Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

.pdf

Скачиваний:

3297

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

8.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4427 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

§ 2. Тройной интегра./!

261

Пример 4. Найти координаты центра масс полушара х2 Л-у2 Л-г2 ^

^ Е 2, 2 ^О, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоя нию от точки до центра.

< Имеем 7(я, ?/, г) = ку/х2 у2 4- и, вследствие симметрии, х — у — = 0. Вычисления проведем в сферических координатах:

Т		71
2тт	тг/2		Я
0	0		о
Т	Тх
	2тг	7г/2	Я
	0	0	00

9.130. Найти объем тела, ограниченного поверхностями г —

— х2 + у2, г — 2(х2 + у2), у = х, у2 = х.

9.131*. При каком значении а объем тела, ограниченного по

верхностями х1 + у2 — аг, х2 + у2 = а х , г = 0, равен данному числу V ?

9.132*. Найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхно стью (х2 + у2 + г2)2 = 2ахуг (а > 0).

9.133*. Найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью

9.134*. Найти объем тела, ограниченного сферой х2 + у2 + г2 = = 4а2 и параболоидом х2 + у2 = Зах (внутри параболоида).

9.135*. Найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхно стью (х2 + у2 + £2)2 = а3г (а > 0).

9.136. Найти массу и среднюю плотность тела, ограниченно поверхностями х2 Л-у2 — г2 = а2, г — 0, г = а > 0, если плотность

262 Гл. 9. Кратные интегралы

в каждой точке пропорциональна аппликате г и в плоскости г = а равна 70.

9.137. Найти массу и среднюю плотность кругового конуса с ра диусом основания /? и высотой Н , если плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния от точки до плоскости, про ходящей через вершину конуса параллельно плоскости основания, и в центре основания равна 70.

9.138. Найти массу и среднюю плотность тела, ограниченного

поверхностями х2 — у2 = аг, х2+у2 = а2, г — 0 [г > 0), если плот ность в каждой точке пропорциональна аппликате г, а наибольшее значение плотности 70.

9.139. Найти массу и среднюю плотность сферического слоя между поверхностями х2 + у2 + г2 = а2 и х2 + у2 + х2 = 4а2, если плотность в каждой точке пропорциональна квадрату рассто яния от точки до начала координат, а наибольшее значение плот ности 7о.

9.140. Найти массу и среднюю плотность сегмента параболоида вращения с радиусом основания К и высотой Н , если плотность в каждой точке пропорциональна корню квадратному из расстояния от точки до плоскости основания сегмента и в вершине сегмента равна 7о.

9.141. Найти массу и среднюю плотность шара радиуса если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от точки до одного из диаметров шара и на окружности большого круга, лежащего в плоскости, перпендикулярной к этому диаме тру, равна 70.

9.142. Найти координаты центра масс однородного тела, огра

ниченного поверхностями г = ~^{у2 — х2), г = 0, у = а, у — 0

(а > 0, /г > 0).

9.143. Найти координаты центра масс однородного тела, огра

ниченного поверхностями у =	—цх2, г =	— (6 — у),	г — 0 (а >	0,
	а г	о
Ъ> 0, Л > 0).
9.144. Найти координаты центра масс однородного тела, огра-
	ц
ниченного поверхностями г =	~^{х2 + у2), г = Н .
9.145. Найти координаты центра масс однородного тела, огра
	ду
ниченного поверхностями г = — у/х2 + у2, г =			Н (Н >	0,

Д >0) .

9.146. Найти координаты центра масс полушара х2+ у2 + г2 ^ ^ 7?2, г ^ 0, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от точки до начала координат.

§ 3. Несобственные кратные интегралы	263
9.147. Найти момент инерции относительно оси Ох однород-
ного тела плотности 7 , ограниченного поверхностями у =	Ь 2
	— х ,

а г

х = 0, £ — —(Ъ — у) (а > О, Ь > О, Н > 0).

9.148. Найти момент инерции однородного сегмента параболо ида вращения плотности 7 с радиусом основания Я и высотой Н относительно его оси вращения.

9.149. Найти момент инерции шара радиуса 7? относительно его диаметра, если плотность в каждой точке пропорциональна рас стоянию от точки до центра шара, а на поверхности шара равна 70.

