ г'%/3).

5.500.

\/2(cos

+ |fc)+ isin+ |fc)),

fc = 0, 1,2,3.

5.501.

^2(cos

+ ^?&) + i sin

^= 0, 1, 2, 3, 4.

Ответы и указания

369

5.502. tf2 (cos (^ + ^k) +г sin (^ + ^ ) ) , к = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

5.503. 2^2 (cos

+ i sin (2fc-~ 1)?Гj ,

fc = 0, 1,2,3,

4.

5>505>

5>506>

sin2n^

5>507> s in ^

sin(y?/2)

2sin</?

siny?

5.508. -1 ± 2i.

1

л/З

5.510. -2 + i,

-3 + i.

5.511. 1 + i,

5.509. - ± ^-i.

4

4

2 - 3i.

5.512. 1, - i

±

.

5.513. -1,

^± z^ .

5.514. 1, -3,

-1 ± 2i.

5.515. (-1 + a/2) ± гл/2, (-1 - \/5) ± г\/2.

5.516. zlt2 =

= 03>4 =

±3г.

5.517. ±г,

±\/Зг.

5.518. ±2г, ±s/bi.

5.519. ±(1 + г),

±v^2 (cos -

- isin 0 .

5.520. -(1 ± г-ч/3),

-1,

- y (l

± г'-\/3), -s/3.

f\ | nris*

5.521. ±1, ±i,

±V2(1 ±г). 5.522. ж = tg ——-------------- , fc = 0, 1, n

n

a = arctga.

Указание . Положить a = tga,

x — tgy

и воспользо­

5.528. (г2 - 2z + 5)(z2 + 82 + 20).

5.532. 2 - г. 5.533.

-1. 5.534.

~i.

5.535.- р + ^г.

5.536.1. 5.537.0.

5.538. оо.

.

5.539. оо.

5.540.

26

•

5

5

5.541. ^(3 + г).

5.542. 1 + г'е.

5.543. —

5.544. e3(cos2 + tsin2).

5.553. 0.

5.554. 0. 5.555.

. 5.556. 0. 5.557. i-1^2.

1 — Z

1 — Z\

6.7. log, (1 + Да;). 6.9.--^.

6.10. —

6.11.

2xln2.

6.12. -log,e.

x

2y/x

x

6.14. У казание . Воспользоваться тождеством:xf(xо) — xof(x)

—

=

{xf(x0)- x o f(x ))- (x o f(x )- x 0f(x0)). 6.15. /1 (—1) =

-2, /+(-1) =

=

/1(1)

=

0, f'+(1) = 2.

6.17. /1(0)

=

/;(0 ) =

0. 6.18. /1(0) =

-1,

/+ (0) =

1.

6.19. /!_(0) =

1,

/+(0) =

0. 6.20.

У казание . Функция

1

8

25ж4

2/ = sin — не имеет предела при х -» 0.

6.21. -2+ -X3.

6.22.--- — .

х

3

сг