Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

.pdf

Скачиваний:

3297

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

8.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4435 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

§ 3. Системы дифференциальных уравнений

341

Общее решение системы имеет вид

х ц ) = ^ с кх^Ц1). (15)

к=1

При этом возможны следующие случаи:

а) Л — действительный корень кратности 1. Тогда

Х (А>(*) = У (Л>еХ1 =

		\У( А )
где	— собственный вектор матрицы Л, соответствующий собствен
ному значению А (т.е. АУ^ = ХУ^х\			ф 0).
	Пример 10. Найти частное решение однородной системы
	Х\ — 4X1 + Х2,
	±2 = Зхх + 2^2,
	х3 = 2^1 + Зх2 + 4х3,
удовлетворяющее условиям Х1(0) = 6,		Х2(0) = —6, хз(0) = 24.
<] Характеристическое уравнение (14) для этой системы имеет вид
	4 - Л	1	0
	(А - АЕ) = 3	2 - Л	0 = 0.
	2	3	4 - Л

Его корни Лх = 1, Л2 = 4, Л3 = 5. Собственные векторы, например, таковы:

у ( А х) _

Поэтому

=-9 е

Отсюда общее решение системы в соответствии с (15) имеет вид

Х{1) = Сг ( - 91 е‘ + С2 ( 01 е4* + С3 И | еы.

342		Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Для нахождения частного решения константы				С2, Сз определяем из
следующей системы:
Х ( О ) = ( - ^ = С 1 ^			+ С2 0 + С , 0 =
				З С 1 +
			=	I —9С1+
				7С\ + С2 + ЪСзу
откуда С\ = 1,		С2 = 2,	Сз — 3. Окончательно для искомого частного
решения получаем
	а д =	\х2м
		\x3 it),
б)	Л —	комплексный корень кратности 1. Тогда корнем характ

ристического уравнения (14) является также сопряженное с Л число Л. Вместо комплексных частных решений .Х(Л)(£) и Х (л)(£) следует взять

действительные частные решения Х^Л^)		= КеХ^(1) и	—
Пример 11. Найти общее решение системы
±1(2) =	Х\ + х 2,
#2(£) =	- 2^1 + Зх2.
<] Характеристическое уравнение
1 - Л	1
- 2	= 0
- 2	3 - Л
имеет комплексно сопряженные корни		— 2±г. Для нахождения соб

ственного вектора, соответствующего корню Л = 2 + г, получаем систему

	(-1 - *)г/[Л)	+	У(2Х) = 0,
	-2у[Х}	+ (1 - г)г4А) = 0.
Полагая	= 1, находим	=	1 + г, т.е.

„(2+1)«

г<х' = (1+*) " х<л,(,) = (1+;

§ 3. Системы дифференциальных уравнений

343

Отсюда пара действительных частных решений имеет следующий вид:

X<A)(t) = R*[ L			1	Л е(2+г)Л = ^			е21с05(			cos t	n2t
X<A)(t) = R*[ L			1	Л е(2+г)Л = ^			е21с05(			\cos£-sin£	n2t
			+ г		)	\e2t(cost - sin t)J				\cos£-sin£
4 A)( t )= Im			1		d(2+i)t		e2t sin t				jit
					d(2+i)t						jit
		sl+ iJ			)	\е21(соБ1 + Б\п1))				^сов£ + вт £
		sl+ iJ			)	\е21(соБ1 + Б\п1))				^сов£ + вт £
Окончательно (см. формулу (15)) получаем общее решение
X(t) = Ci		соб1			е2* + С2		sin t		Jit
	С08 £ —			£					Jit
	С08 £ —			£			cos t -f sin t
							C\cos t + C‘2 sin t
						{C\+ C2) cos t + (C2 - Ci) sint e2‘ . О
в)	Л — корень кратности г ^ 2.							Соответствующее этому корню ре
шение системы (13) ищется в виде вектора
		X^ (t)									(16)
					\a[P + a^ t +			... +

а)

коэффициенты которого а / , г = 1, ..., п; ^= 1, ..., г, определяются из системы линейных уравнений, получающейся приравниванием коэф фициентов при одинаковых степенях £ в результате подстановки вектора

(16) в исходную систему (13).

Пример 12. Найти общее решение системы

XI (г) = 2x 1- х2, х2(£) = 4x 1+ 6х2.