9.150**. Найти ньютонов потенциал II однородного тела плот-

х2 -Ь у2	х2
ности 7, ограниченного эллипсоидом вращения :------- Ь — = 1,
сг	Ь1
в его центре (Ь > а).
9.151**. Найти силу притяжения, оказываемого однородным
конусом плотности 7 , высоты Н и радиуса основания Л	на ма

териальную точку, расположенную в его вершине и содержащую единицу массы.

9.152. Найти момент инерции относительно оси Ох однород-

ного тела плотности 7 , ограниченного поверхностями г = — х

а1

х ( у 2 - х 2), г = 0, у = ±а.

9.153. Найти момент инерции однородного кругового конуса плотности 7 с радиусом основания Я и высотой Н относительно его оси.

§3, Несобственные кратные интегралы

1.Интеграл по бесконечной области. Если функция /(ж, у) неп рывна в бесконечной области G, то, по определению,

Jj fix, у) dx dy = ^imGJj f{x, y) dx dy,		(1)
G	D
где D — конечная область, целиком лежащая в области G, причем D		G

означает, что область D расширяется произвольным образом так, чтобы в нее вошла и осталась в ней любая точка области G (исчерпывающее

расширение). Если существует конечный предел (1), не зависящий от выбора подобласти D и способа расширения D —> G, то несобствен

ный интеграл JJ /(х, y)dxdy называется сходящимся, в противном

случае — расходящимся.

264	Гл. 9. Кратные интегралы

Аналогично определяется тройной интеграл по бесконечной области. Если /(гг, у) ^ 0, то для сходимости несобственного интеграла

необходимо и достаточно, чтобы предел (1) су ществовал хотя бы для одного исчерпывающего расширения области С.

Пример 1. Вычислить несобственный инте грал

f f

dxdy

J J

х4 + у2’

где С? — область, определяемая неравенствами

Рис.. 48

х ^ 1, у ^х2.

< Подобласть И (рис. 48) зададим неравенствами

1 ^ х ^ а, х2 ^ у ^Ь, где а -» +оо, b -» - fo o .

Тогда:

dx dy

lim

f f

dxdy

4 -f у2

X4 + y2

D->G J J

a—>-foo

Jl dxJ 174

= a—>-foo J/

(\•*'i arctgi^

dx =

b—>-foo

Ж2

r*^У

6—>-foo

lim

(

lim

( arctg

\) )

^dx = j

lim / =

a—>-foo J

X1 \b-¥-foo \

4 a—>-foo J

( - 1

7Г

= T >

4 a—>-foo V

Вычислить несобственные интегралы:

г г dx dy

9.154.

/ /

-г- f, где G — область, определяемая неравенства-

хьу6

МИ X ^ 1,

х у

^ 1.

г г

dx dy

9.155.

/ /

т-5-- где G — область, определяемая неравен-

(ж2 + У2Г

ством ж2 + у2 ^ 1 (внешность круга).

f f f

dxdy dz

9.156.

/ / /

— z--- т>тт.гг,

где T

—

область,

определяемая

777

(ж2 + у2 + ^ г

неравенством х2 + у2 + z2 ^ 1 (внешность шара).

§ 3.		Несобственные кратные интегралы		265
+оо		4-00	4-00
9.157. /	dx I		dy I e-(*+y+z) dz
О	О	О

Исследовать сходимость несобственных интегралов:

3.158. J J sin (x2 + у2) dxdy, где G — область, определяемая

9.159. / /	- —	---■^7—, где G — область, определяемая не-
J J	(1 + .T“ + ? /)Q

равенством x2 + у2 ^ 1 (внешность круга).

2. Интеграл от разрывной функции. Пусть функция f(x, у) непр рывна в ограниченной замкнутой области G всюду, за исключением

точки Ро(:го, Уо) (или линии L). Если существует конечный предел

к / / f(x, у) dx dy,

где — область, получаемая из С? путем удаления произвольной окрест ности точки Ро с диаметром, меньшим е (соответственно произвольной

окрестности линии Ь с «шириной», меньшей е), то этот предел называ ется несобственным интегралом от функции /(ж, у) по области С? и

обозначается через / / }{х, у) dxdy, т. е.

