Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

.pdf

Скачиваний:

3257

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

8.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 4436 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

§ 4. Элементы теории устойчивости

351

Для всякого решения x(t) — С с условием \С —Со| < S = е имеем

|x(t) - ar0(f)| = |С - С01< £■

Но

lim \x(t) - x0{t)\= \С - С0|ф О,

£-»-foo

а потому решение устойчиво, но не асимптотически устойчиво. >

Исследование на устойчивость решения Хо(/) системы (1) может быть сведено к исследованию на уст ойчивость тривиального (нулевого) решения — точки покоя некоторой системы, аналогичной системе (1) (см. задачу 10.454).

Исследовать на устойчивость решения следующих уравнений

и систем уравнений:
10.449. х - г(х -		1),	х{0) = 1.
10.450. £ =	* -	1, ж(0)		- -1.
10.451. х —	х 4- у,		у —	х —у; х(0) у(0)		=	0.
10.452. х =	—2х — 3у, у =			.т + у;	.т(0) = у(0) — 0.
10.453. х —	ах — у,		у— ау — г,		г — аг - х\	х(0) — у(0) =

= г(0) — 0, а Е М.

10.454*. Написать систему дифференциальных уравнений, ис следование на устойчивость точки покоя которой равносильно исследованию на устойчивость решения Хц(Ь) системы (1).

10.455. Сформулировать определения устойчивости, асимпт тической устойчивости и неустойчивости для точки покоя системы дифференциальных уравнений.

2. Простейшие типы точек покоя. Для исследования на устойчивост точки покоя системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

X — Cl\\X t й \ 2 У *		(1и	О \2	(4)
у = а 21Х + (122У,		«2Ï	(122	(4)
у = а 21Х + (122У,		«2Ï	(122
надо составить характеристическое уравнение
Ou —Л	CL\2	Л2 —(«11 “Ь «22)А 4- Д — 0
«21	«22 “ А —	Л2 —(«11 “Ь «22)А 4- Д — 0

и найти его корни А1 и А2. В табл. 4.1 привечена классификация точек

покоя системы (4) в зависимости ог корней	Л2 характеристического
уравнения.

352	Гл.10. Дифференциальные уравнения

Таблица 4.1

§ 4. Элементы теории устойчивости						353
Пример 2, Определить характер и исследовать на устойчивость
точку покоя системы
	х — —2х 4- ау,
	у = х + у
в зависимости от параметра а		(а ф —2).
<] Характеристическое уравнение
2 —Л	о		о	. ,	^
^	^_д = Л			4-Л —(а 4-2) = 0

в зависимости от параметра а и используя табл. 4.1, получаем:

если о < -9/4		(корни комплексные, 11еА1?2 <		0) — устойчивый
фокус;
если —9/4 ^ а		< —2 (корни действительные и отрицательные) —
устойчивый узел;
если —2 <	а (корни действительные и разных			знаков) — седло,
точка покоя неустойчива. >
Определить характер точек покоя следующих систем:
10.456. х =	х 4- 2у, у = —Зх 4- у.
		1	1
10.457. х =	— 2х 4- -у,		у = -2х + -у.
10.458. х — —х + 3у,			у — —х + 2у.
10.459. х — —у, у — х — 2у.
10.460. ж — —6х — 5у,			у — —2.x* — 5у.
10.461. х = —х + 2у,			у = —2х — 5у.

Определить, при каких значениях параметра а точка покоя системы устойчива.

10.462. х = ах — у, у = х + 2у. 10.463. ж — —Зх + »у, у = —ах + у.

10.464*. Исследовать на устойчивость решение уравнения упру гих колебаний х 4- 2ах 4- /?2х — 0 (а > 0).

10.465*. Пусть задана система п линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Доказать, что если все корни характеристического уравнения этой системы имеют отрицательную действительную часть, то точка покоя системы асимптотически устойчива. Если же хотя бы один

354 Гл. 10. Дифференциальные уравнения

из корней характеристического уравнения имеет положительную действительную часть, то точка покоя неустойчива.

Используя результат задачи 10.465, исследовать на устойчи

вость точку покоя каждой из следующих систем:
10.466. х =		2ж,	у — Зх + 2у, z =			—х — у — z.
10.467. х =		— 2х — у, у = х — 2у,				i = ж + Зу — г.
3.	Метод функций Ляпунова. Этот метод в применении к автономн
системе
			х\= fi(x u ...			, хп),
			\.................................				(5)
			Хп —	fn(x 1,	• • •	? Хп),
где /г(0, . . 0 )		= 0,	i = 1, 2, .	. п,	состоит в непосредственном иссле

довании устойчивости ее точки покоя при помощи подходящим образом подобранной функции Ляпунова 7(xi, . . хп).

