Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

.pdf

Скачиваний:

3297

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

8.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4426 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

§ 1. Двойной интегра.!	251
9.72. Найти полную поверхность тела, ограниченного цилинд
рами х2 = ay, z1 = ау и плоскостью у = 2а	(а > 0).
9.73. Найти площадь части поверхности конуса х2 + z2 = у2,
вырезаемой плоскостями х = 0, х + у = 2а,	у = 0.

9.74. Найти площадь части поверхности цилиндра х2 + у2 —

=2а.т, вырезаемой цилиндром z2 = 2а(2а — х).

9.75.Найти площадь части сферы х 2+y2 + z2 — 2 а2, заключен ной внутри конуса х2 + у2 = z2.

9.76.Найти площадь части поверхности параболоида £ = х2 —

— у2, заключенной между параболоидами z = Зх2 + у2 — 2 и £ =

—Зх2 + у2 — 4.

9.77.Найти площадь части сферы x2+y2+z2 = а 2, вырезаемой цилиндром с образующими, параллельными оси O z , направляю щей которого служит трехлепестковая роза г = asin3<p.

9.78.Найти площадь части винтовой поверхности z =aarctg —,

х'

вырезаемой цилиндром .т2 + у2 — а2.

9.79. Найти площадь части сферы х2 + у2 + z2 = 1, располо-

л/З

женной между плоскостями £ = — у и £ = у (z ^ 0, у ^ 0).

9.80.Найти площадь части поверхности конуса х2 + у2 = z2, вырезаемой цилиндром с образующими, параллельными оси Oz, направляющей которого служит кардиоида г = а(1 + cos ф).

9.81.Найти площадь части сферы x2+y2+z2 = а 2, вырезаемой из нее цилиндром (х2 + у2)2 — а2(х2 — у2).

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:

м * . 4 + £ = 1 , 4 + £ - 1 « » о ) .
a1	bl	a1		b'
9.83*. z2 — х2 — a2, z2 — у2 = а 2, £ =						а\/2 (а >	0).
9.84. у =	ж2, z — у,		z + у = 2.
9.85. х2 — у2 =		2а£,	.т2 + у2		= а2, z	= 0 (внутри цилиндра;
а > 0).
9.86. ж2 + у2 - 2^2 — - а 2, 2(х2 + у2) - z2 = а 2							(а > 0).
				2	2	(а > 0, 6 > 0, с > 0).
9.87. 2 = се-(*2/а2+у2/ь2)				^	+ т. = 1	(а > 0, 6 > 0, с > 0).
				а2	о1
9.88. ж2 + у2 =		£2, х*2 + у2 — 2z2 = —а 2 (а > 0).

252			Гл. 9. Кратные интегралы
2	V	2	2	,	2	у	2
х*	V		г*	,	аг	у		(внутри конуса; а > О,
9-89* ^2 +^2 + ^				= !> ^ + ^2				(внутри конуса; а > О,
9-89* ^2 +^2 + ^				= !> ^ + ^2
Ь > О, с > 0).
9.90*. г — ху,			ху — 1,		ху = 2, у2 — ж,			у2 = За;.
9.91*. г =	.т2 + у2,			ху	— 1,	ху — 2,		у = х, у = 2х, г — О
(ж > 0, у > 0).

Механические приложения. Если пластинка занимает об ласть С плоскости Оху и имеет переменную поверхностную плотность

7 = 7 ( ж , у), то масса М пластинки и ее статические моменты М х и М у относительно осей Ох и Оу выражаются двойными интегралами

(12)

М,У ~ I I х^(х, у) (1х (1у.

Координаты центра масс х и у пластинки определяются следующим образом:

	ГГх'у(х, у) (1хс1у			/ / УУ(х, У) йх<1у
М У _	°	- = М *		о	(13)
М У _	°	- = М *			(13)
М	f f у(х, у)(1хс1у ’	У	М	//70с, у)Лхйу

Моменты инерции пластинки относительно осей Ох и Оу соответ ственно равны

■ -// у27 (.т, у)(1х(1у,
в		(14)
у=Ц х2ф,
	у)йх<1у,

а момент инерции пластинки относительно начала координат (полярный момент инер

ции) равен

1° = ^ {х2 + У2)1 (х, у) (1х*у = 1х + 1у.

Рис. 44

(15) Если пластинка однородна и плотность ее не указана, условимся счи

тать 7(х, у) = 1.

Пример 8. Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной кривыми ау = х2, х + у = 2а (а > 0).

