Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

.pdf

Скачиваний:

3297

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

8.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4434 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

			§ 3. Системы дифференциальных уравнений			331
сопротивления					R и емкости С, причем В ?С — 4L < О,	ш Ф
1	П
Т \		~ 77о •			Найти ток г в цепи как функцию времени t, если
	V	LG	4LZ
..		di
г \| г	= 0	= и	t—0	=
		Ui	t—0

10.398*. Электрическая цепь состоит из последовательно соеди ненных источника тока с э. д. с. e(t) = E s in u t , индуктивности L

и емкости С, причем о; =	- (случай резонанса). Найти ток г
	di
в цепи как функцию времени t, если г\|г=о = —		= 0 .
	dt	t-о

10.399. Электрическая цепь состоит из последовательно соеди

ненных источника тока с э. д. с.	е(£) =	Е cos (u;£ + </?), индуктив
ности L и емкости С, причем и) = —т=- Найти ток г в цепи как
	у Ь С
	di
функцию времени t, если г\|^—о =	—	= 0.

i=0

§3. Системы дифференциальных уравнений

1.Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениям п-го порядка. Если система /г дифференциальных уравнений, связыва

ющая независимую переменную х и к функций у\(х),							Ук(%),	раз
решена относительно старших производных этих функций							^(х), ...
	у^к\х), т.е.	имеет вид
	у[Р1\х)	=	/ 1(х, г/ь	, 2/1Р1_1), ...	,у к,	, 3/£Р*!_1)),
	^Р2)(ж)=	/ 2 (ж, уь ...		, ?/[Р1-1>, ...	,у к, ...	, у[Рк~1]),
	у[Рк\*)	=	1к(х, 2/1,	, 2/[Р1-1\...	,у к,	, у[Рк~1)),
то она называется канонической, причем число п = р\+ Р2							+ •• •	+ Ра
называетсяпорядком			системы.	Каноническая система (1) при				=
=	= ••• — Рк	=	1, т.е.	система дифференциальных			уравнений
1-го порядка
			у'Лх) = М®, 2/1, ••• . г/п),
			УгМ = Ы®, 2/ь ••• , Уп),					^2)

Уп(х) = 1п{х, г/ь ... , у„),

называется нормальной системой порядка п.

332	Гл. 10. Дифференциальные уравнения
	Решением системы	(2) на интервале a <	x < Ь называется сово
купность функций у\ —		ч>\(х), ..., уп — (Рп(х),	непрерывно дифферен

цируемых на (a, b) и обращающих уравнения системы (2) в тождества относительно x G (а, Ь).

Интегралом нормальной системы (2) называется функция Ф(ж, ?/1, ..., уп), определенная и непрерывная вместе с частными про-

<9Ф	<9Ф	. г .	D изменения пере-
изводными -т— , —— , ...,	“ —	в некоторой области	D изменения пере-
их Оу1	дуп

менных и принимающая при любых x G (а, Ь) постоянное значение при подстановке в нее произвольного решения системы.

Равенство

Ф(я, 2/1, ... , уп) = С,

где Ф(ж, 2/i, ..., уп) — интеграл нормальной системы, а С — произволь ная постоянная, называется первым интегралом системы (2).

Дифференциальное уравнение n -го порядка

y{n)= f(x , У, У1, ... ,У (п-1})

можно свести к нормальной системе (2). Обратно, системы (1) или (2) в большинстве случаев сводятся к дифференциальному уравнению п-го порядка, решая которое можно найти и решение исходной системы.

П р и м е р 1. Привести каноническую систему дифференциальных уравнений

у " = 22/1 - 32/2,

2/г = 2/1 ~ 22/2

кнормальному виду.

