Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

.pdf

Скачиваний:

3297

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

8.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

		§ 1. Двойной интеграл				241
1	1 -У2	f(x,у)dx.		А	\/16~х2
9.18. I dy	J	f(x,у)dx.	9.19.	J	dx S	f{x, y)dy.
—	1	у2 —1		0	у/Ax—x2
1	У		31

9.20. j dy j f(x,y)dx+ I dy j f(x,y)dx.

	0	,//9		1	3,2/9
	2	(x+2)/2		10/3		(®+2)/2	/(®. y)dy.
mi. /		dx	I	f(x,y)dy+ /	dx s		/(®. y)dy.
	—2		0	2		y/x2— A
	a	a+y/a2—x2
9.22.	/	dx	/	/0*> У)dy.
	0	\/2ax—x2
	V2		У2/ 2
9.23.	J	dy	J f(x,y)dx.
	—		spl	У2- 1
	7		3	9	10—x
9.24. J		dxj f(x,y)dy + j dxJ f(x,y)dy.
	3	9/ж		7	9/ж
				a x		a	a

9.25. Показать, что J dx / /(* , y)dy =J dyJ f(x,y)dx, и,

	0	0	0	у
пользуясь этой формулой, доказать			ф о р м у л у	Д и р и х л е
t	х		t

J dxJ f(y)dy =J(t - y)f(y)dy.

		0	0	0
Вычислить следующие интегралы:
9.26.	JJ(x2+ у2) dxdy, где область				G ограничена кривыми
у= ж, ж +G у — 2а, ж = 0.
, , ,	и	у/ху—у2dxdy, где G —			трапеция с вершинами
А( 1, 1),	В(5,	1),	<7(10, 2),	D (2, 2).

242		Гл. 9.	Кратные интегралы
		ху (1х с1у, где область (7 ограничена кривыми х+у = 2,
	с;
\|_у2 __ 2^		(.г > 0).
, 2,	ц	у(1х,(1у, где в	— треугольник с вершинами 0(0, 0),
А( 1, 1),	В ( 0, 1).
9.3°. I I (ж + 2у) е/ж е/у,			где область (7 ограничена кривыми
	в
у = X2 и у =		^/ж.
“	■ / / (4 — у) е/же/у, где область О ограничена кривыми ж2 —
	О
= 4у, у = 1,		ж = 0 (ж > 0).

ГГ '£ (1% (1у

9.32./ / ---“ , где область С ограничена кривыми у = жtg ж, 7./ ж2 + у

у — ж\ ж = 7г/ 8 (ж ^ тг/8).
, з ,	I I \/а2 + х2 (1/х (1у, где область	О ограничена кривыми
	G
у2 — ж2 =	а2, ж = а, ж = 0, у = 0 (у > 0,	а > 0).

9.34.ех+у е/ж е/у, где область О ограничена кривыми у — ех,

х — 0, у — 2.

).35*. J J х2гydx dy , где область G лежит в первой четверти,

	G
ограничена		осями координат и дугой эллипса ж =		a cost, у =
= 6 s i n / (0	<	* < 7г/2).
9.36. I	I	x d x dy , где область G ограничена осью		Ож и аркой
циклоиды ж = ег(£ — sint),			у = a(l - cos £) (0 ^ t ^ 27t).
9 . 3 7 . / / y d x dy , где область G ограничена осями координат и
б?
дугой астроиды ж — a cos3			у — a sin31 (0 ^ t ^ 7t/2).

9.38*. Найти среднее значение функции /(ж, у) — cos2 ж cos2 у в области G “ {(ж. y)j0 ^ ж ^ /г/ - ^^У ^ 7г/2 }.

§ 1. Двойной интеграл

243

9.39*. Оценить величину интеграла

(1х (1у

-II 9 4- sin2 х 4- sin2 (х 4- у)

М+ 12/1^3

9.40.Найти среднее значенье фуныши /(:/;, у) = Зх + 2у

треугольнике с вершинами 0(0, 0), А( 1, 0), В ( 0, 1).

2. Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции

х = cp(u, v) и у = ф(и, v)

(3)

осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое ото бражение области Г плоскости О'ш; на область G плоскости Оху. Это означает, что существует обратное непрерывно дифференцируемое ото бражение и = г)(х, у) и v = х(х>2/) области О на область Г и в области Г отличен от нуля якобиан преобразования, т. е.

	dip	dip
у)	du	dv	Ф о, (щ у) е г.	(4)
у)	дф	dф	Ф о, (щ у) е г.	(4)
	du	dv

Величины и и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области Г и в то же время как криволинейные коорди наты точек области G.

Если в двойном интеграле

I l f(x, У) dxdy 'à

произвести замену переменных по формулам (3), то областью интегри рования полученного интеграла будет уже область Г, которая при надле

жащем выборе функций tp(u, v) и ф(и, у) может оказаться значительно проще области G, и имеет место формула

JJ f (x, у) dxdy = JJ f(<p(u, v), ip{uyv))\I(u, v)\dudv.		(5)
G	Г

Для вычисления интеграла по области Г применяются изложенные в п. 1 методы сведения двойного интеграла к повторным.

Пример 3. Вычислить JJ у/ху dxdy, если область G ограничена

кривыми у2 = ах, у2 = bx, xy = р, xy — q (0 < a < Ъ, 0 < р < q).

244	Гл. 9. Кратные интегралы

< Перейдем к новым переменным и и у по формулам у2 = их, ху = Тогда

х = и-1/ Ч 2Г\	у = и'/*у'/\
^ = _ 1 и-'1/Зи2/3)	дх
^ = _ 1 и-'1/Зи2/3)
	Оу 3

ду. _ 1 п-2/3 1/3			ЁМ - Ам1/3, -2/3
а« ~ з		’	а«	з	’
	_^и-'1/3„2/3				_1_
1(и, V) -	О				_1_
1(и, V) -	1и-2/3г;1/3		1 ы1/3.,,-2/3		Зг?
	1и-2/3г;1/3		1 ы1/3.,,-2/3		Зг?
	!/(?/, ?;)\| =	—	при	и > 0.
		би
Уравнения линий принимают вид
71 = а, м =		6,	у = р,	у = д.

Область (7 плоскости Оху преобразуется в прямоугольную область Г

Рис. 41

плоскости О'ии (рис. 41). Следовательно, применяя формулу (5), по лучаем

. / / = 111

= \) V /

“

, =^(«а/2- р з/2) 1»-. >

Наиболее употребительными из криволинейных координат являются полярные координаты

X = Г СОй у?, у = 7* 8111 У?,

	§ 1. Двойной интеграл				245
для которых
	/(г. ф) =	COS(Z>	—Г Sin ip	— г
	/(г. ф) =	.		— г
	v	Sill if	Г COS if
и формула (5) записывается в виде
I j /(х, y)dxdy = JJ f (г cos ip, rsimp)r dr dip.					(6)
'g		г
Пример	4. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной
интеграл
	I j	(х2 4 у2) dxdy,
где область С ограничена окружностью ж 2 4- у2 — 2ах.
< Положим х	= rcosip, у =		и применим формулу (б). Так как
х2 4- у2 = г2, то
		)dxdy = J J г		dr dip.
	с;

Уравнение окружности х2 4 у2 = 2ах преобразуется к виду г = 2acosip. Поэтому областью Г является область, ограниченная снизу осью г = О, сверху косинусоидой г — 2acQSip, причем ф Е [—тг/2, 7г/2].

Следовательно,

ГГ

7г / 2

2 а c o s о?

