Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с
.pdf§ 1. Уравнения 1-го порядка |
301 |
10.182. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с по лярными координатами г — 7Т, </? = 7г/2, если площадь сектора, ограниченного этой кривой, полярной осью и переменным поляр ным радиусом, в шесть раз меньше куба полярного радиуса.
Ортогональными траекториями для однопараметрического семей
ства 51 линий у — Ф(:г, а) называется другое семейство 52 линий, кото рые пересекают линии первого семейства иод прямым углом.
Пример 21. Найти ортогональные траектории семейства кубиче ских парабол у —ах3.
< Найдем дифференциальное уравнение данного семейства, исключая а из системы уравнений
у - ах3,
у1— За.т2.
Получим у1 — Зу/х. Дифференциальное уравнение семейства ортого нальных траекторий есть
*У
Его общий интеграл
.г2 +3у2 - С 2
является уравнением семейства ортогональных траекторий (эллипсов). >
Найти ортогональные траектории данных семейств кривых (а — параметр):
10.183. |
ау2 = х3. |
10.184. у = ах2. |
10.185. |
х2 - 2у2 = а2. |
10.186. у = ае2х. |
При составлении дифференциальных уравнений 1-го порядка в физи ческих задачах часто применяется метод дифференциалов, по которому приближенные соотношения между малыми приращениями величин за меняются соотношениями между их дифференциалами. Такая замена не отражается на результатах, так как дело сводится к отбрасыванию бесконечно малых высших порядков. Другим методом составления диф ференциальных уравнений является использование физического смысла производной как скорости протекания процесса.
Пример 22. В резервуаре первоначально содержится А кг вещества, растворенного в Б литрах воды. Затем каждую минуту в резервуар по
ступает М литров воды и вытекает N литров раствора (М ^ ТУ), причем однородность раствора достигается путем перемешивания. Найти массу вещества в резервуаре через Т минут после начала процесса.
<1 Обозначим через х(1) массу вещества в резервуаре в момент времени I и через х +Ах — в момент времени £-}- (время измеряется в минутах, момент времени £ — 0 соответствует началу процесса). Заметим, что Ах < 0 при Д£ > 0 (т.е. раствор «обедняется»).
302 |
Гл. 10. Дифференциальные уравнения |
Пусть V (t) — объем смеси в момент t:
V(t) = B + M t- N t.
Концентрация вещества в момент времени t равняется, очевидно, x/V . За бесконечно малый отрезок времени[t, t -f At] массавещества из меняется набесконечно малую величинуАх, для которойсправедливо приближенное равенство
оо -лтA |
Nx |
Ах « --—NAt = ——— — — — -At. |
|
V |
В + (М - N)t |
Заменяя приращения Ах и At дифференциалами dx и dt, получаем диф ференциальное уравнение:
f Nx .
dx = ——--- ------ —— dt. В + (М - N)t
Интегрируя то уравнение с разделяющимися переменными и считая М > N, найдем общее решение:
x{t) = __________ £ __________
Используя начальное условие х = А при t = 0, найдем частное решение:
N / (M —N)
KB + (M - N )t,
Полагая t = Т, получим ответ:
в\N /(M —N)
х(Т) - А КВ + (М - Щ ТV,
Случай М — N требует отдельного рассмотрения (см. задачу 10.195). >
10.187. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры Т от времени если тело, нагретое до То градусов, внесено в помещение, температура которого посто янна и равна а градусам.
10.188. Через сколько времени температура тела, нагретого до 100°С, понизится до 25°С, если температура помещения равна 20°С и за первые 10мин тело охладилось до 60°С?
10.189*. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что
§ 1. Уравнения 1-го порядка |
303 |
диск, начавший вращаться со скоростью 5 об/с, по истечении двух минут вращается со скоростью Зоб/с. Через сколько времени он будет иметь угловую скорость 1 об/с?
10.190. Скорость распада радия пропорциональна наличном его количеству. В течение года из каждого грамма радия распада ется 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?
