Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с
.pdf§ 2. Функции действительной переменной |
21 |
Функция /(:х) называется периодической, если существует положи тельное число Т (период функции) такое, что М х е D (/(x-f-T) = /(х))-
Выяснить, какие из заданных функций являются периодиче скими, и определить их наименьший период Т:
5.141. f(x ) |
= |
5 cos 7а;. |
5.142. /(х) |
= cos22x. |
5.143. /(ж) |
= |
жsin .т. |
5.144. /(х) |
= cos х + sin (\/Згг). |
5.145. f{x) |
= |
sin ж2. |
5.146. /(ж) |
= tg^ - 2 t g | . |
Установить, какие из указанных ниже функций имеют обрат ные, найти соответствующие обратные функции и их области опре
деления: |
|
|
|
|
5.147. у — ах + Ь. |
5.148. у — (х — I)3. |
5.149. у = |
cos2x. |
|
5.150. у = |
In 2®. |
5.151. у = 2х>2. |
5.152. у = |
^ |
|
|
|
|
1 + Ж |
5.153. у = |
х2 + 1. |
|
|
|
<3 Для функции у — х2 + 1 естественная область определения есть вся числовая прямая D = (—оо, -Ьоо), а множество значений — луч Е =
= [1, +оо). Так как для любого а Е Е уравнение х2 + 1 = а имеет два
различных решения х\(а) = у/а—1 |
и хз(а) = |
то данная |
||||||
функция не имеет обратной. Однако каждая из функций |
|
|||||||
ух = х2 + 1, |
Di = [0, -Ьоо), |
и |
т/2 = х2 + 1, D ~ (-оо, 0], |
|||||
имеет обратную, равную соответственно |
|
|
||||||
z i(2/) = |
у/ y - l |
и |
ж2(у) = - У у ~ 1. > |
|
||||
Найти обратную функцию и область ее определения, если ис |
||||||||
ходная функция задана на указанном промежутке: |
|
|||||||
5.154. у ~ х2 — 1: а) х Е (—оо; |
—1/2); |
б) х Е [1/2, +оо). |
||||||
5.155. у ~ sinx: а) х Е [—тг/2, 7г/2]; б) |
х Е [тг/2, |
37г/2]. |
||||||
клка - |
I |
х ' |
* Е ( - о о , |
0], |
|
|
|
|
’ У |
\2х, |
х Е (0, +оо). |
|
|
|
|||
5.157. у = |
cos2 х: |
|
|
|
|
|
|
|
а) х Е [0; 7г/2]; б) |
х Е [7г/2; 7г]; |
в) х Е [7г; 37г/2]. |
|
|||||
Найти композиции / о g и g о f |
следующих функций: |
|||||||
5.158. /(х) |
|
= х2, |
<?(х) = |
\/х. |
|
|
|
|
< Имеем: |
|
|
(/ °.9)Ы |
= /(.9(a--)J = Z(v^) = (v^)2 = х |
|
(.9 0 /)(*) |
= g{f(x)) = g(x2) = |
= |x|. > |
22 |
Гл. 5. Введение в анализ |
5.159. f(x ) — 1 — а;, д(х) = ж2. 5.160. f(x ) = ех, д(ж) = Ina;.
5.161. /(а;) = sina;, а; Е [—7г, 7г], g(а;) = arcsina;.
5.163. Найти / |
о / |
о если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
а; |
|
|
|
|
а) /(ж) = — — |
; б) /(ж) = |
|
|
|
|
||
|
1 — а; |
|
\Л + а;2 |
|
|
|
|
2. Элементарные функции и их графики. Следующие функции назы |
|||||||
ваются основными элементарными. |
|
|
|
|
|||
1. |
Степенная функция: у = жа, а Е R. |
|
|
|
|
||
2. Показательная функция: у = аж, а > 0 , |
а ^ 1. |
|
|
||||
3. |
Логарифмическая функция: у = logax, |
а > 0, а ф |
1. |
|
|||
4. |
Тригонометрические функции: у = sin ж, |
у ~ cos ж, у = |
tgж, |
||||
у = ctg ж. |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Обратные тригонометрические функции: |
у = |
arcsin ж, |
у = |
|||
= arccos ж, у = аг^ж, |
у = arcctgж. |
|
|
|
|
||
Элементарной называется всякая функция, которая может быть по лучена из конечного числа основных элементарных функций с помощью арифметических операций и операции композиции.
