Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

10.320. Показать, что общее решение уравнения

10.336. уу‘ + 2уу + у1У = 0.

Найти частные решения уравнений по данным начальным условиям:

10.337. у" - 5у' + 4у = 0; у(0) = у '( 0 ) = 1. 10.338. у" - 2у' + у = 0; у(2) = 1, у'(2) = -2.

10.339. у'" - у' = 0; у(0) = 3, у'(0) = -1, у"(0) = 1.

10.340*. Найти интегральную кривую дифференциального уравнения у" — у = 0, касающуюся в точке 0(0, 0) прямой у = ж.

10.341. Найти интегральную кривую дифференциального ура нения уп — 4у' + Зу = 0, касающуюся в точке Мо(0, 2) прямой

х—у + 2 —0.

6.Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффицие тами. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, т.е. уравнение вида

где а,{ (г = 1, 2, . . п) — действительные постоянные, а }(х) ф 0. Согласно формуле (9) общее решение уравнения (15) записывается

в виде у(х) = уо[х) + у{х), гДе Уо(х) — общее решение соответствую­ щего однородного уравнения, а у(х) — любое частное решение уравне­ ния (15). Общее решение уо(х) дается формулой (14). Для отыскания у(х) в общем случае можно воспользоваться методом Лагранжа вариации произвольных постоянных (см. п. 4).

Пример 18. Найти общее решение уравнения

у'" + у' = tgz.

<1 Общее решение соответствующего однородного уравнения уо = С\ + + С2cosx +Сз sin ж, так как у\— 1, у2 = cosx, уз = sinx. Для нахожде­ ния частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом вариации постоянных. Система (10) в этом случае принимает вид

С[ + С2cosх + O^sinx —0,

—С2sin х + С3 cos х = 0,

—С2cos х —С3 sin х = tg х.

Умножив обе части второго уравнения на sinx, третьего на cosx и сло­ жив, получим С2 = —sinx. Тогда из второго уравнения следует С3 —

sin2 х

Сложив обе части первого и третьего уравнений, найдем

cos X

С[ = tg x . Интегрирование дает:

Следовательно, искомое общее решение неоднородного уравнения име­ ет вид

Методом вариации произвольных постоянных решить следую­ щие уравнения:

В частных случаях, когда функция /(х) в уравнении (15) имеет вид fi (х) = (d0xm + ... + dm)eXx или /2(х) = ((b0xmi + ... + bmi) cos/Зх + + (сох1712 -f ... + сШ2) sin (3x)eax, частное решение у(х) можно найти

методом неопределенных коэффициентов. Именно, если Л или а±г/3 не совпадают ни с одним из действительных или соответственно комплекс­ ных корней характеристического уравнения (13), то у(х) ищется в виде

324 Гл. 10. Дифференциальные уравнения

для / ( х) = /[(х) или в виде

у(х) = ((В0хт + ... + Вгп) соз/Зх + (С0хш + ... + Ст) ып(5х)еах (17)

для /(ж) = / 2(ж). Здесь В и, В и и Су — неопределенные коэффициенты, т = шах (шх, ;п2).

Если же А или а±г/3 совпадают с некоторым корнем уравнения (13) кратности г (случай резонанса), то выражения в правой части (16) или

(17) следует домножить на .тг, т.е. искать решение соответственно в виде

для /(х) = 1\{х) или

у(х) = хТ((В0хт + ... + Вт) с.о$(5х + (Сохт + ... + Ст) эт рх)еах

(19)

для /(ж) = / 2(.т).

Пример 19. Найти общее решение уравнения

у" — 3у* + 2у = (х2 + х)е3х.

< Характеристическое уравнение соответствующего однородного урав­ нения А2 —ЗА + 2 = 0 имеет корни А1 = 1, А2 = 2. Следовательно, фундаментальная система решений имеет вид у1 = ет, у2 = е2*, а об­

щее решение однородного уравнения есть уо(х) = С\ех + С2е2а\ Для нахождения частного решения неоднородного уравнения вос­

пользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как А = 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение бу­

дем искать в виде у — [В0х2 + В\х + £)2)е3х. Найдя производные у', у" и подставив у, уги у" в исходное уравнение, получим (после сокращения на е3х)

2Вох2 -Ь (6£>о Н~2В\)х -Ь (2Д) ЗВ\ -Ь 2В2) = х2 -Ь х.