10.191*. Скорость истечения воды из сосуда через малое отвер стие определяется формулой V = 0,6\/2дН, где /г — высота уровня воды над отверстием, д — ускорение свободного иадения (принять д = 10 м /с2). За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака диаметром 2Я — 1м и высотой Н — 1,5 м через отверстие в дне диаметром 2г — 0,05 м?
10.192*. Количество света, поглощаемого при прохождении че рез тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя. Зная, что при прохождении слоя воды толщиной 2 м поглощается 1/3 первоначального светового потока, найти, какая часть его дойдет до глубины 12 м.
10.193. Лодка замедляет свое движение под действием сопроти вления воды, которое пропорционально скорости лодки. Началь ная скорость лодки 1,5м/с, скорость ее через 4 секунды 1м/с. Когда скорость уменьшится до 1см/с? Какой путь пройдет лодка до остановки?
10.194*. Пуля, двигаясь со скоростью г>о = 400 м/с, пробивает стену толщиной Ъ = 20 см и вылетает, имея скорость 100 м/с. По лагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату ско рости движения пули, найти время прохождения пули через стену.
10.195. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак вливается вода со скоростью 5 л/мин, и смесь вытекает из него с той же скоростью. Однородность раствора достигается путем перемешивания. Сколько соли останется в баке через час?
10.196. Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной массе непреобразованного веще ства. Если масса первого есть 31,4 г по истечении одного часа и 9,7 г по истечении трех часов, то определить: а) массу вещества в начале процесса; б) через сколько времени после начала процесса останется лишь 1% первоначальной массы исходного вещества?
10.197*. В помещении цеха вместимостью 10 800 м3 воздух со держит 0,12% углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воз дух, содержащий 0,04% углекислоты, со скоростью 1500м3/мин. Предполагая, что углекислота распределяется по помещению рав номерно в каждый момент времени, найти объемную долю угле кислоты через 10 мин после начала работы вентиляторов.
304 |
Гл. 10. Дифференциальные уравнения |
10.198. Сила тока г в цепи с сопротивлением Л, индуктивностью
Ьи напряжением и удовлетворяет уравнению
гей
ь— + кг = и.
М
Найти силу тока |
г в момент времени £, если и = Е б ш ^ и г = 0 |
при £ = 0 (I/, Л, |
Е , и — постоянные). |
§2. Дифференциальные уравнения высших порядков
1.Основные понятия. Теорема Боши. Дифференциальное уравнени п-го порядка имеет вид
Р (х ,у ,у ',у " ,... ,у^ ) = 0 |
(1) |
или |
|
у{п) = 1 (х ,у ,у ',... ,у {п-1)). |
(2) |
Задачей Коши для дифференциального уравнения (2) называется
задача отыскания решения у(х), удовлетворяющего заданным началь ным условиям
у{хо) = Уо, у '(х о) = Уо, , у^п~ 1){х о) = У{0п~ 1}. (3)
Общим решением уравнения (1) или (2) называется такая функция
у — ср(х, С\, ..., Сп), которая при любых допустимых значениях пара метров Су, ..., Сп является решением этого дифференциального урав
нения и для любой задачи Коши с условиями (3) найдутся постоянные С\, С-2, . . Сп, определяемые из системы уравнений:
Уо = ф(хо, Си ... , Сп), Уо = ¥>'(*0, Си ... , Сп),
2/о”_1) = 9{п~1){хо, С\, |
, С п). |
|
Уравнение |
|
|
Ф(ж, у,Сг, ... , С„) - 0, |
(4) |
|
определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Теорема о существовании и единственности ре шения задачи Коши. Если дифференциальное уравнение (2) т а
ково, что |
функция }(х, у, у1, ..., у^п~1^) в |
некоторой области В |
|
изменения |
своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные |
||
частные производные |
..., ■Д . ; |
, то для любой точки |
|
|
ду ду' |
ду^~1) |
’ |
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков |
Ж) |
|
(.то, 2/о? Уо, • • • »2/пП |
существует такой интервал хо |
— h < |
< х < X,Q + /г, па котором существует и притом единственное реше ние этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (3).