Графиком функции у = /(ж) называется множество г = {(X, у) е К2 |ж G D, у = f(x)},
где М2 — множество всех точек плоскости.
На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной систе мой координат Оху график функции представляется множеством точек М(ж, у), координаты которых удовлетворяют соотношению у = /(ж)
(графическое изображение функции).
При построении графиков часто используются следующие простые геометрические рассуждения. Если Г — график функции у = /(ж), то:
1)график функции у\— —/(ж) есть зеркальное отображение Г отно сительно оси Ож;
2)график функции у2 = / ( —ж) — зеркальное отображение Г отно сительно оси Оу;
3)график функции уз = /(ж —а) — смещение Г вдоль оси Ох на величину а;
4)график функции у4 = b -f /(ж) — смещение Г вдоль оси Оу на
величину 6;
5) график функции У5 = f (ах), а > 0, а ф 1, — сжатие в а раз (при а > 1) или растяжение в 1/а раз (при а < 1) Г вдоль оси Ож;
6) график функции уб = bf(ж), 6 > 0, b ф 1, — растяжение в 6 раз (при b > 1) или сжатие в 1/Ь раз (при b < 1) Г вдоль оси Оу.
В некоторых случаях при построении графика функции целесооб разно разбить ее область определения на несколько непересекающихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них.
§ 2. Функции действительной переменной |
23 |
|
Пример 2. Построить график функции у 1x1+ \х2 - II |
|
|
< Раскрывая модули, можем записать: |
|
|
' х2 —х —1, |
x G (-оо, - 1], |
|
-х2 - х 4-1, |
х G (-1, 0], |
|
—x2 + x + 1, |
x G (О, 1], |
|
, x2 + х - 1, |
x G (1, 4-оо). |
|
График заданной функции есть объеди нение графиков (парабол), представля
ющих эту функцию на каждом из че тырех промежутков (рис. 2). >
Следующие элементарные функции записать в виде компози ции основных элементарных функций:
5.164. f(x ) — |ж|.
5.166. f (x) = 2sin2
5.168. f(x ) = sin (2х2).
5.165. f(x) = sin (cos у/х).
5.167. f (x) = arcsin (e^ ).
5.169. f(x) = 1/ ^/tg2 log3 ж.
Для каждой из следующих функций найти ее график:
5.170. у — \/lnsin.T.
<1 Естественная область определения заданной функции есть множество
D = {х |sin х = 1} = | ^+ 2ттк k G }
Поэтому |
|
|
|
г = { ( ! |
+ 2тг/с, o)|fcez}. > |
|
|
5.171. у = x + y/l — |cosec ж|. 5.172. у — \f- |
- 1|+ 2. |
||
.------- |
|
ж |
|
5.173. у = ycosx — 1 + |
|
|
|
5.174. у = 1 + Æ |
+ у/~ sin ж. |
|
|
Построить графики следующих элементарных функций:
5.175. у = кх + Ь, если:
а) к = 2, 6 = 0; б) к — 0, b = —2; в) к — —1, Ь = —1/3.
5.176. у = i/o + °(^ — æo)2i если: а) а = 1, ж0 = 0, у0 = - 1; б) а = 2, Х’о = 1, г/о = 0;
в) а = -1/2, х0 = -2, уо = 3/2.