<\Характеристическое уравнение

2 - Л	-1	(А - 4)2 = О
4	6 - Л

имеет корень А = 4 кратности г — 2. Поэтому ищем решение системы в виде

*(А)п )=	( хЩ	- (<*'	+	е4*
[г)	\х2Ц))	~ \а2	+	(321 ) е ■

344	Гл. 10. Дифференциальные уравнения

Подставляем это выражение в исходную систему и сокращаем на е41:

(

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем:

01 + 2а\ + а 2 = 0, @2 ~ 4<*1 —2а2 —0,

Ж+ & = 0,

-2& - 4/?1 - 0.

Полагая а\ = С\и /3\= С2, имеем /?2 = —2С2 и а 2 = —2С\—С2. Таким образом, общее решение системы имеет вид

х(<) = х^(г) = ^	С\+ С2Ь

-2(С1+ С2) - 2C,2^

Решить следующие системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Там, где даны на чальные условия, кроме общего решения, найти соответствующее частное решение:

10.431. х		= у,	у — —2х + 3у.
10.432. х = х + Зу,			у — —х + 5у;х(0) =			3, у(0) =	1.
10.433. х		= Зх - 2у,		у =	4х + 7у; х(0) = 1, у(0)		=	0.
10.434. х		= 2х — 5у;		у =	5.x — 6у.
10.435. х		= х —4у,		у = х - Зу.
10.436. х=		—х + 2у,	у ——2х — 5у; х(0)			= 0,у(0)	= 1.
10.437. х		—у, у =г, г —х\ х(0)=у(0)= г(0) = 1.
10.438. х		— у + г,		у — г + х, &— х + у; х(0) =			у(0) =	2,
г(0) =	- 1 .
10.439. х = х — 2у — г, у =					—.х + у + ^,	г = х — г.
10.440. х =		5х + 2у — Зг, у = Ах + 5у — 4г, к = 6х + 4у — 4,г.
5.	Линейные неоднородные системы. Нормальная линейная неодн
родная система дифференциальных уравнений имеет вид
	±1 =	ап(<)Х1 + а и Ц)х2 + • • • + 01 пЦ)хп + /1 (<),
	Х2 = а 21 {1 )х1 + а22Ц)х2 + ... + а2п(1)хп + / 2{г),						(17)

хп = а„ 1(0^1 + ап2(1)х2 + • • • + апп(г)х„ + /„((),

§ 3. Системы дифференциальных уравнений

345

где по крайней мере одна из функций fk{t) не равна тождественно нулю. В матричной форме система (17) имеет вид

Х(1) = Л (0 * (* )+ *’(*)>

(!8)

где .Р(£) = (/1(0 ?/ 2(^)5 • • •>/п(0ГИнтегрирование системы (17) моле но проводить методом исключения (см. пример 3), однако иногда предпо

чтительнее найти предварительно решение Хо(£) соответствующей (18) однородной системы

Х(г) = А(Ь)Х(Ь)

(19)

и какое-либо частное решение Х(Ь) системы (18). Тогда общее решение системы (18) имеет вид

Х(*) = З Д ) + *(*)•

(20)

Если известна фундаментальная система Х&(£), к = 1, 2, . . п, ре

шений однородной системы (19), то общее решение Х(£) можно найти методом вариации произвольных постоянных. Именно, полагая

п
х() = £ с - ( 0 а д ) ,	(21)
к=1

определяем функции Ск{Ь) подстановкой (21) в систему (18). Учитывая при этом равенства

Х к(Ь) - А[Ь)Хк{Ь) —0,	к = 1, 2, ...	, п,
приходим к системе уравнений относительно (?&(£):
п
£ & ( № ( * )	= ^ ) .	(22)
к=1

Из этой системы находим (?&(£) = <£&(£) и, интегрируя, получаем функ ции С к(£) с точностью до произвольных постоянных. Подставляя их в (21), получаем искомое общее решение неоднородной системы (18).

Пример 13. Зная фундаментальную систему решений

*!(*) = (})е7‘, Х2(* )= (“ д)е‘

однородной системы

х\= 6x1+ х2, х2 = 5^1 + 2x2,

346	Гл. 10. Дифференциальные уравнения
найти общее решение неоднородной системы
	Хх =	б.Х'1 + Х2 + £,
	± 2 =	5X1 + 2х2 + 1.