Пример 1. Показать, что функция у = CieC2,T, С\, С2 € Е, квля
ется решением дифференциального уравнения уу// — у/9. <1 Имеем:
у' = СхС2ес*х> у " - C ^ V 2*.
Подставив выражения у, у' и у" в данное уравнение, получим тождество
С гес*х • С гС%ес*х = (CY1C2eC2a:)2.
Следовательно, функция у = CieC2a: есть решение данного уравнения. [>
Пример 2. Найти область существования и единственности реше ния уравнения
v" =
т
, |
г/ |
/ч |
= |
2/х/^/7 |
|
9/ |
vV |
<1 Функция / (т, у, 2/') |
--- и ее частная производная |
— |
= — — |
||||
|
|
|
|
х |
|
ау |
х |
непрерывны при х |
ф |
0, |
у1 ^ 0; |
$ f |
— |
У |
|
частная производная — |
---7= |
||||||
|
|
|
|
|
ду* |
2хфу1 |
|
непрерывна при х Ф 0, у1> 0. |
|
|
|
||||
|
Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение при |
||||||
х ф 0, у' > 0. > |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти область существования и единственности решения урав |
||||||
нений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
10.199. у" = х + |
у/х2 - у'. |
10.200. у" = у' In у'. |
|
|
||
Показать, что данные выражения при любых .действительных значениях входящих в них параметров определяют решения со
ответствующих дифференциальных уравнений:
X
10.201. y = |
x |
j —t— dt + c o s t |
+ С\х + С 2; xy" = sin .т . |
|
|
|
о |
|
|
10.202. у = |
т2 1п.т + С\х2 + С 2.т + Сз; |
.ту'" — 2. |
||
10.203. еу sin2 (С хх + С 2) - 2С?; у" = |
е*. |
|||
10.204. С\у = |
s in (C it + С 2); |
уу" + 1 = у'2. |
||
Показать, что данные функции являются частными решения ми соответствующих дифференциальных уравнений:
10.205. |
у = —у — |
; 1 + у'2 = 2уу". |
10.206. |
у = ех; у2 |
+ у'2 = 2уу". |
306 Гл.10. Дифференциальные уравнения
Путем исключения параметров вывести дифференциальные уравнения семейств следующих линий:
10.207. Прямых на плоскости, не параллельных оси Оу. 10.208. Окружностей постоянного радиуса R.
10.209. Синусоид у = A sin (х 4- а), где А и a — параметры. 10.210. Парабол с осью, параллельной оси Оу.
2. Уравнения, допускающие понижение порядка. Ниже приводятс некоторые виды дифференциальных уравнений n-го порядка, допускаю щих понижение порядка.
а) |
У р а вн с н и е вида |
у^ — f(x). Общее решение получается п |
|||
тем n-кратного интегрирования у = j |
dx j dx. .. / f(x) dx +P„-i(x), |
||||
где P„_t(x) = С\хп~'} + C-2Xn~2 + .. • + Cn-\x + Cn, или по формуле |
|
||||
|
X |
|
|
|
|
|
У ~ (n - 1)! / |
~ |
dt + Fn~X |
|
|
|
X 0 |
|
|
|
|
Пример 3. Найти общее решение уравнения у" — — ~— и его |
|||||
|
|
|
cos2х |
|
|
|
|
|
/ ;г \ |
In 2 |
, |
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у ( — 1 = |
L |
||||
|
|
|
\4 / |
|
|
<3 Интегрируя первый раз, получаем у* = tgx 4-С\. Повторное инте
грирование дает у -- —In |cos.xj 4-С\х 4-С-2- Это и есть общее решение. Подставив теперь в полученное общее решение и в выражение для первой
7Г |
1112 |
производной х — -- и соответственно у = |
---- и у - 1. получим систему |
4 |
2 |
двух уравнений с неизвестными С\ и (7*2- Решив эту систему, найдем