24 |
|
|
|
Гл. 5. Введение в анализ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.177. у = уо Н------ , если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
х - Жо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) /,: — |
1, |
J.'d = |
1, уо = ~ 1; |
б) к = |
—2, |
жо = |
—1. уо = |
—1/ 2. |
|||||||||
5.178. у ~ а sin (кх + а), если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) а = 1, к = 2, а = 7г/3; |
б) а = |
—2, |
fc = |
1/2, |
а |
= |
—тг/З. |
||||||||||
5.179. |
= |
а tg (&ж + Of), если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) а - 3, fc = 1/3, a = тг/4; |
б) а - -1/2, |
к - |
2, |
« |
= |
Зтг/2. |
|||||||||||
5.180. у — р arcsin (.т + д), если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a) Р = |
4, |
q = -1; б) р = |
-2/3, |
д = 1/2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.181. у = p&vctg (х + д), если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) р = |
—3, |
q = |
5/2; б) р = |
2/5, |
д = |
—6. |
|
|
|
|
|
|
|||||
5.182. у = |
akx+b, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) а = |
2, |
Л = —1, 6 = 1; |
б) а = |
1/ 2, |
к = |
2, |
6 = —2. |
|
|
||||||||
5.183. у = |
loga (&ж + 6), если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) а = |
10, |
к = |
10, 6 = - 1; |
б) а = |
1/ 10, |
к= |
1/ 2, |
6 = |
2. |
||||||||
5.184. у = |
|2 — ж| + |2 + |
|
|
|
ж|. |
|
|
|
5.185. у= |
ж2 + ж |
|||||||
5.186. у = |
ж2 - б|ж| + 9. |
|
5.187. у = |
|6ж2 + ж| - |
1. |
|
|||||||||||
5.188. у = |
(ж2 + 2 . ; : ) ~ |
. |
5.189. у = |
ж - |
1 - |
J |
{ж - |
I)2. |
|||||||||
|
|
|
|
Ж— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.190. ,, = |
|
. |
|
5.191. „ |
= |
j f b |
i . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1, |
х > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0, |
ж = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
- 1, |
ж < 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.193. у = |
[ж], где [ж] — целая часть ж. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.194. у = |
{ж}, где {ж} = ж — [ж] — дробная часть ж. |
|
|||||||||||||||
5.195. у = |
2И |
- 1.5.196. у = (1/3)^+11 |
|
|
+ 2. |
|
|
||||||||||
5.197. у = |
logJ/2 |ж - 3|. |
5.198. у = |
|log2 (ж + 1)|. |
|
|
||||||||||||
5.199. у |
= |
|
arcsin (sin (ж + ^))- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.200. у |
= |
|
arccos (cos Зж). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.201. у |
= |
|
cos ж + |8тж|.5.202.у = |arctg (ж — |
1)|. |
|
||||||||||||
5.203. у |
— |
zsgn (cos ж).5.204. у = |
|
ctg(ж + —) |
|
|
|
||||||||||
§ 3. Предел последовательности действительных чисел |
25 |
На плоскости Оху изобразить множества точек, координаты которых удовлетворяют заданным условиям:
5.207. ху = 0. 5.208. |у| = \х2 - 2\х\- 3|. 5.209. \х\+ |у| = 1. 5.210. |.т + у\+ \х — у\= 1.
5.211. ||ж| — |у|| = 1-
4 5.212. |2у - 1| + |2у + 1| + -=\х\ - 4.
v3
§3. Предел последовательности действительных чисел
1. Понятие последовательности. Последовательностью действител ных чиселназывается функция /: N —> IR, определенная на множестве всех натуральных чисел. Число f(n) называется n-м членом последова
тельности и обозначается символом хп, а формула хп — /(л) называется формулой общего члена последовательности (х7г)пе1Ч-
Написать первые пять членов последовательности:
5.213. хп = 1 + (~1)п-. |
5.214. хп = п(1 - ( - !)“ )• |
п |
|
3п 4- 5 |
л/3 |
5.215. хп — — — -. |
5.216. хи — (— l) n arcsin — -+ тхп. |
О |
£ |
Написать формулу общего члена последовательности:
5.217. |
i - 1 ^ ... |
5.218. 0, 2, 0, 2, ... |
5.220. 1, 0, -3, 0, 5, 0, -7, 0, ...