I j }{х, у) dx dy =	lim JJ f(x, у) dx dy.	(2)
G	Gc
Интеграл (2) в этом случае	называется сходящимся. Если	же

lim JJ f(x, у) dxdy не существует или равен оо,	то JJ f(x , у) dxdy
G £	G

называется расходящимся.

Аналогично определяется тройной интеграл от разрывной функции. Пример 2. Исследовать сходимость несобственного интеграла

dxdy	.	_	x	о	+ у	2^-1
J J (х2 + у2)а	а > 0,	где G — круг	x		+ у	^ 1.
J J (х2 + у2)а

266	Гл. 9. Кратные интегралы

<3 Начало координат является точкой разрыва функции 1/(х2 4-у2)а . Удалим из (7 £-окрестность начала координат (подынтегральная функ ция положительна). Тогда область С е есть кольцо между окружностями радиусов £ и 1. Перейдем к полярным координатам (Г — полярный образ области (7):

Г Г

Лх(1у

_ ГГ г Лг(1ф

(х2 +у2)« ~ ] }

При а ф 1 имеем

2тг

2а с/г

Г£

г 2(1

- а )

0/1

(

7Г

при а < 1,

= 27г Нш

— 7г

1 - е2^1

---

1пп

— ------ — <

1 —а

а ^

>+о 2(1 - а)

е->+о

1 —а

ПрИ

При а = 1 имеем:

27Г

Г[ (1г(1ф

[ с1г

/ /

----= пт

аю I

— = 27Г

пт

1п 7'

= 4-оо.

у,/

5 -> + 0

е->+0

Итак, при а < 1 интеграл сходится и равен 7г/(1 —а). >

Вычислить несобственные интегралы:

9.160. I I	, ГДС	— квадрат 0 ^ж ^ 1,	0 ^ у ^ 1.
с
9 ‘ 1 6 1 ‘ II		г д е с — к р у г ж 2 + 2/2	^	1-
Ст
9.162. / /	1п —	с1х с1у, где С — круг х2 + у2 ^ 1.
.//	у/х2 + у2
С
Исследовать сходимость несобственных интегралов:
9.163*. I	I ——	где О — треугольник		0 ^ х ^ 1,

)Л 6 4 ’ / / / (зг ^ у У г 2)» ’ ГДС Т ~ Ш8Р х2 + у2 + г 2 ^ Ь

§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра

267

§4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра

1.Собственные интегралы, зависящие от параметра. Если функц

/(я, у) определена и непрерывна в прямоугольнике а х ^ А ^у ^ ^В, то интеграл

а )

называется интегралом, зависящим от параметра, и является непре рывной в промежутке [А, В] функцией.

Интеграл более общего вида

'Ф(у)

(2)

также называется интегралом, зависящим от параметра, и является непрерывной функцией аргумента у в промежутке [А, В ], если /(ж, у)

непрерывна в прямоугольнике

А ^ ^

ф(у) и гр(у) не

прерывны при у £ [А, В] и их значения содержатся в промежутке [а, Ь]. Пример 1. Вычислить предел

1+ 2/

Иш

у—>о

<3 Рассмотрим следующий интеграл, зависящий от параметра у:

1+ 2/

—(1+1/)

Так как пределы интегрирования, а также подынтегральная функция непрерывны при любых значениях своих аргументов, то Р(у) — непре рывная функция. Поэтому

Если /(ж, у) и / у(х, у) непрерывны в прямоугольнике а ^ х ^ 6, А ^у ^ то для интеграла (1) справедлива формула дифференциро вания под знаком интеграла (формула Лейбница):

6		ь
Р'(у) = ^	Лх = /	2/) йх-	(3)

аа

268	Гл. 9. Кратные интегралы

Если в (2) при тех же условиях на / и /' пределы интегрирования (р(у) и гр(у) дифференцируемы при у Е (А, Б), то верна формула:

4«) = ^ J f(x,y)dx =

¥>(у)

Ф(у)

= /(Ф{у), у)Ф'(у) - /М у ), 2/ У Ы + I fy(x>2/) <&• (4) <р(у)

Пример 2. Найти F l(y), если

c o s у

F(y) = J ev'/r=*Idx.

s in у

<3 Так как подынтегральная функция еу^1~х2, непрерывна в облас ти определения вместе со своей частной производной по у, равной