Верны следующие теоремы Ляпунова:

Теорема 1 (об устойчивости). Если существует дифференцируе

мая функция 7(xi, ..., хп), удовлетворяющая в окрестности начала координат, следующим условиям:

а) V(x\, .		. хп) ^0, причем V = 0 лишь при х\ — ... = хп = 0;
dK	п	97
б) -т- = Е		-тг-Мх1. • • •, *п) ^0,
dt	i—i oxi
то точка покоя системы (5) устойчива.
Теорема		2 (об асимптотической устойчивости). Если существу

ет, дифференцируемая функция У(х\, . . хп), удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим условиям:

а)	V(x\, .	.	хп) ^0, причем V = 0 лишь при Х\=		... = .тп = 0,
	d7	п	97	dV
б)	“ГГ “	S	7Г” Л(жь • •	жп) ^ 0, причем —	= 0 лишь при
	dt	г=1Oxi		dt
xi = ... = хп = 0,
то точка покоя системы (5) асимптотически устойчива.
Теорема		3 (о неустойчивости). Если существует дифференциру

емая функция V(x\, ..., хп), удовлетворяющая в окрестности начала координат условиям:

а)	7(0,		0) = 0 и сколь угодно близко от начала координат
имеются точки, в которых V(x\1. . хп) > 0;
	dV		п 97	dV
б)	—	=	У2 ^— fi(x1, • • •>хп) ^ 0,	причем — - — 0 лишь при
	dt		i=\oxi	dt
X\ ...		xn	0,

то точка покоя системы (5) неустойчива.

	§ 4. Элементы теории устойчивости	355
	Пример 3. С помощью функции Ляпунова исследовать на устойчи
вость точку покоя системы
	х — —х + у,
	у = -2у3 - х.
<]	В качестве функции Ляпунова возьмем V = х2 + у2. Тогда	dt =
=	2х(—х + у) + 2у(-2у3 - х) — —2(х2 + 2у4), и функция V вместе с

удовлетворяет условиям теоремы 2. Значит, точка покоя системы асимптотически устойчива. >

Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

х — х(2 + cos я),

У = ~У-


<] Возьмемфункцию7 (ж,		у) — х2 —у2. Тогда	■— 2х2(2 + cos я) +
+ 2у2	—2(2х2 + у2 +х2cos ж) = 2 ^х2 + 2х2cos2		—+у2^ > 0 всюду,
кроме начала координат.		Кроме того, сколь угодно близко к началу
координат найдутся точки, в которых V > 0 (например, вдоль прямой
у — О	V = х2 > 0). Следовательно, выполнены условия теоремы 3, и
точка покоя неустойчива. >

Общего метода построения функций Ляпунова не существует. В про стейших случаях ее следует искать в виде: V = ах2-fby2, V = ах4 +Ьу4, V = ах2 +by4, подбирая надлежащим образом постоянные а > 0 и Ъ> 0.

Пример 5. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

3	о ч
х = -X + -у + 3:пД
у = - ж - i y -	2х2у2.

<3 Функцию Ляпунова будем искать в виде V = ох2 + by2, а > 0, b > 0. Тогда имеем:

^ = 2ах		+ ^у + 3ху3)	+ 2by (-ж - \| - 2а:2у2)		=
		= — ^2оа;2 +		+ (ху + 2х2у3)(За —26).
Полагая Ь	=	з	d r	—а(2х2 + у2)	0 при всяком
		-а, получим,	что — =

а > 0. Из теоремы 2 вытекает, что точка покоя системы асимптотически устойчива. >

356	Гл. 10. Дифференциальные уравнения

Исследовать на устойчивость точки покоя следующих систем: 10.468. х = —х — у — х3 —у2, у = х — у + ху.

10.469. х = у + ,т3, у = —х + у3. 10.470. £ — ху4, у = —хАу. 10.471. £ = —у + гс5, у = ж + у5.

10.472. £ = у + ж2у2 — -.т5, у — —2х — 2ж3у — -у3.

10.473. £ = — 2х + 4жу2, у = у + 2ж2у.

4. Устойчивость по первому приближению. Предположим, что правы части системы (5), т.е. функции /«(#1, . . хп), г = 1, 2, ..., /г, диффе ренцируемы в начале координат достаточное число раз. Разложим их по формуле Тейлора в окрестности начала координат:

		п
/;(жь	хп) =	хп),
		7=1

а/<(о,..,о)	„
где а,, = --- ------ , а /'г — члены второго порядка малости относи-
дх3
тельно X], ..., хп. Тогда исходная система (5) может быть записана в
виде	п
	п
х\ = ^2,ацх^ +^(®ь		, хп),
	3=1
	П
хп = ^ а^ Х) + Рп(х1, ... , ж„).
	.7 = 1
Рассмотрим систему
	п
=	г = 1 ,2 ,	... ,п,	(6)
	3=1

называемую системой уравнений первого приближения для системы (5). Справедливо следующее утверждение: если все корни характеристи ческого уравнения системы (б) имеют отрицательные действительные

части, то точка покоя системы (б), а также исходной системы (5) асимп тотически устойчива; если хотя бы один из корней характеристического

уравнения системы (б) имеет положительную действительную часть, то точка покоя системы (б) (и системы (5)) неустойчива.