значения параметров С\ = 0 и С12 |
- 0, соответствующие искомому част |
|
ному решению, которое, следовательно, имеет вид у -- —ln|cosir|. О |
||
б) |
У рав не ния вида |
F(x, ]/к), . . у^'^) ~ 0, т.е. уравнени |
не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка к — 1 включительно. С помощью замены у^ — р(х) порядок урав
нения понижается на к единиц: F(x, р, р', ..., р(п~к)) = 0. Предполо жим, что для полученного уравнения мы можем найти общее решение р(х) = (р(х, 6\, .... С„ _/,•). Тогда искомая функция у(х) получается пу
тем Ажратного интегрирования функции (р(х, С\, ..., Cn-k)-
Пример 4. Найти частное решение уравнения х4у,п 4-2х3у" -- 1,
удовлетворяющее начальным условиям ?/С1) — 2/'(1) =у"( 1) = |
—1. |
dp
<1Данное уравнение не содержит у и у\ Положим уп = р , тогда у,п = — , dx
п ур;тнерие гфиннмл* ^ шгтх |
jdp |
п о . |
dp |
2 |
1 |
a," |
4-2х v ~ 1, |
или — 4— р = |
— . Эю |
||
|
|
dx |
х |
xq |
|
310 |
Гл.10. Дифференциальные уравнения |
|
|||||
10.241*. х2уу" = |
(у — ху')2. |
|
|
|
|
||
10.242. ху'{уу" - у'2) - уу'2 = |
хАу3. |
|
|
|
|||
10.243. .туу" + з;у'2 = |
2уу'. |
10.244. 2уу" — 3у'2 = 4у2. |
|||||
Найти частные решения дифференциальных уравнений, удо |
|||||||
влетворяющие заданным начальным условиям: |
|
|
|||||
10.245. у" = |
хех, у(0) = 1, у'{0) = 0. |
|
|
||||
10.246. у'" = |
X L |
у(1) = 0, у'(1) = |
1, у"( 1) = |
2. |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
10.247. у" = |
- + ^7, |
у(2) = 0, у'(2) |
= 4. |
|
|
||
|
|
у |
|
|
|
|
|
10.248. (1 + х2)у" + у'2 + 1 = |
0, з/(0) = у'(0) = 1. |
|
|||||
10.249. у" = е2у, у{0) = 0, у'(0) = 1. |
|
|
|||||
10.250. y"cosy + y'2s i n y - y ' |
= 0, у(-1) = |
у'(-1) = |
2. |
||||
у' |
1+ у |
|
|
|
|
|
|
10.251. ^ |
|
|
У(°) = °> ^'(°) = L |
|
|
||
10.252. уу" - у'2 = у2, у(0) = |
1, у'(0) = 0. |
|
|
||||
10.253. уу" = 2ху'\ у{2) - 2, у'(2) = 0,5. |
|
|
|||||
10.254. 2уу" + у2 - у'2 = 0, у(0) = у'(0) = 1. |
|
|
|||||
10.255. Найти интегральную кривую уравнения уу'у" = |
у/3 + |
||||||
+ у"2, касающуюся в начале координат прямой х + у = 0. |
|
||||||
10.256. Найти интегральную кривую уравнения уу"+у,2~ 1 = О, проходящую через точку М о(0, 1) и касающуюся в этой точке пря мой х + у — 1.
Найти общие решения дифференциальных уравнений в пара
метрической форме: |
|
|
|
10.257. {х + 2у')у" = 1. |
10.258. у"2 - 2у'у" + 3 = |
0. |
|
10.259. (2 + у')еУу"= 1. |
10.260. (3у - 2у')у" - у'2 = 0. |
||
10.261. Найти уравнение кривой, |
касающейся оси |
абсцисс в |
|
начале координат, если ее кривизна |
в любой точке равна cosx |
||
(—7г/2 < X < 7г/2).
10.262. Найти уравнения кривых, у которых радиус кривизны
влюбой точке равен длине отрезка нормали, заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если кривая:
а) вогнута вверх; б) вогнута вниз.
10.263*. Найти уравнения кривых, у которых радиус кривизны
влюбой точке вдвое больше длины отрезка нормали, заключенного между этой точкой и осью абсцисс, если известно, что кривая:
а) вогнута вверх; б) вогнута вниз.