5.221. |
ч-3,5 |
9 7, . . 9. “ |
|
5.222. 0, |
%/2 1, у/2 0, |
л/2 -1, |
л/2 0, ... |
В задачах 5.223 5.228 требуется найти наибольший (наи меньший) член ограниченной сверху (снизу) последовательности
{%п)п£ N• |
|
|
|
5.223. хп = |
6п - п2 -5. |
5.224. х„ = е10'*-"2-2'1. |
|
5.225. хп = |
9 |
+ п |
5.226. хп = 3п2 - 10п - 14. |
|
|
512 |
п2 |
5.227. xn = |
2n Н--Y - |
5.228. хп= - — . |
|
|
|
71 |
I й |
26 |
Гл. 5. Введение в анализ |
2.Предел последовательности. Число а называется пределом пос
довательности (хп)пещ, т. е. lim хп —а, если для любого е > 0 сущест-
п—>оо
вует номер N(e) такой, что при п > N(e) выполняется неравенство \хп —а\< е. При этом сама последовательность называется сходящейся.
Критерий Коши. Д л я того чтобы последовательность (хп)п^
имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 су ществовал номер N(e) такой, что при п > N(e) выполняется нера
венство |хп+р —хп\< £ для любого р Е N.
Последовательность (хп)п называется бесконечно малой, если
lim .?> = 0.
?}—>00
Последовательность (хп)п^щ называется бесконечно большой (схо
дящейся к бесконечности), что формально записывается в виде lim хп =
п—юо
= оо, если для любого числа Е > 0 существует номер N(E) такой, что
при п > N(E) выполняется неравенство \хп\> Е. Если при этом, начи ная с некоторого номера, все члены последовательности положительны (отрицательны), то используем запись
lim хп = +оо |
( lim хп = —оо). |
n —>00 |
П—¥00 |
Число а называется предельнойточкой последовательности (£n)neN> если для любого е > 0 найдется бесконечное число членов этой последо вательности, удовлетворяющих условию \хп —а\< £.
Принцип Больцано-Вейерштрасса. Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.
Наибольшая (наименьшая) из предельных точек последовательности (xn)neN называется верхним (нижним) пределом этой последовательно
сти и обозначается символом lim хп ( Пт хп).
п—ьсю п—ю о
5.229. Используя логическую символику, записать следующие высказывания, а также их отрицания:
а) последовательность ограничена; б) последовательность монотонно возрастает;
в) число а есть предел последовательности; г) последовательность (жп)пе^бесконечно большая;
д) число а есть предельная точка последовательности.
5.230. Найти а — lim |
хп и определить номер N(e) такой, что |
||
|
п->оо |
|
|
\хп — а\< £ при всех п > |
iV(e), если: |
|
|
|
|
|
л/п 2 _L. f |
а) хп = 0^33^3, € = |
0,001; б) |
-- , е = 0,005; |
|
|
п |
|
|
1 |
'ГГ 71 |
|
1. 1 |
в) хп = - sin — , е = 0,001; г) хп = ^ |
е = 0,005. |
§ 3. |
Предел последовательности действительных чисел |
27 |
|||||||||
Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.231. |
lim |
|
|
5.232. |
lim 5n + |
|
|
|
|||
|
n >oo |
Sn |
|
|
n —>oo 7 — 9 n |
|
|
|
|||
r ooo |
1* |
( ™ + l )2 |
r |
|
|
3n2 — 7 n + l |
|
||||
5.233. |
lim |
— —-— . |
5.234. |
lim -— |
------ |
|
|
||||
|
n->oo |
2 77, |
|
|
n —>oo 2 |
— o n |
— |
|
|
||
roor |
r |
(™ + 2)3 - ( n - 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|||
5.235. |
lim |
~ |