Говорят, что в этих случаях возможно исследование системы (5) на

устойчивость но первому приближению. В остальных случаях такое исследование, вообще говоря, невозможно, так как начинает сказываться влияние членов 2-го порядка малости.

§ 4. Элементы теории устойчивости

357

Пример G. Исследовать на устойчивость точку покоя системы

х — 2х + 8 sin у,

у = 2 —ех —Зу —cosy.

<] Разлагая функции sin у, cosy, ех по формуле Тейлора и выделяя члены 1-го порядка малости, можем переписать исходную систему в виде

х = 2х + 8у + Fi(x, у),

У = ~х - Зу + F2(.t, у),

где Fi, F2 — члены 2-го порядка малости относительно х и у. Соответ ствующая система уравнений первого приближения вида (б) запишется следующим образом:

х — 2х + 8у,
У ~ х	Зу.
т,	х	—1 dz zл/7
Корни ее характеристического уравнения Ai?2 =		------- имеют от

рицательные действительные части. Следовательно, точка покоя этой, а также исходной систем устойчива. >

Исследовать на устойчивость по первому приближению точки покоя следующих систем дифференциальных уравнений:

10.474. х — ~^(ех — 1) — 9у,				у — -х —sin у.
10.475. х =	Ъх + у cos у,		у = Зх + 2у — ysey.
10.476. х — 7х + 2 sin у,			у — сх — Зу — 1.
	3	1
10.477. х — —		х + - sin 2у,		у — —у — 2х.
10.478. х =	In (4у + е Зх),			у =	2у — 1 + v^l — 6ж.
10.479. i		— cos Зж,		у =	\/4 + Ъх — 2еу.

10.480. Показать, что исследование на устойчивость по первому приближению точки покоя системы

оо

х = —4у — х , у ~ 3 х — у

невозможно. Провести исследование методом функций Ляпунова.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Глава 5

5.1. Приближение с недостатком 0,1; 0,10; 0,101.									Приближение с
			11	901	; в)		2183			1
избытком: 0,2; 0,11; 0,102. 5.2. а) — ; б) —							19800		5.11. log1/2 - >
				300’
		7	•е 1				1

> l°g l/3 n-			. 5.13. log)0g3 2 2					>1 .	5.18. { У } .
5.19. {-1, 0}. 5.20. 0.		5.21. {0, 2}.		5.22. (-оо,				2].	5.23. (-оо, 1] U
	U [3, +оо). 5.24. (3, 4).					5.25. [1 - \/l7, -1 + VE}.
	5.26.		5 - ^ \			.. (b - \ f l				5 -Ь л/бЛ
			- 00,	2	1	U			V	2

	5.27. (-оо, -1].			5.28. а)		{1, 2} С {1, 2, {1, 2, 3}};
	б)	обе	записи	верны.			5.29.		А =	{0, 1, 2}.
	5.30. А = {1}.			5.31. А = {1, 2, 3, 4}.						5,32. А =
	= {-2,		-1, 0, 1, 2}. 5.33. А = {1,2, 3}. 5.34. А =
Рис. 51	= {тг/2, 7Г, Зтг/2, 2тг}.				5.35. См. рис. 51.					5.36. См.

рис. 52 (граница заштрихованной области не принадлежит множеству). 5.37. См. рис. 53. 5.38. См. рис. 54 (штриховая линия не принадлежит

У‘			У1
У‘		ч
		ч
	ч,	х\
1 к
ч	к		-1 0
			-1 0	1 X
Ш
		<<\	х
/Ж		<<\	-2
			-2
Рис. 52			Рис. 53

множеству). 5.39. См. рис. 55 (граница заштрихованной области не при надлежит множеству). 5.40. Точка (2, 2). 5.41. См. рис. 56. 5.42. См. рис. 57 (граница заштрихованной области не принадлежит множеству).