<1 Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для функций Сч(£) и 6^2(0 составим систему вида (22)

Найдя

и проинтегрировав, получим

Таким образом, общее решение системы запишется в виде

= С1 еп + С2

V 71 49/

Если коэффициенты а^[Ь) системы (17) постоянны, т. е. а^(£) = а^, 3 = 1, ..., п, а функции /г(0 имеют вид произведений

(Р(£) соб /ЗЬ + (^(Ь) бт/Й)еа*,

(23)

где Р(£) и (5(0 — многочлены, то частное решение Х(1) можно найти

методом неопределенных коэффициентов, записав Х(£) в виде, аналогич-

ном (23), с учетом совпадения или несовпадения чисел а±{/3 с корнями характеристического уравнения.

Следует иметь в виду, что если к — наибольшая степень многочленов Р(£) и (2(1) в (23) и Л = а + г/3 — корень кратности г характеристиче

ского уравнения, то частное решение Х(1) ищется в виде

/	/ 7ю^+1 + 7п^ + ...	+ 71,к-^~1\	\
Х(<) = 11е	Г -1 720^+1+721^ + ...	+ 72Д+1	ем

V	\7п0^+1 + 7п1^ + • • • + 7п, к+1/ /

	§ 3. Системы дифференциальных уравнений		347
Пример 14. Найти частное решение системы
	XI - -х2 + £2,
	Х2 = XI + е1.
	-А	-1
<] Так как характеристическое уравнение ^		д — 0 имеет корни
Л1?2 =	ищем частное решение системы в виде суммы многочлена
второй степени и функции вида Бе1:

Х\— A lt2 4- B it + С\+ - D i , Х2 — A2t2 4- B2t 4- C2 + D 2e^. Подставляя эти функции в заданную систему, получим равенства

2A\t + В\+ D\e^— —A2t2 —B2t —С2 —D 2e* + t2, 2A2t + B2 + D 2e* = A\t2 + Bit + Ci + D 2et + e^.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t и при е*, полу чим систему

2Ai	= —В 2,	Bi	— —С2,	Di — ~D2,	1	- А2 = О,
2Л2	= Bi,	В 2	= Ci,	D 2 = Di + 1,		-Ai = 0.
Отсюда Ai =	B2 =	Ci =	0, Л2 =	1, B x = 2,	С2	= -2, D 2 = 1/2,

Di = -1/2, и искомое частное решение имеет вид

Пример 15. Найти общее решение системы

О Характеристическое уравнение
2 J Л	= Л2 - 6А + 8 + 1 = (Л - З)2 = 0
имеет корень Л = 3 кратности 2.		Общее решение однородной системы
ищем в виде		подставив которое в однородную

348 Гл. 10. Дифференциальные уравнения

систему и сокращая на e3f, имеем

( a t + p\ ( 0 \ _ ( 2 - 1 \ / a t + 0

ô W + 6J + Ы - \1 4j U t + 5

Получим систему

3 (схЬ + /3) + (3 — 2(а£ 4- /3) — (7^4~ 5),

3(7^ 4" 5) + <5 — схЬ+ (3 + 4(/у£ 4" 5),

из которой следуют два независимых соотношения а = —7 и /34-а = —5. Полагая а — С\ и 0 = С2, имеем 7 = —С] и <5= -С] —С2, т.е.

у	_ (	° l t +	е31.
			е31.

Так как Р(£) содержит множитель е3*, причем Л = 3 — корень характе ристического уравнения кратности 2, то ищем частное решение в виде

A\t2 -h Bit 4" -^1^ з£ __ f A it3 -h B it2 -h D it

A2t2 4" B2t 4" D 2) \A2t3 4" B2t2 4" D 2t

a не в виде t* Ait + Bi t 3t

Подставив X(t) в заданную систему и сократив на e3f, получаем ма тричное равенство

/ Ait3-h	Bit24" Dit\	fSAit2-h 2Bit -h			_
\A2t3 4"	B2t24" D 2t)	\3A2t2 4" 2B2t 4~D 2)
		_	(2—1\ / A it3 4" B it2 4" Dit\			ft 4"	1\
		=	V1	V U	2*3 + B2t2 +D2t)	+ V 2t	) '
которое можно записать в виде				равенств

A it3 4"B it2 4"D it 4" SAit2 -h 2Bit -hDi — —A2t3 —B2t2 —D2t -h t -F-1,

—A2t3 —B2t2 —D 2t 4“ 3A2t2 4“ 2B2t 4~D2 — A it3 -h B it2 -h D it -h 2t.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем систему уравнений

Ai 4- А2 = 0,		Ai 4- А2 =	0,
В\ -h 3Ai	4" В 2 —0,	В\ 4" В2 —3А2 —	0,
Di 4- 2Bi	4-D2 = 1,	D I + D 2 - 2B2 =	-2,
	Di = 1,	D 2 =	0.

