Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков______ 311

10.264. Найти форму гибкой однородной нерастялшмой нити с закрепленными концами, находящуюся в равновесии под дей­ ствием силы тяжести, если линейная плотность нити равна q (го­ ризонтальная проекция силы натяжения нити I I — const). Распо­ ложить нить так, чтобы вершина кривой совпадала с точкой («, 0), где а = H/qg.

10.265. Гибкая тяжелая однородная нерастяжимая нить в поло­ жении равновесия подвергается натяжению, пропорциональному переменной площади ее поперечного сечения. Найти форму нити, если линейная плотность нити равна q (горизонтальная проекция силы натяжения нити Н = const). Расположить нить так, чтобы кривая проходила через начало координат и имела в ней горизон­ тальную касательную.

10.266. Тело массы т движется прямолинейно под действием постоянной силы F. Найти скорость движения тела и пройденный им путь как функции времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости.

10.267*. Мяч массы 400г падает с высоты 16,7м без начальной скорости. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату ско­ рости мяча и равно 0,0048 Н при скорости 1м/с. Вычислить время падения и скорость мяча в конце падения. Принять g — 10м/с2.

10.268. Тело массы т поднимается вертикально вверх с началь­ ной скоростью VQ. Полагая сопротивление воздуха пропорциональ­ ным квадрату скорости тела (коэффициент пропорциональности к > 0), найти высоту подъема тела и скорость, с которой оно вер­ нется в исходное положение, а также время подъема и спуска тела.

10.269*. Мяч массы 400 г брошен вверх со скоростью 20 м/с. Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема, если сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости мяча (коэффициент пропорциональности к > 0), причем оно равно 0,0048 Н при скорости 1м/с. Принять g = 10м/с2.

10.270. Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы т под действием отталкивающей силы, обратно про­ порциональной кубу расстояния от точки до неподвижного центра (коэффициент пропорциональности к > 0). В начальный момент точка находится в покое и отстоит от центра на расстояние хо*

10.271. Материальная точка массы т движется прямолинейно к неподвижному центру, притягивающему ее с силой, обратно про­ порциональной кубу расстояния от центра (коэффициент пропор­ циональности к > 0). Найти закон движения, если оно начинается с состояния покоя, когда точка отстоит от центра на расстояние XQ. Определить время, по истечении которого точка достигнет центра.

312 Гл. 10. Дифференциальные уравнения

10.272. Ракета движется вертикально вверх под действием силы отдачи от истечения газов. Масса ракеты изменяется в зависимо­ сти от времени по закону т — rriQ(p(t), где mo = const (закон сго­ рания топлива). Относительная скорость истечения газов посто­ янна и равна щ . Начальная скорость ракеты у поверхности Земли равна нулю. Найти высоту подъема ракеты как функцию времени, если сопротивление воздуха не учитывается. Рассмотреть также частный случай, когда т = mo(l — а£), и вычислить для этого случая, на какую высоту поднимается ракета через 10 с, 30 с и 50 с при UQ — 2000м/с и а — 0,01с-1. Положить д — 9,8 м /с2.

10.273. Определить, через сколько времени упадет на Землю тело, притягиваемое Землей по закону Ньютона (с ускорением, обратно пропорциональным квадрату расстояния между ними), если в начальный момент скорость тела равна нулю, а расстоя­ ние его от центра Земли равно Н . Сопротивлением атмосферы пренебречь. Ускорение свободного падения на поверхности Земли постоянно и равно д.

10.274*. Тело, находящееся от центра Земли на расстоянии хл = 60,27i?3 (что соответствует расстоянию от Луны до Земли), падает на Землю из состояния покоя под действием силы тяжести с ускорением, обратно пропорциональным квадрату его расстояния от центра Земли. Пренебрегая сопротивлением атмосферы, опре­ делить, через сколько времени оно упадет на Землю. Принять Яз = 6,377 • 106 м, g = 9,8 м/с2.

10.275. Определить скорость, с которой метеор ударяется о Зем­ лю, если он падает с неограниченно большого расстояния из со­ стояния покоя и если при его движении к Земле ускорение при­ нимается обратно пропорциональным квадрату его расстояния от центра Земли. Принять радиус Земли R 3 = 6377 км, ускорение свободного падения g = 9,8 м /с2.

10.276. По оси Оу в положительном направлении движется с по­ стоянной скоростью v точка А (цель). На плоскости Оху движется точка М (преследователь) с постоянной скоростью и (и > v) так, что вектор скорости всегда направлен в точку А. Найти траекто­ рию точки М (кривую погони), если в начальный момент времени t — 0 точка А находилась в начале координат, а точка М — на оси Ох на расстоянии а > 0 от цели.