у/1 - х2еууД~х\ а пределы интегрирования являются также дифферен цируемыми функциями, то можно воспользоваться формулой (4):

c o s	у
F\y) = -evn/ 1~cos2 у sin у - еу 'J1~sin2 vcos у + J	y/l x2eyVT^ dx _
sin у
c o s у
= -(e»\|8ln 1,1sin»+ eBl008*1 cosy) + J	\Л - x2eyv/Tr?rcbc. О
sin у

Если /(ж, у) непрерывна в прямоугольнике а ^.т ^6, Л ^у ^В, то для интеграла (1) справедлива формула интегрирования по параметру

упод знаком интеграла:

в6

j F M d y ^	J c k j j n * ,		S)<b = f	dx / /(ж, 2/) dy.	(5)
А	А	а	а	А

/о

<3 Заметим, что о

1%Ь _

—;-----dx ( Ь > а > 0).

In х

1 ^ - = J xvdy-

§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра

269

Тогда искомый интеграл принимает вид

/ ~ i^f~ dx = / dx/ x'Jdy'

О0 a

Подынтегральная функция /(ж, у) = ху непрерывна в прямоугольнике

О ^я ^ 1,			поэтому можно воспользоваться формулой (5)
1	6			6	1
/О	dx [ ху dy ~ [ dy [ ху dx =						[ ---- dy = ln	. t>
	У		/		У		У У + 1	a + 1
	а		а		О
Вычислить следующие пределы:
	2
9.165. lim /		ж3 cos xydx.				9.166. lim / v/x*4 + у2 dx.
	v-*oJ				*		г/->о/
	l	XQ
9.167. lim i		j	(/(ж + /г) — /(ж)) cfa, если /(.т)					непрерывна		на
	/г—>0 h У
		о
отрезке	[а, Ь] (а < 0 <				XQ < b) и / ( 0) = 0.
Продифференцировать функции:
			у				9.169. F{s) =	у+1
9.168. Ffo)		=	j			dx.	9.169. F{s) =	/ ^	dx.
									dx.
			о					у- 1
			2/2				2/
9.170. F(y) =			J е		ух'2dx.	9.171. F(y) = J (х — у) sin .ту dx.
			у				о
							ху
9.172. Найти F"y, если F(x, у) = J (х — yt)f(t) dt, где /(f)										—

х/у

дифференцируемая функция.

9.173. Пусть /(ж) — дважды дифференцируемая и F(x) — диф ференцируемая функции. Доказать, что функция

х+а£

<) = ^ (/(ж - ° 0 + f{x + at)) + ^ J F(y)dy x —at

d2u	д2и
удовлетворяет уравнению колебания струны	= а2^-^-.

270	Гл. 9. Кратные интегралы

9.174*. Найти производные от полных эллиптических инте гралов

		7г / 2	\j\ — к2sin2 ip dip,
Е(к)	—	J	\j\ — к2sin2 ip dip,
		о	(0 < к < 1)
		7г / 2	(0 < к < 1)
		7г / 2
m	-	/	i t - A:2 sin ip
		о

и выразить их через функции Е[к) и F(k).

Применяя интегрирование под знаком интеграла, вычислить

интегралы:

9.175. / sin [ In —^г— (х2 — 1) dx. х J In ж

9.176. J cos ( In — |7— (x — 1) dx. x J In ж

9.177. Доказать формулы:

а) J F{x)xdx = E { k ) - { l - k z)F{k),

б) ^ E(x)xdx = ^((1 + к2)Е(к) — (1 — к2)Р(к )),

где .Е(А;) и -Р(/г) — полные эллиптические интегралы (см. задачу 9.174).

2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобств ный интеграл, зависящий от параметра у, т. е.

+оо
П у) ■ / f(x, у) dx,	(6)
где функция /(х, у) непрерывна в области а ^ х <	Н-оо, у\ ^ у ^

^ 2/2, называется равномерно сходящимся в промежутке [у\, ^2], если для любого е > 0 существует такое В = В(е), что при всяком Ь ^В(е)

+оо

J fix, у) dx

при любом У Е [у1, J/г]-

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 4427 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебник по математике Ч2

#
23.02.2015201 б48Прочтите это!.txt
#
23.02.20158.57 Mб3297Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с.pdf