Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

Интегрируем:

In \у\= - In I COS х\+ С\,

или

In \ycosx\ = С\.

Для удобства потенцирования полученного равенства представим па­ раметр С\ в логарифмической форме, положив С\ —In \C2\4 С2 ф 0 (при этом С\ принимает все значения от —оо до -foo). Тогда

In |2/cosд:| = In \С2\

и, потенцируя, получаем общий интеграл в виде ycosx = С2, откуда

Заметим теперь, что исходное дифференциальное уравнение имеет, оче­ видно, еще решение у — 0, которое не входит в запись (3), так как С2 ф 0. Введем новый параметр С, принимающий, в отличие от С2, также и нулевое значение. Тогда решение у — 0 войдет в состав общего решения

у= С secx. >

Спомощью подстановки u(x) = ax -f by(x) + d к уравнениям с разде­ ляющимися переменными приводятся и дифференциальные уравнения

вида

10.30.(1 + у2)х dx + (1 + х2) dy = 0.

10.31.xydx + \/1 — х2 dy = 0.

10.32.уе2х dx — (1 + е2х) dy = 0.

10.33.2ех tg у dx + (1 + ех) sec2 ydy = 0.

10.34.(1 + у)(ех dx — е2у dy) — (1 + у2) dy = 0.

10.35.(1 + х2) dy + yyjl + x2 dx — xy dx = 0.

10.36.dy — 2yjy \n xdx = 0.

10.37. у' = cos (x + y). 10.38. yr

10.39. у' = (4х + у + I ) 2. 10.40. у' = sin (у — х — 1). 10.41. у1+ 2у = Зх + 5. 10.42. у' = \/(4х — у + I ) 2.

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указан­ ным начальным условиям:

10.43.(1 + у2) (1х — хус1у = 0; у(1) = 0.

10.44.(ху2 + х)йу + (х2у — у)(1х = 0; у(1) = 1.

4. Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го п рядка называется однородным, если его можно привести к виду

= tkN (x, у) тождественно относительно ж, у и t ф 0.

С помощью подстановки у/х — и(х) однородные уравнения (4) и (5) преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными.

новки в исходное уравнение дает уравнение с разделяющимися перемен­

4 (2 + 1 ) = Сг-

Получаем общее решение:

7Г

и = 2arctg Сх - —4- 27гп, п €

Поскольку здесь clx — du, dy ~ dv, то уравнение (G) преобразуется к виду (4) относительно функции г;(гг):

называется линейным, если оно содержит у и у1в первой степени, т. е. имеет вид

При Q(x) = 0 уравнение (7) принимает вид

у1= Р(х)у

и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разде­

где С — произвольная постоянная, a J Р(х) dx — одна из первообразных функции Р(х).

< Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим сначала соответ­ ствующее однородное линейное уравнение

у' = у ctg я.

Его общее решение у — С sin х. Следовательно, общее решение исходного уравнения ищем в виде у = С(х) sin х. Подставляем ywy' — С' (х) sin х 4-

4- С(х) cosx в данное уравнение:

С' (х) sin х -f С{х) cos х = ctg х ■С(х) sin х 4- sin :г,

откуда С' (х) = 1, и тогда С{х) = х 4-С. Следовательно, общее решение уравнения есть у = (х 4-С) sin а;. >

У2

Пример 9. Решить уравнение у' = ------. 2ху 4- 3

< Перепишем уравнение в виде

dx 2х 3 dy у у2

dx

и заметим, что оно линейно относительно х и — . Решим его методом dy

подстановки.

Положим х = uv и приведем уравнение к виду

Найдем функцию щ(у), решая уравнение

du 2и dy у

и выбирая из его общего решения и — у2 4- С одно частное решение, например, и\(у) = у2. Подставляя и\(у) в уравнение (12), получим:

Общее решение этого уравнения:

ь(у, С) = С - 1 .

У6

Перемножая и\(у) и г;(у, (7), получаем общее решение данного урав­ нения:

х = С?/2 - -. >

У

10.70. (1 + x2)yf — 2xy + (1 + х2)2.

10.75.(1 + у2) dx — (arctg у — ж) dy.

10.76.жу' = у + ж2 cos .т. 10.77. хл] — ех + ху.

10.78.ху' + ж2 + ху — у. 10.79. у + у' In2 у = (ж + 2 In у)у'.

10.80.у — у1— у2 + ху'. 10.81. (ж + 2у3)у' = у.

10.82\y' + tgy = — . cos у

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие задан­ ным начальным условиям:

10.83. у' + у tgж = —-— ; у(0) = 0. cos ж

6. Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется дифф ренциальное уравнение 1-го порядка вида

Так же как и линейное, уравнение Бернулли можно проинтегриро­ вать с помощью подстановки у = uv или свести к линейному уравнению

с помощью подстановки z = ?/~m. Следует учесть, что при т > 1 может быть потеряно решение у —0.

Пример 10. Решить уравнение

, у х2

У* - - + — •

X у

< Полагая у — uv, приводим уравнение к виду

10.95. ydx + ( х — ~xsy ) dy = 0; у ( ~ ) = 1.

7. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальное ура нение I-го порядка вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U(x, у), т.е.

>=£•

Для того чтобы уравнение (15) было уравнением в полных диффе­ ренциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

что произвольная постоянная в этом случае можетзависеть от у, имеем

находим функцию ip{y), подставив которую в (17), получим функцию

U(х, у).

Очевидно, что искомая функция U(x, у) определена с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Для записи общего интеграла исходного уравнения достаточно выбрать одну из функций получаемого семейства.

Другой метод отыскания функции II(ж, у) состоит в вычислении кри­ волинейного интеграла 2-го рода:

(*о,Уо)

где точки Мо(о;о, уо) и М(х, у) и путь интегрирования лежат в области непрерывности функций Р(ж, у) и <Э(ж, у) и их частных производных, причем Мо(хо, Уо) — некоторая фиксированная точка.

Пример 12. Решить уравнение

— с1х + (у3 + 1пх) с1у = О,

х

предварительно убедившись, что это есть уравнение в полных диффе­ ренциалах.

< Проверим условие (16):

Условие (16) выполнено, следовательно, заданное уравнение есть урав­ нение в полных дифференциалах.

Найдем функцию и(х, у).

Первый способ. Интегрируя по х при постоянном у равенство

Заметим, что при вычислении первообразной мы здесь пишем 1пж, а не 1п|ж|, так как исходное уравнение содержит \пх и, следовательно, имеет смысл лишь при х > 0.

Подставляя (18) в равенство

имеем

1па: + <р\у) = у3 + 1пх.