^ ~~ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ti—too95n ö + 39n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.236. |
lim |
2 n - 1 |
1 + 2n3 |
|
|
|
|
|
|
||
V5n + 7 |
2 + 5n3 J |
|
|
|
|
|
|
||||
|
n -¥oo |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
\3 r?4 -1- |
4- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.237. |
lim |
----------- . |
5.238. |
lim |
(Vn + 2 — \/n). |
|
|||||
|
n —>00 |
fl — 1 |
|
|
n —>oo |
|
|
||||
5.239. |
lim |
7Г3/2(\Лг3 + 1 — \/n3 — 2). |
5.240. |
lim 2" + 3" |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n—>00 2n — 3n |
|
5.241. |
lim |
I Дг + Д- + • • • + U |
n 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
n-»oo |
V 77,2 |
n 2 |
|
|
|
|
|
|
||
C |
l- |
l 2 + 22 + . . . +тг2 |
|
|
|
|
V/n 2sin(n2) |
|
|||
5.242. |
lim |
------- 5------ . 5.243. |
|
lim ------ ---- . |
|
||||||
|
n —»oo |
|
72 |
|
|
|
|
n —»oo |
77, — 1 |
|
|
5.244. |
lim |
[ — - + -—- + ... + |
|
|
|
|
|
||||
|
n->oo |
\ 1 • 2 |
2 - 3 |
|
72(77, + 1 ) / |
|
|
||||
5.245. |
lim |
( 7 - 4 |
+ --- + ( - 1)"_ 1^7У |
|
|
||||||
|
n->oo |
у 5 |
25 |
|
|
|
5n ) |
|
|
|
|
5.246. Доказать, что если последовательность (:rn)neN беско нечно малая и V n E N (жп Ф 0), то последовательность (l/#n)neN бесконечно большая.
Установить, какие из заданных последовательностей являются бесконечно большими:
5.247. хп = |
2^*. |
5.248. х„ = |
|
|
7ГТ1 |
|
|
5.249. жп = |
n sin— . |
5.250. xn = |
lg (lgгг), п ^ 2. |
Найти все предельные точки последовательности:
5.251. хп = 77— 7—гг-. |
5.252. xn = cos |
2 - ( - 1 ) п |
4 |
( ~ 1 ) п
5.253. xn = arcsin— -— .
28 |
|
|
|
Гл. 5. |
Введение в анализ |
|
|
|
|||
5.254. Доказать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
И т |
хп + Um уп < |
lim |
(хп + уп) s$ |
lim |
хп + |
lim |
у„; |
|||
|
п—>00 |
|
71—Уоо |
п—>оо |
|
п—Уоо |
|
тг-^оо |
|
||
б) |
lim |
хп + lim уп < |
lim |
(хп + уп) К |
Hm |
хп + |
lim |
уп. |
|||
|
П —>00 |
|
п —>ОС |
71 —»ОО |
|
71—>00 71->00 |
|
||||
Для каждой из следующих последовательностей (xn)nG^найти |
|||||||||||
inf {хп}, sup{:rn}, lim |
.тд и lim Хп, • |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
72—>00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5.255. .тп = |
1 + —. |
5.256. |
= |
— -— cos2 — . |
|
|
|||||
|
|
|
п |
|
|
|
п |
4 |
|
|
|
5.257. жп - |
(—l ) n(2n + 1). |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
п + 2 |
7гп |
|
|
|
2 + (—1)п 1 |
|||
5.258. хп = |
— 1-г sin — |
, гг ^ 2. |
5.259. хп - |
|
---- • |
||||||
|
|
п |
п - 2 |
3 ’ |
|
|
п |
|
2 |
п |
|
5.260. Доказать, что равенство |
Ит хп = |
lim хп является не- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
П—>00 |
71 >00 |
|
|
||
обходимым и достаточным условием существования предела по следовательности (o;n)n£N-
§4. Предел функции. Непрерывность
1.Предел функции. Пусть функция у = /(ж) ипределена на множест D. Число а называют пределом функции у = /(х) в точке хо и пишут
lim /(ж) = а, если для любого е > 0 существует число 6 (e) > 0 такое,
X—
что для любого х £ D из условия 0 < \х—жо| < 6 (e) следует неравенство |f(x) - а\< е.