Сравнивая коэффициенты обеих частей этого тождества, получим си­ стему уравнений для определения неизвестных Д), Л 1, 1)2:

2В0 - 1, 6Д, 4 2В\ — 1, 2В0 + ЗВ\ Н- 2£)2 = О,

откуда В 0 = 1/2, Иг - -1, В 2 - 1.

общее решение уравнения имеет вид

у = у0 + у = С1ех + С2е2х + ±(х2 - 2х + 2)е3х. >

уравнение, получим —4В sin 2х 4- 4Ccos2x = 4sin2x 4- 4cos2x, откуда

В— —1, С = 1 и, следовательно,

у= a:(sin 2х —cos 2х).

Общее решение будет у —уо4-у = Ci cos2x4-C2 sin 2x4-я (sin 2;r—cos2x). Для нахождения C\ и C2 воспользуемся начальными условиями,

предварительно продифференцировав общее решение:

у' = —2С\sin 2х 4- 2С2cos 2х 4- х(2 cos 2х 4- 2sin 2х) 4- (sin 2х —cos 2х).

Имеем: 2тг — Ci —тг Ci = 37Г, 27г — 2С2 4- 27Г — 1 С2 — 1/2. Искомым частным решением является функция

у = 37г cos 2х 4- - sin 2х 4- x(sin 2х — cos 2х). О

Пример 21. Найти общее решение уравнения

у" - 4у14-4у - хе2х.

< Характеристическое уравнение А2 —4А 4- 4 = 0 имеет двукратный корень А = 2. Общее решение соответствующего однородного уравнения

есть у0 = (Ci 4- С2х)е2х.

Частное решение данного уравнения будем искать в виде у —

— x2(Dox 4- D\)е2ж, так как показатель экспоненты в правой части урав­ нения совпадает с двукратным корнем характеристического уравнения.

Методом неопределенных коэффициентов (т. е. найдя у', у", подставив у,

у' и у" в исходное уравнение, сократив на е2х и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях х) находим JD0 = 1/6, D\ = 0. Следовательно,

у= -х3е2х, а общее решение принимает вид 6

У = Уо + У = (Cl + С2х)е2* + ix-V* = (C i + С2х + jU 3) е2*. t>

Для каждого из данных неоднородных дифференциальных уравнений написать вид его частного решения с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не нахо­ дить):

10.346. у" - 8у' 4- 16у - (1 - х)сАх.

10.347. у" 4- 16у = sin (4а- 4- а ) (а = const).

где aj (г = 1, 2, ..., n) постоянные, есть частный случай линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами и на­ зывается уравнением Эйлера. Введем новую независимую переменную

t с помощью подстановки х = еь (если х > 0) или подстановки х = —е1 (если х < 0). Пусть для определенности х > 0. Тогда у'х = e~ty,t1

Ухх = е~п (у'и - VI), у'ххх = e~3t(y'ttt - Zy'tt + 2у[) и Т.д., и уравнение Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными коэффици­ ентами.

уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой ах 4- Ь — е1 (в области ах 4- b > 0).

Решение однородного уравнения Эйлера

х4- a ix n~Ч / п-1) 4- ... 4- а п-\ху* 4- any — 0

можно (при x > 0) искать в виде у ~ х х.

Подставляя выражения для у', у", ..., у^ в однородное уравнение Эйлера, находим характеристическое уравнение для определения пока­ зателя степени Л. При этом, если Л — действительный корень харак­ теристического уравнения кратности г, то ему соответствуют г линейно независимых решений

и наше уравнение примет вид e2t-e~2t(y,t,t —yft) — 3et‘e~tyt+ oy = Зе2/, или

Ун - 4Vt + 5У = 3fi2t-

Общее решение уо соответствующего однородного уравнения есть т/о =

неоднородного уравнения есть у — уо+у = e2t(C i COS/4-C2 sin £4-3). Воз­ вращаясь к первоначальной независимой переменной х, получим окон­ чательно

у = х2 (Ci cos In х 4- С 2 sin In x 4- 3).

Если учитывать случай х < 0, то общее решение можно записать в виде, охватывающем оба случая:

у — x2(Ci cos In |х| 4- C 2 sin In |x| 4- 3). О

= Л(Л —1)(#Н- 2)л“2. Подставляем выражения у, у', у" в заданное урав­

нение, получим характеристическое уравнение Л2 + 2А — 3 = 0, корни которого А1 = 1, А2 — -3. Следовательно, общее решение есть функция

Найти общие решения уравнений Эйлера:

10.382. (2х + 1 ) V - 2{2х +1 )у' + 4у = 0.

