Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

Если интеграл (6) сходится равномерно в промежутке [у\, 2/2], то он представляет собой непрерывную функцию аргумента у в этом проме­ жутке.

Аналогично определяется равномерная сходимость несобственного интеграла от неограниченной функции, зависящего от параметра.

При исследовании равномерной сходимости интегралов, зависящих от параметра, часто используется следующее утверждение:

Критерий Вейерштрасса. Для равномерной сходимости ин­ теграла (6) достаточно, чтобы существовала такая функция Р(я), не зависящая от параметра у, что:

а) \1{х, У)I ^Р{х), если а ^х < +оо,

+ ос

С\х < +00.

Функция ¥{х) называется мажорантой для /(х, у).

Пример 4. Доказать равномерную сходимость следующего инте­ грала:

что и доказывает, согласно определению, равномерную сходимость ука­ занного интеграла по параметру у на всей оси. >

Пример 5. Установить равномерную сходимость интеграла

4-оо

/ е ху со$х(1х, 0 < уо ^у < +оо.

<3 Покажем, что функцию Р(х) = е ху° можно взять в качестве мажо­ ранты. Действительно, если у > уо, то

\е-хусо*х\ <е~ху <е -ХУО

Г л а в а 10

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1. Уравнения 1-го порядка

1.Основные понятия. Функциональное уравнение

связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию

у(х) и ее производную у’(х), называется дифференциальным уравнением

1 -го порядка.

Решением (частным решением) уравнения (1) или (2) на интер­

его в тождество относительно х € (а, Ь). Уравнение Ф(х, у) = 0, опре­ деляющее это решение как неявную функцию, называется интегралом (частным интегралом) дифференциального уравнения. На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат урав­ нение Ф(х, у) = 0 определяет некоторую кривую, которая называется интегральной кривой дифференциального уравнения.

Функция у = <р(х, С) называется общим решением уравнения (1)

или (2), если при любом допустимом значении параметра С она является частным решением этого уравнения и, кроме того, любое его частное решение может быть представлено в виде у = <р(ат, Со) при некотором

значении Со параметра С. Уравнение Ф(х, ?/, С) = 0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

на 1 и а: и сложив полученные выражения, получим ху1+ у = cos я. >

Пример 2. Показать, что функция у = Сх3, С € R, является решением дифференциального уравнения ху1—Зу — 0. Найти частное

решение, удовлетворяющее условию у(1) = 1. (Найти интегральную кривую, проходящую через точку М0(1, 1).)

О Найдя у1— 3Сх2 и подставив выражения у и у' в дифференциальное уравнение, при любом значении С получим тождество 3Сх3—3Сх3 = 0.

Это означает, что функция у — Сх3 является решением дифференци­ ального уравнения. Положив х — 1, у — 1, найдем значение параметра

С — 1 и, таким образом, получим искомое частное решение у — х3. Иначе говоря, интегральной кривой, проходящей через точку Мо(1, 1),

является кубическая парабола у — х3. > Пусть задано уравнение

Ф(ж, у, С) = 0,

определяющее на плоскости некоторое семейство кривых, зависящих от значений параметра С. Если составить систему двух уравнений

Ф(х, у, С) = о, Ф/я(ж,г/,с) = о,

то, исключая из этой системы параметр С, получим, вообще говоря, диф­ ференциальное уравнение заданного семейства кривых.

Пример 3. Найти дифференциальное уравнение семейства окруж­ ностей х2 + у2 = 2ах.

<3 Имеем систему уравнений

х2 + у2 = 2ах, 2х 4-2уу1= 2а.

Исключаем параметр а. Из второго уравнения находим а = .т + уу1 и, подставляя это выражение в первое уравнение, получаем х2 + у2 —

— 2х{х + уу'), т.е. у2 —х2 = 2хуу'. Это и есть искомое дифференциаль­ ное уравнение. >

Показать, что при любом действительном значении параметра С заданные выражения определяют решения соответствующих дифференциальных уравнений:

10.1. у = х (С — 1п |ж|), (х — у) (1х + х (1у = 0.

х

10А „ - « ( / ! « ■ * + с ) , .ту' - у = хе*.

0 10.3. 2ж + у — 1 = Се2*'-1, (2ж + у + 1) <1х — (Ах + 2у — 2>) (1у = 0.

В заданном семействе выделить уравнение кривой, удовлетво­ ряющей приведенному начальному условию.

10.4.у(1п|х2 - 1|+ С) - 1, у{0) = 1.

10.5.у{1 - Сж) = 1, у(1) = 0,5.

10.6.у = 2 + С сое х , у(О) = —1.

10.7.Написать уравнение, которому удовлетворяют все точки экстремума интегральных кривых дифференциального уравнения уг— /(х , у). Как отличить точки максимума от точек минимума?

10.8. Написать уравнение, которому удовлетворяют все точки перегиба интегральных кривых дифференциального уравнения у ' = у ) и, в частности, дифференциальных уравнений:

а) У' — У + •7;3; б) у1— еу — х.

Составить дифференциальное уравнение семейств кривых:

10.9.Парабол у = х2 + 2ах.

10.10.Гипербол у = а/х.

10.11.Цепных линий у = асЬя.