Критерий Коши. Для того чтобы функция у — f(x) имела предел в точке хо, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О
существовало 6 (e) > 0 такое, -что |/(ж') — /(ж//)| < в, тсак; только \хгхо\ < и \хп —жо| < 5(e).
Говорят, что число а есть предел функции у — }(х) при х, стре
мящемся к бесконечности, и пишут lim /(ж) = а, если для любого
£—>00
£ > 0 существует число А(е) > 0 такое, что |f(x) —а\< £, как только
\х\> Л(е).
В дальнейшем используются следующие замечательные пре делы:
|
|
lim |
— - 1, |
(1) |
|
|
:Г->0 |
X |
|
lim |
( 1 + |
|
= |
lim (1 + х)1^ — е,( |
х-¥оо |
у |
X ) |
а:-»О |
|
где е = 2,71828... — основание натуральных логарифмов.
§ 4. Предел функции. Непрерывность |
|
|
29 |
||||||
Наряду с введенным выше понятием предела функции используют |
|||||||||
также следующее понятие одностороннего предела. |
Число |
а |
назы |
||||||
вают пределом функции у = |
f(x ) |
в точке хо справа (слева) |
и пи |
||||||
шут lim f(x) |
= а |
( |
lim |
f (x) |
= а), |
если для любого е |
> |
0 су- |
|
ж-*.то+0 |
|
|
ж—».то—О |
|
|
|
|
|
|
ществует число |
5(e) |
> |
0 такое, что из |
условия 0 < |
х — хо |
< 6 (e) |
|||
(—5(e) < х —хо < 0) следует \f(x) —a\< е. Аналогично вводится понятие
одностороннего предела на бесконечности ( lim |
f(x) и |
lim |
f(x)). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х—>4-00 |
|
|
х—» —оо |
|||
В задачах 5.261-5.263, пользуясь только определением предела |
||||||||||||||||
функции, |
доказать, что |
lim |
|
f(x) |
= а, и заполнить следующую |
|||||||||||
|
|
|
|
X—>Хо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
од 0,01 |
|
0,001 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
5(e) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж0 = |
2!, |
а =--4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
, |
x0 = 1, |
а = |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
, |
x0 |
-1, |
а = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя логическую символику, записать следующие утвер |
||||||||||||||||
ждения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.264. |
lim f(x ) = оо. |
|
|
5.265.lim |
f(x ) |
= |
—ос. |
|
|
|||||||
|
£—»0 |
|
|
|
|
|
|
|
£-»1—0 |
|
|
|
|
|
||
5.266. |
lim |
f(x ) = |
0. |
|
|
5.267.lim |
/(ж) |
= |
-foe. |
|
|
|||||
|
х —>-fоо |
|
|
|
|
|
|
X—» +оо |
|
|
|
|
|
|
||
5.268. |
lim |
f ( x ) = |
|
0. |
|
|
5.269. |
lim f{x ) = 2. |
|
|
|
|||||
|
£-»+0 |
|
|
|
|
|
|
|
X—»OO |
|
|
|
|
|
|
|
5.270. |
lim |
f(x ) = |
— oo. |
|
5.271. |
lim |
f( x ) = oo. |
|
|
|||||||
|
x—» — oo |
|
|
|
|
|
|
x—» — oo |
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить пределы следующих рациональных выражений: |
||||||||||||||||
5.272. |
lim |
x |
|
|
|
|
|
|
5.273. |
lim |
x2 + 3 |
|
|
|||
|
i£->o»0 Зж2 — 5ж + 1 |
|
|
|
|
|
zx—»3 x2 — 3 |
|
|
|||||||
5.274. |
lim |
x |
|
|
|
|
|
|
5.275. |
|
lim |
|