		§ 1. Двойной интеграл		253
<] Линии пересекаются в точках М\(—2а, 4а),				М*2(а, а) (рис. 44). По
этому можно записать:
			2а —х —	х2
			2а —х —	dx =
				а
G	- 2 а	х 2 / а	- 2 а

а	2 а —х	а
м* - Ц У <lxdy = I dx	I ydy = ^ I ^(2а - x f		dx =
	1 /	{2 a - x f	3G ,
	2 V	3	——я
	2 V	3

Подставляя найденные значения в формулы (13), имеем

9.92.Найти массу круглой пластинки радиуса Я, если плот ность ее пропорциональна квадрату расстояния точки от центра и равна 5 на краю пластинки.

9.93.Найти статические моменты относительно осей О х и Оу

однородной фигуры, ограниченной кардиоидой г — а( 1 + cos <р),

О^ (р ^ 7Г, и полярной осью.

9.94.Найти координаты центра масс однородной фигуры, огра

ниченной кривыми у2 = ах\ у = х.

9.95.Найти массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами О В = а и О Л — 6, если плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от катета О А.

9.96.Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу однородной фигуры, ограниченной синусоидой у — sin# и пря мой О А, проходящей через начало координат и вершину A (IT/2, 1)

синусоиды (.т ^ 0).

9.97. Найти координаты центра масс однородной фигуры, огра ниченной кривыми ху —-а2, у2 = 8ах, х ~ 2а (а > 0).

254	Гл. 9. Кратные интегралы

9.98.Найти моменты инерции однородного треугольника, огра ниченного прямыми х + у — 1, х + 2у — 2, у = 0, относительно осей Ох и Оу.

9.99.Найти координаты центра масс однородной фигуры, огра ниченной петлей кривой т = a sin 2с/?, лежащей в первой четверти.

9.100. Найти моменты инерции однородной фигуры, ограни ченной кардиоидой г = а( 1 + cos</?), относительно осей Ох, Оу и относительно полюса.

9.101. Найти моменты инерции однородной фигуры, ограни-

X2	у2
ченной эллипсом —	-f — = 1, относительно осей Ох, Оу и отно-
a1	¥

сительно начала координат.

9.102. Найти моменты инерции однородной фигуры, ограни ченной кривыми у2 — ах, у — а, х = 0:

а) относительно начала координат, б)* относительно прямой х = —а.

9.103. Найти моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми х + у = а, х = а, у = а, относительно осей Ох, Оу и относительно начала координат, если плотность пропорциональна ординате точки.

9.104. Найти момент инерции однородной фигуры, ограничен ной лемнискатой г2 = a? cos 2<р, относительно полюса.

9.105. Найти моменты инерции однородного кругового сектора радиуса а с углом а при вершине (совпадающей с началом коорди нат) относительно осей Ох и Оу, если сектор расположен в первой четверти и одной из своих сторон лежит на оси Ох.

9.106*. Тонкая пластинка имеет форму кругового кольца с ра диусами R\ и i?2 (-Ri < ^2). Удельная теплоемкость пластинки меняется по закону с = |ху|, плотность постоянна и равна 7 . Найти количество теплоты Q, полученной пластинкой при ее на гревании от температуры 11 до температуры ^2-

9.107*. На тонкой пластинке, имеющей форму параболического сегмента, ограниченного осью Ох и параболой ах2 + h2y = /13, распределен электрический заряд с поверхностной плотностью о =

=2х + у. Найти полный заряд Е пластинки.

§2. Тройной интеграл

1.Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольн координатах. Тройным интегралом от непрерывной функции f(x, у, z)

по ограниченной замкнутой пространственной области Т называется предел последовательности соответствующих интегральных сумм при стремлении к нулю наибольшего из диаметров du элементарных обла стей Avk, если этот предел не зависит ни от способа разбиения области Т

§ 2. Тройной интеграл

255

на элементарные подобласти Avk, ни от выбора промежуточных точек:

/ / /	f(x, у, z) dx dy dz =	lim V	f(x k, yk. zk)Avk,	(1)
/ / /		max dk —^0 z	'
т		к-1

где (Хк, ук, %к)€ A Vk- Через A Vk обозначается как элементарная область, так и ее объем. Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных интегралов. Если, например, область интегрирования Т ограничена снизу поверхностью 2 = 4>i{x, у), сверху поверхностью г - <р2(х, у) {ipi{x, у) ^ ip2{x, у))

и с боков прямым цилиндром, сечением которого плоскостью, парал лельной плоскости Оху, является область G, то тройной интеграл (1) вычисляется по формуле