8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравн ний. Во многих физических задачах приходится искать решение диф­ ференциальных уравнений не по заданным начальным условиям, а по их значениям на концах интервала. Такие задачи получили название краевых (граничных) задач. Общий вид краевых условий для интервала

(а, Ь) в случае уравнений 2-го порядка таков:

где ао, (У.\, Д , (5\— одновременно не равные нулю заданные постоянные. Краевые условия называются однородными, если из того, что функции У\(х) и У2(х) удовлетворяют этим условиям, следует, что и их линейная

комбинация у(х) = С\у\(х) + С22/2О*;) также удовлетворяет этим усло­

виям. Краевые условия (20) при А = В = 0, очевидно, однородны. Краевые задачи не всегда разрешимы. При решении краевой задачи

сначала находится общее решение данного дифференциального уравне­ ния, и из граничных условий получается система для определения зна­ чений постоянных С\, С2, ..., Сп, при которых из общего решения получается решение данной краевой задачи.

Пример 24. Найти решение уравнения у" + у = 1, удовлетворяю­ щее условиям у'(0) = у'{7г) = 0.

<Исходное уравнение имеет общее решение вида

у= С\cosx + С2 sin а; + 1.

Из граничных условий получаем: у'{0) — С2 — 0 и у'(тг) = —С2 = 0, так что функция у(х) = С\cosx + 1 удовлетворяет граничным условиям при любом С \. >

Пример 25. Найти частное решение уравнения

у" - 2у' + 2у = ех,

у = (Ci cos ж -f С2 sin ж + 1).

Найдя

у1— сх{С\cos ж + С2 sin ж + 1) + еж(--С1sin ж + С2 cos ж),

используем краевые условия. Получим систему уравнений для определе­ ния Ci и С2:

(Ci + 1) + е7Г/2(С'2 + 1) = е1'/2,

(Ci + С2 + 1) + е’ /Ц - C i + С2 + 1) = 1.

т. е. искомым частным решением является функция

Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяю­ щие заданным краевым условиям:

10.387. уу" + у'2 + 1 = 0; у(0) = 1, у(1) = 2. 10.388. у" + у = 1; у(0) = 0, у (| ) = 0.

10.389. уу' + у'2 + уу" = 0; у(0) - 1, у(-1) = 0.

10.390. х2у"-2ху'+ 2у = хг\ у(0)+2у'(0) = 1, у(1)-у'(1) = 0.

330 Гл. 10. Дифференциальные уравнения

9. Задачи физического характера.

10.391*. Материальная точка массы гп движется прямолинейно под действием силы притяжения к неподвижному центру, пропор­ циональной расстоянию от точки до центра (коэффициент пропор­ циональности к > 0). Сила сопротивления среды пропорциональна скорости (коэффициент пропорциональности Л > 0). В началь­ ный момент расстояние от точки до центра равно а, а скорость направлена по прямой, соединяющей точку с центром, и равна г>о- Найти закон движения точки при условии, что Л2 < 4т к .

10.392*. Материальная точка массы т движется прямолинейно под действием силы отталкивания от неподвижного центра, про­ порциональной расстоянию от точки до центра (коэффициент пропорциональности к > 0). Сила сопротивления среды пропор­ циональна скорости (коэффициент пропорциональности А > 0). В начальный момент точка находится на расстоянии а от центра, скорость равна ?;о и направлена по прямой, соединяющей точку с центром. Найти закон движения точки.

10.393*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью ь) вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без трения. Найти закон движения шарика относительно трубки, если:

а) в начальный момент шарик находился на расстоянии а от оси вращения, начальная скорость шарика равна нулю;

б) в начальный момент шарик находился на оси вращения и имел начальную скорость уо.

10.394. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью ио вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней с трением,

скольжения. Найти закон движения шарика, если в начальный момент шарик находился на расстоянии а от оси вращения и на­ чальная скорость его равна нулю.

10.395*. Тяжелая однородная цепь переброшена через гладкий гвоздь так, что с одной стороны свисает часть ее длиной 8 м, а

конец пружины совершает вертикальное гармоническое колебание у = 2«т30£ (см) и в начальный момент груз находился в состоя­ нии покоя (сопротивлением среды пренебречь).

10.397*. Электрическая цепь состоит из последовательно соеди­ ненных источника тока с э.д.с. е(£) — Еъ\пиА< индуктивности