Ж 2 |
- |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
.т->-з |ж + 3| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v/2 |
+ Ж2 + 1 |
||||
5.276. |
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
5.277. lim |
.X |
2^ + 1 |
|||||
|
»2±0 \2 — ж |
|
|
|
|
|
|
z —»1 |
|
X ö — X |
||||||
5.278. |
X |
|
m, n G N. |
|
г |
|
1- (x + h )3 ~ Ж3 |
|||||||||
lim |
; |
|
|
5.279. lim ----- ------ . |
||||||||||||
|
£—»1 ЖП — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h—»o |
|
|
h |
|
||
5.280. |
lim |
8x3 - 1 |
|
к |
|
|
.• |
x2 — { a + l)x + a |
||||||||
|
|
|
|
|
5.281. |
lim |
— |
|
|
' |
|
|
||||
|
я—»1/2 6x2 — 5ж + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
s3 - a 3 |
|
|
|||||
5.282. |
lim |
X |
|
|
|
X |
|
|
5.283. |
lim |
x |
— Ьх |
||||
2 x2 — 1 |
2 x + 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
X —»OO |
|
|
|
|
x->oo X 2 — За? + 1 |
||||||||||
30 |
|
Гл. 5. |
Введение в анализ |
|
||||
|
^ |
I оО(хI 1+ I )5 + (х + |
‘ f! « ... |
) ! + (х*.(' +| / пС/ /)5 |
||||
5.284. |
l i m ----------- |
|
. |
■------------ |
|
|
, п Е N. |
|
|
z-- |
»oo• - - |
|
Х'}—‘ +• |
7V*-т5 |
|
|
7 |
5.285. lim -„ ...х ............+ 2 |
|
+ |
х — 4 |
|
|
|||
|
х-и Vж2 - 5:г + 4 |
3(.i ° - 3.x- + 2) ) ' |
|
|||||
|
|
Зж2 |
(2 х — 1)(3ж2 + х + 2) |
|
||||
5.286. |
lim . |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
х->оо у 2х + 1 |
|
|
4ж^ |
|
|
||
5.287. Доказать, что если Рп(х) |
= аож" + |
... + а„, Q m (x) = |
||||||
= Ъ0хт + |
... |
+ Ьш, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 0 |
|
при |
п < |
га, |
|
|
|
|
ао/Ьо |
при |
п = |
га, |
|
|
|
Qm(^) |
|
^ос |
|
при |
п > |
га. |
|
|
|
|
|
||||
При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используются следующие приемы: а) введение новой переменной
для получения рационального выражения; б) перевод иррациональности из знаменателя в числитель или наоборот.
|
|
|
|
3 — |
4/х |
|
|
Пример 1. Вычислить lim ---- -=. |
|
|
|||||
<3 Пусть t — |
tfx. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
г 3-^ Е |
г З - f |
г |
1 |
1 |
||
|
lim |
---- т= = lim --- - — lim --- = -. D> |
|||||
|
x—>81 9 —yjX |
i—>3 9 —t |
t—>3 3 "j~t |
6 |
|||
Пример |
2. Вычислить |
lim (y/x2 + 7 —y/x2 —7). |
|||||
<3 lim ( у / x 2 -f 7 - y jx 2 - 7) — |
|
|
|
||||
x—>oo |
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
(yjx2 + 7 - \/x2 - 7)(y/x2 + 7 + Vx2 —7) |
|||||
|
x- |
|
\/x2 + 7 + у/x2 —7 |
|
|||
|
|
|
|
— lim |
t |
14 |
|
|
|
|
|
■— 0. > |
|||
|
|
|
|
|
2-->oo л/х2 + 7 + у х 2 —7 |
||
Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
||
5.288. lim |
3a: ± --/=. |
|
5.289. |
lim |
^ ~ 1 ~ 3-. |
||
z—>00 |
|
|
|
a;->io |
x — 10 |
||
r onn ,• |
|
+ V x - 1 - |
1 |
|
|
|
|
5.290. lim ----- / |
|
■-■-. |
|
|
|
||
|
|
v r - |
1 |
|
|
|
|
5.291. lim -----yjx + h------— yfx, |
x > 0. |
|
|
|
|||
h—>0 ll