JJJ f{x. У, z)dxdydz -	у)
JJJ f{x. У, z)dxdydz -	IJ dxdy J f{x ,y,z)dz.	(2)
Т	G

Записывая двойной интеграл по области G через один из повторных, получаем

ьУ2(*) ч>-2(х,у)

JfJ f{x, у, z) dx dy dz -- J dx j			dy	J	/ ( x, y, z)dz -
T	a	Vl (x)		>f i { x, y)
			d	X2{y)	U , y )
		=	I dy J		dx J f(x, y, z) dz. (3)
			r	ri (»;)	<Ji(x,y)

Пример 1. Вычислить z dxdy dz, если область T ограничена

Ш гЛ

плоскостями х -f у -f z — 1, 2 = 0, у — 0. х —0. <] Имеем:

1 - .Т 1 —х~ у	1	1—а;			1-j:-
	г	Г		72	1-j:-
	г
	Г .		(		' ~ я\
	Г .	f	(	Z *	' ~ я\	■
					'Л	■
	г 1	У ( т			)I	°Уdy
О	г 1	У ( т			г—0
О	0	0
1—х		а:			1—х
	( 1 -	а:	-	y f	1—х
					dx =

3 у=о

256	Гл. 9. Кратные интегралы
Расставить	пределы интегрирования в тройном интеграле

УУУ /(ж, у, г)(1х(1у(1г для указанных областей Т:

9.108. Область Т — тетраэдр, ограниченный плоскостями 2х +

+ Зу + 4г =	12, я =		0, у =	0, х = 0.
						Х2	У	2	^ 2	1
9.109. Область Т — внутренность эллипсоида “т- + тт + “т7 = 1.
						а 2	сг		с2
9.110. Область		Т ограничена			поверхностями	у2 + 2^			=	4.т,
а; = 2.
9.111. Область Т ограничена поверхностями х2+у2 = г2, г =1.
Вычислить интегралы:
1	X		у/х2-{-у2		з	2ж	\/^7
9.112. I	с1х !	с1у	I	хс1г.	9.113. ^ с/х /		/	гс1х.
О	О	О			О О	О

а\/аж 2(а—х)

9.114. /	/	уЛу / (1г.
	/	уЛу / (1г.
О	0	а —ж

9.115. I I I ( х + у + г) с1х с1у(1г, где область Т — тетраэдр, огра-

ниченный плоскостями х + у + г = а, ж = 0, у = 0, г = 0.

/ / / хуг с1х с1у йг, где область Т ограничена поверхно-

стями у — .т2, ж = у2, г = жу, г = 0.
9.117.		(ж2 + у2)	в,у йг, где область Т ограничена поверх-
	Г
ностями 2: =		у2 — х2, г =	0, у = 1.
2.	Замена переменных в тройном интеграле. Если в тройном инт
грале
		/ / / / ( * , У, г) (1хйу йг
производится		замена переменных по		формулам х = х(и, V, ги), у -
= у(г/, у, гу),		г = г(гл, V, ги), причем		функции х(и, г;, и;),	г;, ги),

г(г/, г?, гу) осуществляют взаимно однозначное отображение области Т пространства Ожуг на область Т\ пространства 0\иуги и якобиан

§ 2. Тройной интеграл

257

преобразования не обращается в нуль в области 7\:

dx	dx	dx
du	dv	dw
1 = dy	dy_	dy	Ф о,
du	dv	dw	Ф о,
dz	8z	dz
du	dv	dw
то справедлива формула

III^Х’ ^^dXdydZ~
т
~III V’ W^’ V’U?)’	г))^ ^W' ^
Ti

Наиболее употребительными из криволинейных координат являются цилиндрические координаты г, </?, г (рис. 45): х = г cos <р, у — rsin^,

г = г, якобиан которых / = г, и сферические г (длина радиус-вектора),

/К

Рис. 45

Рис. 46

Рис. 47

(р (долгота), в (широта) (рис. 46): х = rcos</?cos0, у = rsin</?cos0,

г = rsin#, якобиан которых / = г2 cos в. Формула (4) принимает соот ветственно вид

J J J f(x ,y,z)dx dydz =

cos(p, г sin^, z)r dr d<pdz (5)

T i

258	Гл. 9. Кратные интегралы
или

'	т	^ х ' Уу ^ dx dy dz ~
	/ / /	^ х ' Уу ^ dx dy dz ~
		- III f(rcos (fcos 0, rsin ipcos 0, rsin 6)r2cos 0 drdip dO. (6)
		Ti

Пример 2. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить

JJJ zsjx2 +y2 <£rdy dz, где область Т задана неравенствами 0 ^х < 2,

О ^у ^ \/2х —ж2, 0 ^ ^а (рис. 47).