ОПоложим — - = .уз и = ?/4. Тогда данную систему можно записать

в виде	ах	ах
в виде
			2/1 =	2 / з ,
			У2 =	2/4,
			Уз = 22/i “ 32/2,
			2/4 = 2/1 - 22/2,
которая и является нормальной системой 4-го порядка. >
П р и м е р 2.		Привести	к нормальной системе дифференциальное
уравнение у"{х) -Ь к2у(х) = 0.
<] Пололшм у' — z, тогда у"			= г', и уравнение приводится к нормальной
системе уравнений

y' = Z,

z' = - к 2у. >

§ 3. Системы дифференциальных уравнений

333

Пример 3. Свести систему уравнений

У1-	У - г,	{ )
г1=	-Ау +г,

где у — у(х), г — г(х), к уравнению 2-го порядка и найти решение системы.

<1 Найдем г(х) из первого уравнения: г = у —у1. Отсюда имеем г! —

— У1~ у"- Подставив значения г и г' во второе уравнение системы, получим уравнение у" —2у' —Зу = 0, общим решением которого является функция

у(х) = С 1е~х + С2е3а\

Отсюда, используя равенство г = у —у1, найдем

г(х) = С 1е~х + С2е3х + С\е~х - 3С2е3х = 2С1е~ж- 2С2е3*.

Таким образом, при любых постоянных С\ и С2 система функций

	у = С 1е-х + С2е3х,	(4)
	г = 2С\е~х - 2С2е3х	(4)
	г = 2С\е~х - 2С2е3х
является решением исходной системы (3). >
З адача Коши	для системы (2) ставится следующим образом:
найти решение у\(х),	уп(х) системы (2), удовлетворяющее началь
ным условиям
г/1 (жо) =	У°1, У2{х0) = У2 1 ■■■, Уп(х0) = Уп,	(5)

где у\, ..., у^— заданные числа.

Теорема Коши. Пусть правые части /[, / 2, . }п нормаль

ной системы (2) определены в (п 4- 1)-мерной области И изменения переменных ж, у\, ..., уп. Если в некоторой окрестности А точки

Мо(жо, Уи • • -1Уп) € & функции /*, непрерывны и имеют непрерывные

частные производные по переменным у\, ..., уп, то существует Oyj

интервал хо — Н < х < хо + 1ь изменения переменной х, в котором существует и притом единственное решение системы (2), удовле

творяющее начальным условиям (5).

Общим решением системы (2) называется совокупность функций

у и{^£, С \ , ... , С72), V — 1?2, ... 577.,

(6 )

зависящих от п произвольных постоянных, которые при любых допусти мых значениях постоянных С \ , ..., С„ обращают уравнения системы

(2) в тождества, и в области, в которой выполнены условия теоремы

Коши, из совокупности функций (б) можно получить решение любой за дачи Коши.

334	Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Пример 4.	Показать, что определенная равенствами	(4) система
функций является общим решением системы (3) (см. пример 3).
<] В качестве области О для (3) можно взять область —оо		< х, у, г <

< + оо; при этом для любых жо, Уо и го из этой области выполнены условия теоремы Коши. Подставив значения хо, Уо> в систему (4), получим систему для определения С\ и С2:

уо = Схе~Х0 + С2е3хо, г0 = 2Схе~Хй- 2С2е3х°.

Определитель этой системы

Д = 2е2х° |

= —4е2х°

отличен от нуля при любом хо. Следовательно, при любых уо и го числа С\ и С2 определяются однозначно, т. е. из системы функций (4) можно получить любое решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (3). >

Путем исключения параметров а и Ь найти систему диффе ренциальных уравнений, определяющих семейства линий в про странстве:

Дифференциальные уравнения или системы заменить нор мальными системами дифференциальных уравнений (х — неза висимая переменная):

10.402. у'" - хуу' + у'3 = 0.

10.403. у,у - у2 = 0.
10.404. у" = у' + г',	г" — г' + и', и" = и' + у'.
10.405. г" + г — 2у =	0,	у'" + г — у = х.
10.406. у" — г — и =	0,	г' + иг — х 2, и"1= —ху.