					Ответы и указания				359
5.43. A U B		= {-5,3,4};				А П В	= {4}; Л\В =	{-5}; Б\Л = {3}.
5.44. {2, 4, 8}.			5.45. {8k\k € Z}.				5.46. {1, 2, 4}.	5.47. {24/c\|fc G N}.
5.49. A U B		=	(-1, 4);		A П B =
= [1, 2];	A\B = (- 1 ,1 );					B\A =	У*
= [1, 2];	A\B = (- 1 ,1 );					B\A =
= (1,4).	5.50. (0,1).			5.51. [0,1/4] U
U [1/2,	1].	5.52.		{0}	U	(1/2, 1).
5.53. [0,	1/4)	U	(1/4, 3/4)			U {1}.		Р
								0	Л'
									у*—2х+1
								Рис. 55
5.60. Z;	{-1, 0, 1}.			5.61. {n G N\|n ф 3/c, k G N};				0.	5.62. {x G R\x =
= l/n,	n G	N}, {1}.			5.63. a) Все точки данного				круга; 0; б) все

точки кольца между данной окружностью и концентрической окружно стью вдвое меньшего радиуса; 0; в) все точки круга; центр круга.

5.73. a) min Аг не существует; maxX — 1; б) [1, +оо);	(-оо, 0]; sup Аг =
= 1; inf X — 0. 5.74. 1/2; не существует; 1/2; 0.	5.75. 1; -1; 1; —1.

5.76. Не существует; —5; 0; -5. 5.77. Не существует; не существует; 0; не

360

Ответы и указания

существует.

5.78. Не существует; не существует; 1; 0. 5.79. в и рХ

\/2.

5.83. а) Истинно; б) ложно; в) истинно; г) ложно.

5.84. Ложно. 5.85. Ис

тинно.

5.86. Ложно.

5.87. Истинно.

5.88. Истинно.

5.89. Ложно.

5.90. а)

Истинно;

б) истинно.

5.91. а)

Истинно; б) истинно;

в)

ложно.

5.92. а)

/ О о ) = 0; / ( х 0) Ф 0.

б) /(ж 0) =

ОД Уж(ж Ф х0 => /(ж 0) Ф 0);

/(.т0) Ф 0 V (Д х 0) =

О А З х( х

ф хо А /(ж) = 0)).

в) Зжо(Джо)

0) А

А(V х(х

ф хо => /(ж) ф 0));

Уж(/(ж)ф 0) V (Зжь

х 2{хх

ф х 2

А /(хг) =

= Д.т2) - 0)).

5.93. а)

З М Уже X

(х

^ М); У М З х

Е X

(ж > М).

б) (га Е X ) А

(Уж

(га

^ ж));

(га

^ X ) V (Зж

Е X

(х

га)).

в)

(Зга

X )

А (Уж

(га^

ж));

У х' Е Х З ж

(х

ж').

5.94. а)

3/с

Е ^

(п =

/сга);

V /с Е 2

(п ф /сга).

б) (2 | п А 3 |п) => 6 | п;

(2 |п А 3 |п) А 6 { п.

( З а м е ч а н и е .

Так как

исходное высказывание

истинно, то его отрицание ложно.)

в) \/п Е N (п |р => (п = 1 V п = р));

Зп

Е N (п |р А (п

1 А п

ф р)).

5.95. Я

= у ^ -

5.96. V =

-—

— — • 5.97. 5 =

5.98. V = аЦ - *0);

5 =—

в= — , где Ь« ^ <0о2а

х2Ь

(а — Ь)/г

а — 6

а + 6

5.99. 5АВ N М — \^1Х+ -- А~-- ,

а + Ъ ,

(а — х)2/г

а + 6

— н - - ^ ь ~ ' — < * < « ■

тт/2

_________

5.100.

К =

-тг/г(4Д2 - /г2),

£> =

[О, 2Д].

5.101. а)

— л / Ш - Р ,

2/г

Б =

[О, 2Й];

б)

= 47гД2 бш ^ сое2

[0, 7г];

в)

5 = 47гД2 х

х сое(3вт2 (3,

£>

[0, тг/2].

5.102. О, -6,

5.103.

-1, 0, 1, 2, 4.

5.104.0, а3 — 1, о3+За2+За, а3За2 +За-2,

16а3-2.

5.105.1,

1 — X

х — 1 1 + х ^

~2~+~Ё’ ГТ^ ’ ^+1’ Т^х'

= (

’ +00)’

= (~°°’ +00)'

5.107. 2?= (-оо, 5/2), Я = [0, +оо). 5.108. £> =

[4тг2Л:2,тг2(2А:+1)2],

А'€Ш{0}

£? =

[0, 1].

5.109. £>

[-3/2, 5/2], Е

[0, тг].

5.110. £> =

=й (т (ЗА:+0 ’ т (ЗА:+1)) ’ Е = (~00’ 1п3]- 5Л11, п= И ’ 1]’

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 4436 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебник по математике Ч2

#
23.02.2015201 б46Прочтите это!.txt
#
23.02.20158.57 Mб3257Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с.pdf