10.277*. Балка длины /, лежащая концами на двух опорах, находится под действием равномерно распределенной нагрузки ин­ тенсивности q. Найти уравнение изогнутой оси балки и ее мак­ симальный прогиб, выбрав начало координат в середине ненагруженной балки.

10.278*. Балка длины /, заделанная правым концом в стену, изгибается силой F, приложенной к левому концу, и равномерно

распределенной нагрузкой интенсивности д. Найти уравнение изогнутой оси балки и ее максимальный прогиб.

10.279*. Балка длины I с заделанным левым концом изгибается под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивно­ сти д. Какова должна быть приложенная к правому концу балки

называется линейным однородным дифференциальным уравнением п-го порядка. Если известно какое-либо частное решение у\(х) урав­

нения (5), то подстановка у(х) — у1{х)г(х) приводит это уравнение к линейному уравнению относительно функции г(х), не содержащему явно эту функцию. Поэтому, полагая г1(х) — и(х), получим линейное одно­ родное уравнение порядка п —1 относительно функции и(х).

Пример 9. Найти общее решение уравнения

(х2 + 1)у" - 2ху' + 2у = 0,

убедившись в том, что функция у{(х) = х есть одно из его частных решений.

<1 Так как у[{х) — 1, а у"(х) = 0, то, подставив выражения у\(х), у[{х)> У\{х) в данное уравнение, убеждаемся в том, что функция у\(х) = = х действительно является его частным решением. Положим у — хг,

найдем у' — хг1+ г, у11— хгп+ 2г1и подставим выражения у, у1и у" в уравнение. Получим

(х2 + 1)(хг" + 2г;) —2х(хг1+ г) + 2хг = 0,

или

х(х2 + 1)гп + 2г' —0.

Теперь, полагая г1= и, г" = гг', приходим к уравнению первого порядка относительно и:

х(х2 + 1)и' + 2и = 0.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид

откуда, учитывая и = получаем уравнение первого порядка относи­ тельно г:

314 Гл. 10. Дифференциальные уравнения

Интегрируя последнее уравнение, находим z — С\ i^x — —^-f С2, а так

как у — xz, то окончательно получаем общее решение исходного урав­ нения

У — С 1(.?;2- 1) + С 2х. О

Изложенный выше метод обобщается на случай, когда известно к частных линейно независимых решений уравнения (5). В этом случае путем надлежащих подстановок порядок уравнения может быть понижен

Если система функций у\(х), у2(х*), . . уп(х) линейно зависима на интервале (а, 6), то ее вронскиан равен нулю всюду на этом интервале. Если же хотя бы в одной точке хо € (а , Ь) имеем \У(хо) ф 0, то система функций у\(ж), у2{х), . . уп(х) линейно независима на (а, 6).

Всякая система из п линейно независимых решений у\{х), у-2(х), ...

..., уп(х) уравнения (5) называется фундаментальной системой реше­ ний этого уравнения. Вронскиан фундаментальной системы решений отличен от нуля на всем интервале, где эти решения определены (см.

задачу 10.304). Если известна фундаментальная система решений урав­ нения (5), то общее решение этого уравнения имеет вид

у(х) = С^у^х) + ... + Cnyn(x),

где С 1, ..., Сп — произвольные постоянные.

Пример 10. Дана система функций ж, cos ж, sin х. Найти вронскиан

системы W (х) и убедиться в том, что на некотором интервале система линейно независима. Составить линейное однородное дифференциаль­ ное уравнение, для которого эта система функций является фундамен­ тальной системой решений, и записать общее решение уравнения.

<3 Составим вронскиан

Так как W(x) — x, то система линейно независима на всей оси Ох, за исключением точки х = 0 и, следовательно, образует фундаментальную систему решений некоторого линейного однородного уравнения 3-го по­ рядка в области Е\{0}, общим решением которого является функция

у ~ C1X+ C2 cos х 4-С3 sin х. Для составления дифференциального урав­ нения найдем производные у', у", у и исключим произвольные посто­

янные из выражений для у, у', у", ynt. Имеем:

Легко видеть, что, умножив первое и третье равенство на —1, а второе и четвертое на х и сложив все четыре равенства, получим

Уравнение (6) можно было получить и другим путем, если учесть, что решение у искомого уравнения вместе с функциями .т, cos ж, sin х обра­ зует линейно зависимую систему и поэтому вронскиан системы функций ?/, ж, cos ж, sin х равен нулю:

316 Гл. 10. Дифференциальные уравнения

Раскрывая определитель, получим то же самое уравнение (6) (прове­ рить!). Деля обе части уравнения (6) на х, получаем

Уравнение (7) и является искомым линейным однородным дифференци­ альным уравнением. >

Исследовать на линейную зависимость следующие системы

Зная фундаментальную систему решений линейного однород­ ного дифференциального уравнения, составить это уравнение:

10.304**. Доказать, что если у\{х), у2 (х), ..., уп{ж) — решения линейного однородного дифференциального уравнения порядка п с непрерывными в некотором интервале (а, Ь) коэффициентами и вронскиан W (x) этой системы равен нулю при жо Е (а, Ь), то

W (x) = 0 при a < х < Ь .