Проверить, что функции у(х) и г(х) являются решениями си стем дифференциальных уравнений:

§ 3. Системы дифференциальных уравнении

335

Проверить, что функции Ф(ж, у, г) являются интегралами дан ных нормальных систем:

	У = ---- ,
10.409. Ф(ж, у, г) — х 4- у 4-	у - г

	* = - 0 - .
	г - у
	у' =	Зх — Аг
10.410. Ф(ж, у, г) — х2 4- у2 + х ;		2 г - 3 у ’
		4у — 2ж
	г* =

		2г — Зу
	10.411. Ф(ж, у, г) = - —	г
	10.411. Ф(ж, у, г) = - —	2:
	У *	2:
	У *	у '
		у '

2. Методы интегрирования нормальных систем. Одним из метод решения систем дифференциальных уравнений является метод исключе ния неизвестных, который сводит систему уравнений к одному или не скольким дифференциальным уравнениям с одной неизвестной функ цией в каждом. Поясним это на примерах (см. также пример 3).

Пример 5. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

с[у	йг _	г2
(1х	с1х	у

и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у( 1) = 1, 2(1) = -1/2.

< Продифференцируем обе части первого уравнения по ж, получим у" —

г2	г2
— —г'. Так как из второго уравнения г' = — , то у" =	--- , но из
У	У

первого уравнения х2 — (у')2, поэтому система двух уравнений первого

			[у')2
порядка свелась к одному уравнению второго порядка у11= -----, т.е.
			У
к уравнению ууп 4- {у1)2 = 0.
Левая часть полученного уравнения есть (уу'У, поэтому уу1= 1
откуда у с1у =	(1х и ^-у2 = \.С\х 4- \с2, т.е. у = ±у/С\х + С2. Из
первого уравнения системы имеем: х		т. е. г	С{
первого уравнения системы имеем: х		т. е. г	2у/С\х 4- С2*
			2у/С\х 4- С2*
Система функций у = ±у/С\х 4- С2) г = =р-		Сг	образует общее
Система функций у = ±у/С\х 4- С2) г = =р-			образует общее
	2\/С\х 4- С2

решение заданной системы дифференциальных уравнений.

336	Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Для нахождения частного решения используем начальные условия
у(1) — 1, х(1)	=	Имеем:	1	= у/С\ + С-2,		^
	2'			У	^ 2 “	2/ С ! + Са ’
откуда С 1 = 1,	С2 = 0.
Итак, пара функций у = у/х,				г = ——	и есть искомое частное
				2у х
решение системы. >
Не всякую систему дифференциальных уравнений можно свести к
одному уравнению.
Пример 6. Показать, что систему уравнений
		у' = ху,	г' + у' = г + ху

нельзя свести к одному уравнению.

<3 Действительно, подставив во второе уравнение вместо у1его значение ху, получим два не связанных между собой дифференциальных уравне ния, каждое из которых содержит только одну функцию:

у' = ху, г1= г.

(Из этих уравнений находим у = Охе*2/2 и 2 = С2ех.) >

Другим методом интегрирования систем дифференциальных уравне ний является метод выделения интегрируемы х комбина ций, т.е. получения из системы (2) такого уравнения, которое можно проинтегрировать и получить первый интеграл системы. Если найдены п независимых первых интегралов системы (2), то их совокупность дает общий интеграл этой системы.

Пример 7. Найти общий интеграл системы дифференциальных уравнений

с1у	_	х + еу	(1х _	х2 - ех+у
с1х		х + ех ’	(1х	х + ех

<3 Умножим обе части второго уравнения системы на е~х и сложим их с соответствующими частями первого уравнения и с тождеством —е~хх =

= —е~хх, получим (е~хх)' + у1= 0, откуда е~хх + у = С\. Это первый интеграл системы.

