Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

и{х,у) =у\ п х+ ^ /.

Следовательно, общий интеграл заданного уравнения имеет вид

у\пх + ^т/4 = С.

Второй способ:

{я, У)

и (х ,у )= ! ^(£с + (у3 + 1пх)(1у.

(я0, уо)

Положим, например, хо = 1, Уо = 0- Тогда Р(х, уо) = 0 и

у

и {х,у) = I [ у 3 +\пх)(1у = ^у4 +у\пх. >

о

Решить дифференциальные уравнения, предварительно убе­ дившись, что они являются уравнениями в полных дифферен­ циалах:

10.96.(2х + у) (1х + (х + 2у) с1у = 0.

10.97.(Юху — 8у + 1) (1,х + (5х2 - 8х + 3) йу — 0.

10.98. (Зж2 + 6ху — 2р2) (1х + (Зж2 — 4ху— 3у2) с1у = 0.

шения. Задачей Кош,и для дифференциального уравнения у1= /(ж, ?/) называется задача об отыскании частного решения этого уравнения, удо­ влетворяющего заданному начальному условию у(хо) = ?/о-

кости Оху и имеет в этой области ограниченную частную про­ изводную fy{x, у), то для любой точки (.то, уо) Е D в некотором

интервале XQ —h ^ х ^ хо -f h существует и притом единственное решение у(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

у(хо) = Уо-

Геометрически это означает, что через каждую точку М области D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения у1 =

= /(*> У)-

Точки области D, в которых нарушается единственность решения задачи Коши, называются особыми точками дифференциального урав­ нения.

Решение (интегральная кривая) уравнения у' — /(ж, у), в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, на­ зывается особым решением (особой интегральной кривой) этого урав­ нения. Особое решение не может быть получено из общего ни при каких значениях С (включая и С — ±оо).

Огибающая семейства интегральных кривых, определяемых общим решением у = <р(х, С) или общим интегралом Ф(.т, у, С) = 0, являегся

Найденную таким путем функцию следует подставить в данное диффе­ ренциальное уравнение и убедиться, что она является его решением.

Приме}) 13. Найти область, в которой уравнение

у' = Х \/\ - у 1

и \у\^ а < 1. Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение в любом прямоугольнике В — {(.г\ у) |\х\^Л/, \у\^а < 1}. [>

Система соотношений (23) и (24) определяет общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

х = Сер - 2(р 4-1), у — Сер(р - 1) - р2 + 2. Е>

< Полагая р = у', имеем

х = р2 +

Р

Дифференцируем это равенство по у:

I — 2р— + -

Подставляя поочередно оба результата в выражение для х, найдем общее решение

у = С х - С 3

и решение

у ~ з ^ 3/2’ которое, как легко убедиться, является особым. О

которое при /( у') = у' называют уравнением Клеро. Введением пара­ метра р ~ у' уравнение (25) приводится к виду

Таким образом, можно сформулировать следующее пр а к ти ч ес к о е правило. Заменив в уравнении Клеро символ у' символом С, мы сразу

получаем общее решение (26). Дифференцируя его по С и исключая С из системы двух уравнений (общего решения и результата дифференци­ рования), получаем особое решение (27).

IIример 17. Решить уравнение Лагранжа

у = ху'2 + у'.

< Полагая у' = р, найдем

у - хр2 + р.

Дифференцируя это равенство по ж, получим

Это линейное уравнение имеет общее решение

Х = (Т Гр) 2(С + 1п N -Р)>

подставляя которое в формулу для у получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

Кроме того, уравнение имеет особые решения у = 0 и у = х + 1, соответствующие корням рх = 0 и р2 — 1 уравнения р2 — р. >

Пример 18. Решить уравнение

У—ХУ/ - у/4 .

<Данное уравнение имеет вид (25) при /(?/) = у\ т.е. является урав­ нением Клеро. Следуя практическому правилу, получаем общее решение

у— Сх - С 4.

Исключая, далее, параметр С из системы уравнений

у = Сх - С 4, 0 - х - 4 С\

получим особое решение

_ _ 3 _ хА!\ > 4^4

10.164*. (ж - 2у3) </ж 4-Зу2(2ж - у3) dy = 0.

11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решени

дифференциальных уравнений 1-го порядка. В задачах геометрии, в ко­ торых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее каса­ тельной, нормали или площади криволинейной трапеции, используются

Рис. 50

геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент каса­ тельной) и интеграла с переменным пределом (площадь криволинейной

трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а также следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной £, нормали п, подкасательной з* и поднормали 5П (рис. 50):

Пример 19. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если в каждой ее точке М(х, у) подкасательная з* в к раз меньше поднормали 5П.

<3 Пусть у = /( х) — уравнение искомой кривой. Используя выражения подкасательной 8^и поднормали 8П, мы сразу получаем дифференциаль­ ное уравнение

\уу'\ - к

ИЛИ

(У1)2 = к.

Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие у(0) = 0, по­ лучим искомые уравнения

у = ±у/к • х

(две прямые). >

Пример 20. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 1), если для любого отрезка [1, х] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, на 2 больше удвоен­ ного произведения координат точки М(х, у) кривой (х > 0, у > 0).

< Согласно условию задачи имеем

х

! г/(£) ей+ 2 = 2ху(х). 1

Дифференцируя это равенство по ж, получаем дифференциальное урав­ нение у = 2(у -Ь ху1), или

Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие у( 1) = 1, най- ^дем уравнение искомой кривой:

1

10.165. Найти уравнение кривой, проходящей через точку

(у/2, 0), если сумма длин ее касательной и подкасательной равна произведению координат точки касания.

10.166. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 2), если ее подкасательная вдвое больше абсциссы точки ка­ сания.

10.167. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1/ 2, —1), если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого ее ка­ сательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

10.168. Найти уравнения кривых, у которых длина отрезка нормали постоянна и равна а.

300 Гл. 10. Диффсренцимьные уравнения

10.169. Найти уравнения кривых, у которых поднормаль имеет постоянную длину а.

10.170. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0, 2), если площадь криволинейной трапеции, ограниченной ду­ гой этой кривой, в два раза больше длины соответствующей дуги.

10.171. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 1/ 2), если для любого отрезка [1, ж] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, на 2 больше отношения абсциссы х концевой точки к ординате.

10.172. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0, 3), если подкасательная в любой точке равна сумме абсциссы точки касания и расстояния от начала координат до точки касания

(ограничиться рассмотрением случая — > 0).

V

10.173. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 0), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого ее нормалью, на 2 больше абсциссы точки касания.

10.174. Найти уравнение кривой, проходящей через начало ко­ ординат, если для любого отрезка [а, х] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, рав­ на кубу ординаты концевой точки дуги,

10.175. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с полярными координатами г = 2, = 0, если угол а между ее касательной и радиус-вектором точки касания есть постоянная ве­ личина: tga: = а.

10.176. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой ее ка­ сательной, равна длине этой касательной.

10.177. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3, 1), если длина отрезка, отсекаемого любой ее касательной на оси ординат, равна поднормали.

10.178. Найти уравнение кривой, проходящей через начало ко­ ординат, если середина отрезка ее нормали от любой точки кривой

до оси Ох ле?кит на параболе 2у2 — х.

10.179. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 0), если площадь трапеции, образованной касательной, осями координат и ординатой точки касания, постоянна и равна 3/2.

10.180. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0, 1), если площадь треугольника, образуемого осью абсцисс, ка­ сательной и радиус-вектором точки касания, постоянна и равна 1.

10.181. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 2), если произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пересечения нормали с осью Ох равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.