10.12.Гипербол х2 — у2 = 2ах.

10.13.Составить дифференциальное уравнение семейства кри­ вых, у которых отрезок любой нормали, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

10.14.Составить дифференциальное уравнение семейства кри­

вых, у которых отрезок любой касательной, заключенный между осями координат, делится точкой касания М(,х, у) в отношении

\АМ\ : \МВ\ = 2 : 1, где А — точка пересечения касательной с осью Оу, В — с осью Ох.

10.15. Составить дифференциальное уравнение семейства кри­ вых, у которых площадь, заключенная между осями координат, этой кривой и переменной ординатой, пропорциональна четвертой степени этой ординаты.

2. Графический метод построения интегральных кривых (метод из

клин). Дифференциальное уравнение у1— /(х, у) в плоскости с фикси­ рованной декартовой прямоугольной системой координат Оху определяет поле направлений равенством tga; = /(х, у).

Изоклиной уравнения (поля направлений) называется всякая кри­ вая, определяемая уравнением

/(.т, у) = к

при фиксированном к.

Для приближенного (графического) решения уравнения у' = /(х, у)

построим на плоскости изоклины для нескольких значений к. Пусть Мо(жо, уо) — некоторая начальная точка. Изоклина Ьо, проходящая че­

рез эту точку, соответствует значению /с, равному ко = /(^о, уо)- Прове­ дем отрезок М0М\ с угловым коэффициентом &о до пересечения в точке М\ с ближайшей изоклиной Ь\ (тем самым мы заменим дугу инте­

гральной кривой отрезком ее касательной). Далее, из точки М\(х\, у\)

проведем новый отрезок М\Мч с угловым коэффициентом к\— /(хх, у\) до пересечения в точке М2 со следующей изоклиной Ь 2 и т.д.

В результате такого построения мы получим ломаную, являющуюся приближенным изображением интегральной кривой, проходящей через начальную точку Мо. Чем гуьце взята сеть изоклин, тем более точно можно изобразить интегральную кривую.

Изменяя положение начальной точки Мо, аналогично можно постро­ ить приближенно и другие интегральные кривые.

Пример 4. Методом изоклин построить интегральную кривую урав­ нения у' = 2х, проходящую через начало координат.

О Изоклины данного уравнения — параллельные прямые 2х = к. По­ лагая к — 0, ±1, ±2, ±3, ..., получаем изоклины х = О, х — ±1/2,

х = ±1, х ~ ±3/2 и т.д. Построим их (рис. 49).

Отправляясь из начала координат влево и вправо, строим ломаную

.. .М-зМ-гМ-хМоМхМгМз..., звенья которой имеют угловые коэффи­

циенты соответственно ..., —2, —1, 0, 0, 1, 2, ... Эта ломаная и есть приближенное изображение интегральной кривой.

Рекомендуем читателю построить график соответствующего частного решения у = х2 и сравнить его с построенной ломаной. >

Методом изоклин построить приближенно семейство инте­ гральных кривых следующих дифференциальных уравнений:

3. Уравнения с разделяющимися переменными. Пусть в уравнении

У' = /(я, У)

функция /(х, у) может быть разложена на множители, каждый из кото­

рых зависит только от одной переменной: /(х, у) = /i (х*)/2(?/), или в уравнении

М(х, у) dx 4-N(x, у) dy = 0

коэффициенты при dx и dy могут быть представлены в виде М (.г, у) = = М\{х)М2(у), N(x, у) — Ni(x)N2{y)> Путем деления на /2(у) и на

И\(х)М2(у) соответственно эти уравнения приводятся к виду

(уравнения с разделенными переменными). Интегрируя левые части этих уравнений по я, а правые по 2/, приходим в каждом из них к общему интегралу исходного дифференциального уравнения.

Пример 5. Решить уравнение

ей/ 2х (1х 3у2 4-1

<3 Разделяем переменные:

(3у2 4-1)= 2х<1х.

Интегрируем:

I (3у2 + 1)йу = ! 2х дх 4-С,

или

у3 + у - X2 = С (общий интеграл уравнения). >

Если в уравнении с разделяющимися переменными у1= /\(х)/2 {у) функция /2(у) имеет действительный корень уо, т. е. если / 2(2/0) = 0, то функция у(х) = уо является решением уравнения (в чем легко убе­ диться непосредственной подстановкой). При делении обеих частей этого

уравнения на /2(у) (при разделении переменных) решение у(х) — уо может быть потеряно.

Аналогично, при интегрировании уравнения М\(х)М2{у) (1х 4- 4-А^1(х)Л^2{у) (1у = 0 могут быть потеряны интегральные кривые х(у) = = хо и у(х) = 2/0, где Хо — действительный корень уравнения Л^х) = 0,

2/о — действительный корень уравнения М2(у) = 0.

Поэтому, получив указанным выше методом разделения переменных общий интеграл уравнения, надо проверить, входят ли в его состав (при

подходящих числовых значениях параметра С) упомянутые решения. Если входят, то потери решений нет. Если не входят, то в окончательном ответе кроме общего интеграла следует указать и эти решения.

Пример б. Решить уравнение

с1у

- = „ * е х.

<3 Разделяем переменные:

— = tg хс1х.

У