Теперь умножим обе части второго уравнения на е~у и сложим с

х еу

равенствами —е~~уху' = —е~ух---- и х' — 1, получим (с~ух)' +х' = 0,

х + ех

откуда е~ух + х = С2. Это тоже первый интеграл системы. Так как якобиан системы

е~хх + у = Си е~ух + х — С‘2

отличен от нуля (проверьте!), то оба первых интеграла независимы между собой, поэтому их совокупность неявно определяет общее решение заданной системы уравнений. С>

§ 3. Системы дифференциальных уравнений

337

Для выделения интегрируемых комбинаций из системы (2) послед нюю удобнее записать в так называемой симметрической форме:

dy\	dy2		dyn	dx
/1(ж,У1,-,Угг)	/2(я,У1, ... ,Уп)	”	,Уп)	1
				(7)
			^1	^2
и использовать следующее свойство равных дробей: если — =				— = .,.
ип	-		VI	У2
ип	-
... = — = 7, то при любых с*1, . . а п имеет место соотношение
...	------------------------------а\Щ + а 2и2 +	+ а пип_
. . .	ос\У\ + а2^2 +	+ а пуп

Числа с*1, . . а п подбираются обычно таким образом, чтобы числитель в (8) был полным дифференциалом знаменателя или же знаменатель был равен нулю.

В соотношении (7) независимая переменная и искомые функции рав ноправны.

Пример 8. Найти общее решение системы уравнений

.	гпг —1х	,	пх —ту
У	1у —пг 1	*	1у —пг •
<\Запишем систему в симметрической форме:
дх	dy		dz	= 7
ly —nz	rnz —Ix		пх —ту	= 7
и воспользуемся соотношением (8). Выбираем				= т , а 2 ~ п и 03 = /,
тогда имеем

d(mx + пу + 1г)

о~ 7,

т. е. d(mx + пу + 1г) = 0, откуда

т х + пу + Ь = С 1.

(9)

Аналогичным образом, выбирая с*1 = 2х, а 2 — 2у и аз —2г,приходим к равенству d(x2 + у2 + г2) = 0, откуда

х2 + у2 + г2 = С\.

(10)

Соотношения (9) и (10) образуют два первых интеграла системы, неявно определяющих общее решение. С>

Найти общие решения систем дифференциальных уравнений:

с1х

1 Л/

1М_<1х_ <1у

338		Гл.10. Дифференциальные уравнения
	dy	z		dz			у
10.414.							У
	dx	(z — у)2’ dx				(z — у)2
' » « г	—	х ~ у	dy	=			dz
10.415.	—	= --- -, —		=		--- -, — = х - у + 1.
10.415.	dx	z — t	dt		х~у		dt
	dt	z — t	dt		z — t		dt
Л	dy		2xy			dz	2xz
10.416. ~		=	J
	dx	x2 — y2 — z2’				dx	x2 — y2 — z2
10.417. xt		x2	txy — 212
10,418.		dx				dy	dz
10,418.	1 + y/z - x - y					1	2 ’
	dx	y2	dy	x2
10.419. —		= — ,	,
	dt	x	dt	y

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений, а также частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

	U/Ov	/Г	\JjJb		(у Jü		г ( о ) = 1 -
10.421. & =		yz	*	£	* 0)= ,(0 ) =	1.
	dx	yz	dx		y
							dx
10.422*. Для системы				дифференциальных уравнений — =
							dt
= ---- -} -J- =		—x И функций a) (fil = t2 + 2xy-,					6) (p2 ~ x2 — ty
y	dt
проверить, являются ли соотношения tpi = С						(i	— 1, 2) первыми
интегралами этой системы.

3. Физический смысл нормальной системы. Для простоты огран чимся рассмотрением системы двух дифференциальных уравнений, при чем будем считать, что независимая переменная t есть время:

x = fi(t,x ,y ), У = h (t, x, у).

Решение x = p{t), у = i'{t) этой системы есть некоторая кривая в плоскости Оху с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат. Плоскость Оху называется фазовой плоскостью, а кривая x = (f(t), у — yj(t) — фазовой траекторией системы (11). Сама си

стема (11) называется динамической системой. Динамическая система называется автономной (стационарной), если в правые части уравне ний ,?той системы t ис вх^дгтт явпмч образом.

§ 3. Системы дифференциальных уравнений

339

Динамическая система определяет поле скоростей движущейся в плоскости точки в любой момент времени t. Решение динамической системы х = ж(£), у = y(t) -- это уравнение движения точки: они определяют положение движущейся точки в любой момент времени t. Начальные условия задают положение точки в начальный момент: x(to) — XQ, у{to) — уоУравнения движения определяют также и тра екторию движения, будучи уравнениями этой кривой в параметрической форме.