< Так как уравнение у = \/2х —х2 в цилиндрической системе координат принимает вид г = 2cos</? (0 ^у? ^7г/2), то по формуле (5)

JJJ Vж2+у2: dxdydz= JJJ г2 drdipdz=

7T / 2

2 c o s v?

^ T T / 2

2 c o s

r2dr ~

= J

dtpJ r2dr J zdz

dipJ

7Г/ 2

4a2 Г

cos ipdip =

-a

. >

Пример

Перейдя

к сферическим

координатам,

вычислить

JJJ(х2+ у2) dxdydz,если область Т есть полушар,

заданный нера-

венствами ж2 + у2 + £2 ^i?2, 2: ^0.

< Для области Ti

пределы изменения

сферических

координат

суть:

О ^у? ^27Г, 0^0^

7г/2, 0

^г ^Я. Имеем по формуле (6):

jjJ(х2+у2) dx dydz= JJJ r2cos20 • r2cos 0 drdipd6=

T i

			§ 2. Тройной интеграл				259
Вычислить интегралы, перейдя к цилиндрическим коорди
натам:
, 118.	щ		\y\dx с1у с1г,		где	область Т ограничена	поверхно-
	т
стями х2 + у2 = а2, 2 = О,					2 = Н.
9-ш 7	/ / 2: dx dy dz, где область Т ограничена поверхностями
х2 + у2 = г2, г — а.
	ч/З		\/3—х 2	\ / 4 - х 2 - у 2
9.120. I		dx	I	йу	I	dz.
	о		0	( х 2+ у 2)/3
	а/у/2		\/а2у2		(х2—у2)/а
9 .Ш .	/	ей/ /			У \/X2 + у 2
	о		2/		0
	а		\/а2—х2		И
9.122. I		dx	/	(/у	/	\/х2 + у2 (1г.
				к{х2+ у 2 ) / а2
			у/Г-
9. ш .	/	(•/ж	I	с!у	I	(ж2 + у2) сЬ.

	-2 - ч/4- х2 (х2+у 2)/2
Вычислить интегралы, перейдя к сферическим координатам:
9.124.	у х2 Л-у2 Л- г2 dx dy dz, где область Т — внутрен-
чн *
	т

ность шарового сектора с центром в начале координат, радиусом а и углом при вершине 2а (0 < а < 7г), если ось симметрии сектора принять за ось Ог.

9.125. Л 1 хуг2 Ах с1у<Ь, где область Т ограничена частью сфе-

т* ры х2 + у2 + г2 = 1 и координатными плоскостями (ж > 0, у > 0, 2 > 0).

dx dy dz

>Л2Ч11 \/х2 + у2 + г2 где область Т — сферический слой

между поверхностями х2 + у2 + г2 = а 2, х 2 + у2 + £2 = 4 а2.

260		Гл. 9. Кратные интегра.чы
	Я/\/2	\/В?/2-х2	у/112-х2-у2
}.127.	с1х	с1у	/	Аг.

°0

о \/а2-х2 \/а2-х2-у2

, т .	/	/		/	гс1г.
	Я	у/И2- х 2		у /Я 2- х 2- у 2
9.129.	/ йж	/	с1у	/	\fzdz.
	- Я	— \/1^^—х 2		О

3. Приложения тройных интегралов. Объем V пространственно области Т равен

^ = dxdydz.

Масса М тела с переменной плотностью 7(х, у, г), занимающего область Т:

М = 7(х, у, z)dxdydz.

Статические моменты тела относительно координатных плоско

стей.	г г г
М уг =	/ / /	ж7(ж, у, z)dxdydz,
	т
М 2Х =		У7(х ’ у> ^)АхйуАх,
	т
М ху =	J J J	гч(х, у, £) Лх с/у сЬ.
	т
Т Л		— Му г	__	М 2Х _ МХу
Координаты центра масс тела: х — —гг,			у — —— , г = — .
		М	М	М

Моменты инерции тела относительно осей координат:

=I II +:2^7^a:, 2/1

1У = J J ! (г2 + х2)^(х, у, г) Ах (1уАг,

I И +2/^7^’ 2/5

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 4426 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебник по математике Ч2

#
23.02.2015201 б48Прочтите это!.txt
#
23.02.20158.57 Mб3297Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с.pdf