§ 4. Элементы теории устойчивости

349

Находим В\ = 1, 1)2 = 0, = О, В2 — 3/2, А[ = -1/2, Л2 — 1/2. Следовательно,

~( - ¥ +1\

* ( * ) = <

I 2

V2*2 + 2*/

иискомое общее решение запишется в виде

f С it + С2 “ —t3 + t

Х ( 1) = Х 0Ц ) + Х Ц ) =			2	e t . >
		\^—Cit —(Ci + С2) + -13 + -12
Найти решения следующих систем уравнений:
10.441. х =		Зх — 2у + £,	у = Зх —4у.
10.442. х —		х — у, у = х + у + еь.
10.443. i	=	5х — Зу + £e2t, у — Зх — у +		e3i.
10.444. i	=	x + у — cos t,	у = —2а;— у + sin t + cos t.
10.445. i	=	y + tg2 t — 1,	y — —x + tg t.
10.446*. x = 2x + 3y, ÿ =			4x — 2y.

10.447*. Вещество A разлагается на два вещества Р и Q. Ско рость образования каждого из них пропорциональна массе неразложившегося вещества А. Найти законы изменения масс х и у веществ Р и Q в зависимости от времени если через час после

а	За
начала процесса разложения х = -,	у — — , а — первоначальная
8	8
масса вещества А.

10.448*. Материальная точка массы га притягивается центром О с силой, пропорциональной расстоянию. Движение начинается из точки А на расстоянии а от центра с начальной скоростью г>о, перпендикулярной к отрезку ОА. Найти траекторию движения.

§4. Элементы теории устойчивости

1.Основные понятия. Пусть задана нормальная система диффере циальных уравнений

X	l ( ^	)	f—l ( t f	Х 2 ч • •	•	Хj п ) 5
Х	2 ( ^	)	2(^5/	5	5	* • * 5 Х п ) ,

^ 7 1 ( 0

1п(^1 X l, Х 2 , . . . j

)

350	Гл.10. Дифференциальные уравнения
с начальными условиями в точке to. Решение Xo{t) =		<£>п(0)Т

системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого

е > 0	найдется такое 6(е) >	0, что для		всякого решения	X(t) =
=	xn(t))T той же системы, значения которого в точке to удо
влетворяют неравенствам
	\xi(t0) - <Pi(to)\	< ö(e),	i =	l,2, ... ,п,	(2)
для всех t > to справедливы неравенства
	\xi(t) - ipi(t)\	< е,	г = 1 ,2 ,..., n.		(3)

Если же при сколь угодно малом Ô > 0 хотя бы для одного реше

ния X(t) неравенства (3) не выполняются, то решение Xo(t) называется

неустойчивым.

Если решение Хо(0 не только устойчиво, но, кроме того, при условии

(2) удовлетворяет соотношению

lim |Xi(t) - <pi(t)\ =0, i - 1, 2, ... , n,

£-» + oo

то это решение называется асимптотически устойчивым.

Пример 1. Исследовать на устойчивость решение дифференциаль ного уравнения х = ах (а £ R), определяемое начальным условием

яо(*о) = Со.

< Если а ф 0, то решение имеет вид

x0(t) = с 0еа^ ь°\

Пусть x(t) = Ceal't~lo) — произвольное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию \С —Со\ < 5 = £. Тогда при а < 0 получаем

|x(i) - ®о(*)1 = ICeaV-to) - C0ea(t~to)\= ea{t-l°î\C - C0\< e,

откуда

lim	\x(t) —xo(t)\ — \C —Co\ Hm ea^~to^= 0,
t —>4"Оо	t —>"4-oo

т. e. решение асимптотически устойчиво. При а > О

\x(t) - xo(t)\ = еа^~1°ЦС - Со\

может быть сколь угодно большим числом при достаточно больших t. Значит, при а > 0 решение неустойчиво.

Если а = 0, то решение имеет вид xo{t) = Со.

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 4435 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебник по математике Ч2

#
23.02.2015201 б48Прочтите это!.txt
#
23.02.20158.57 Mб3297Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с.pdf