Пример 9 . Найти фазовую траекторию автономной динамической системы

х2 х = — , у = х,

проходящую через точку Мо(2, 3).

<\Продифференцируем второе уравнение по £ и подставим выражение

			(у)2
х = у и х — уъ первое уравнение. Получим у — ---, или уу —(у)2 = О,
			У
т.е. одно уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией у.
Разделим обе части последнего уравнения на у2 и перепишем его
d	( у\	у	dy
так: —	- ) = 0.	Отсюда следует, что - — С i, или — — С\dt, откуда
dt \yj		у	у

у = C2eClt.

Найдем у = C\C2eClt и подставим во второе уравнение системы; по

лучим х = C\C2eClt. Итак, система функций х = CiC2eClt, у = С2ес '1

есть общее решение нашей системы дифференциальных уравнений.

Исключая из общего решения время t (C2eClt =							у), получим, что
фазовыми траекториями системы являются прямые							х = Ciy, причем
							3
через заданную точку Мо(2, 3) проходит прямая у = -х. t>
Для указанных систем найти фазовые траектории, проходящие
через заданные точки Мо:
10.423. х		= 1	-х2- у2,		у = 2х- М 0(1, 2).
10.424. х		— 1	—х2 —у2,		у ~ 2xy] Мо(2, 1).
10.425. х		= 2ж, у		= х + 2у; Мо(1,		1).
10.426. х		— у	—ж,	у ~ у — 2х\ Мо(1,		1).
4.	Линейные однородные системы. Нормальная линейная однородна
система n-го порядка имеет вид
		xi = an (t)x1+ a\2{t)x2 + ... + ain(t)x
		±2 = a21(t)xi + a22(t)x2 + ... + a2n(t)xn,
		in	an\{t)x\ -f-cin2(t)x2 + •.. -b &nn(i)xn,

340	х л. 10. Дифференциальные уравнения

или, в матричной форглв,

(13)

где

	/ац(*)	0,12(1)	Й1п(Ф
А(1)	«21(0	022(*)	&2п(0	() =	жг(*)
	«21(0	022(*)	&2п(0

	\а„1(<)	Ап2(0			\Xnit))
					\Xnit))

В области непрерывности коэффициентов ау (£), i, j = 1, . . ?г, си

стема (12) удовлетворяет условиям теоремы существования и единствен ности решения задачи Коши.

Фундаментальной системой решений системы (12) называется совокупность произвольных п линейно независимых решений Х ^ ) =

К (<), 4 (0, • • •>хп (0) . Л = 1, 2,	п.
Если Х&(£), А; = 1, 2, . . п, — фундаментальная система решений
	п
системы (12), то общее решение имеет вид Х(£) = ^		где С^.
	/г=1

С2■>• • ч Сп — произвольные постоянные.

Интегрирование системы (12) обычно проводится методом исключе ния (см. пример 3).

Решить системы линейных дифференциальных уравнений:

10.427.	Лу	У	+ хг,		йг	2у	“Ь	2
10.427.		~ - -	+ хг,		-	оз	“Ь
	ах	ж			ах	х6		х
	с1у				0с1г
10.428. х —		= —у +		^ -г- “
	аж				ах
10.429. х == —У			у =	—х
		2			£ + 2
10.430. А =			У = У Н--- — ж.
В частном случае систем					с постоянными коэффициента

ми. когда матрица Л(£) в правой части (13) не зависит от £, для отыс

кания фундаментальной системы решений Л*(£),		к — 1, 2, ..., п, могут
быть использованы методы линейной алгебры.
Из характеристического уравнения
	{А - ХЕ) = 0	(14)
находятся различные корни	Л2, . . Л5 и для всякого корня Л (с уче

том его кратности) определяется соответствующее ему частное решение

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4434 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебник по математике Ч2

#
23.02.2015201 б48Прочтите это!.txt
#
23.02.20158.57 Mб3297Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с.pdf