10.305*. Дана система функций у\(х), У2(я), ..., уп{х), причем на некотором интервале вронскиан W (ж) этой системы отличен от нуля. Составить линейное однородное дифференциальное уравне­ ние, для которого эта система является фундаментальной системой решений.

10.306. Зная фундаментальную систему решений ех, cos ж, sin ж линейного однородного дифференциального уравнения, найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у(0) =

= 3, у'(0) = 4, у"(0) - -1.

10.307. Зная фундаментальную систему решений ет, е2х, е3х линейного однородного дифференциального уравнения, найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у(0) = - 6, у'(0) - 14, у"(0) - 36.

< Общее решение соответствующего однородного уравнения записыва-

х, для определения частного решения уравнения (11) составим систему

частным решением уравнения у" —2у' — 3у — е2х, найти общее решение уравнения

у" ~ 2у' —Зу -- ех 4- е2х.

<3 Согласно принципу суперпозиции частным решением последнего урав­

нения является функция у = — -ех — -с2х. Общее решение соответствую* 4 г)

щего линейного однородного ураъксниь i-сть функция у о — (7] г ? х 4 С - i l ~ г (см. задачу 10.282). По формуле (9) общее решение данного уравнения имеет вид

У = Cie3x + С2е~х - ]ех - \ё2*. >

4 о

10.308. Используя решение задачи 10.298, написать общее

решение уравнения х2у" — 6.ту' 4- 12у — Зх, предварительно убе­ дившись в том, что функция х/2 есть одно из решений этого урав­ нения.

10.309. Используя решение задачи 10.303, написать общее решение уравнения ут — 2у" 4- ?/ — 2у — 10е3ж, предварительно убедившись в том, что функция е?х есть одно из решений этого уравнения.

10.310. Проверив, что функции у\(х) -• ех и У2 (х) ~~х образуют

ctg х • уп 4- 2у' 4- (2 tg х 4- ctg х)у — cos2 х.

10.312. Проверив, что функция у\(х) = Ъх 4--6 является част­ ным решением уравнения уп - 6у' 4~ 5у —-25;/;, а функция уз(.г‘) = = — е2х — - частным решением уравнения уп — 6yf 4- 5у — Зе/Т. найти общее решение уравнения у11— 6?/ 4- 5у = 25:/; + Зс2х (см, задачу 10.281).

10.313. Проверив, что функция yi(x) — - сх янляется частным

5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффицие

тами. Общий вид линейного дифференциального уравнения порядка п с постоянными коэффициентами

кратности г соответствуют г линейно независимых решений уравне­ ния (12):

Хх Хх г-1 Хх

акаждой паре комплексных корней А = a±ifi кратности s соответствуют пар линейно независмых решений:

сопряженных корней а\4 г'Д, а\—ifii, ..., щ 4 г/3/, а/ —гfit кратностей si, ..., 6/ (ri . .+rfc+2si +.. .4-25/ = п), то общее решение уравнения

(12) запишется в виде

у(х) ~ P\{x)eXlX 4 ... + Рк{х)еХкХ 4 (Q\{x) cosfiix 4

4 R\(x) su\fiix)ecnx 4 ... 4 (Qi{x) cos fiix 4 Ri(x) sin fiix)eaiX, (14)

где Pv(x) — произвольный многочлен степени r„ — 1, ^= 1, ..., к, а Qfl(x) и R^x) — произвольные многочлены степени 5^— 1, /i = 1, . . L

Пример 14. Найти общее решение уравнения

у" 4 3у14 2у = 0.

<3 Характеристическое уравнение А2 4 ЗА 4 2 — 0 имеет корни Аа = —1, До ” -2. Запишем фундаментальную систему решений yi = е~х, у? =

— е~2х. Следовательно, общее решение имеет вид у = С\е~х+Сое~2х. > Пример 15, Найти общее решение уравнения

составляют фундаментальную систему решений, а общее решение име­

ет вид

у = е~х(С\cos2.x 4 С2sin2x). t>