т г / 2

г3 <lr<lf =

/ И

2аС08|^\

J J

r’ <fr =

J ( -

j dy? =

-7Г/2

—7Г/2

7T / 2

7Г

4a4 J

c o s 4 ipdip = 8 a 4 J

c o s 4 кр dip

8 a

~ 7 ra

. >

— 7г / 2

Перейти к полярным координатам и расставить пределы инте грирования по новым переменным в следующих интегралах:

З а/4			\Jах ~х2	f{Vx2+y2)dy-
9-41- /	с/ж		I	f{Vx2+y2)dy-
0		а\/3/2-у/ЗаЩ^х2
а		а+\/а2—х^			1	j" f(x ,y )d x .
9.42. J	dx	j	f (x, y) dy.		9.43. j dy	j" f(x ,y )d x .
					b	-'v^

246	Гл. 9. Кратные интегралы
9 . 4 4 . / / / , х2 + у2) с1хс1у, где область (7 ограничена линиями
си
X2 + у2 = \/бж,	(X2 + у2)2 = 9(ж2 - у2), у = 0 (у ^ 0, ж < л/б).

Перейдя к полярным координатам, вычислить интегралы:

а\Га2—х 2

9.45. I

(1,х

ех2+У2 (}у .

9.46. J

! у/а2 — х2 — у2 dx.

у/ау-у2

9-47- / /

у/х2 + у2 — 9й.те/у,

где область (7 —

кольцо

между

’с

двумя окружностями ж2 + у2 = 9 и ж2 + у2 = 25.

9.48. Ц

у/а2 — х2 — у2 б/ж dy,

где область

— часть

круга

радиуса а с центром

в точке 0(0, 0), лежащая

в первой четверти.

9.49.

(x2 + y 2)dxdy^

где область О ограничена кривыми

'а

х2 + у2 — аж,

.т2 + у2 = 2а.т,

у =

0 (у > 0).

•.50. И

dx d,y,

где область О

ограничена кривыми х2 = ау,

'а

т2

у2 _

2а2,

у =

(ж > 0,

а > 0).

• /

х\[^2~\^\р‘ d,xd,y, где область О ограничена лепестком

лемнискаты (х2 Л- у2)2 — а 2(х2 — у2) (ж ^ 0).

Перейти к новым переменным и и V и расставить пределы ин

тегрирования в следующих интегралах:

9.52. Ц

/(.т, у) dxdy, где область О определена неравенствами

х ^ О, у ^ 0,

х + у ^ а. Положить и = х + у,

ау = ш;.

		§ 1. Двойной интеграл	247
9.53.	/(ж, у) dx dy, где область G ограничена кривыми х2
4	G1 “ *'
= ay, х2 — by,		у2 = р х , у2 = qx (0 < а < 6, 0 < р < q). Положить
ж2 = ггу,	у2 — г>ж.
	3	3—х
9.54. I dx		J f ( x , у) dy. Положить гг — ж + у,	= ж — у.

1—х

ш . I I f(x ,y )d x d y , где область (7 ограничена кривыми

жу — р, xy = q, у = аж, у = Ьх (0 < р < q, 0 < a < b).

Пололшть и = жу, у = vx.

Вычислить следующие двойные интегралы:

	Г Г		(jy
9.56.	/ /		7 7 ,— T^.,v, (с		> 1), гдеобласть G огра-
	JGJ	\/с	(ж/о)	\У/о)
		372	у 2
ничена эллипсом —			+ — — 1(перейти		к обобщенным,полярным
		a1	Ьг
координатам г и ip по формулам ж = ar cosy?, у — brsin^).
9.57. J J		е{х+у)2dxdy,		где область	G задана неравенствами
	G
х ^ 0,	у ^	О, х + у ^ 1		(произвести замену переменных ж =

= м(1 — г;), у = ш;).

I I xydxdy , где область (7 ограничена линиями у = аж3,

у = 6ж3, у2 = р х , у2 — (/ж (0 < а < 6, 0 < р < q) (выбрать надлежащую замену переменных).

3. Приложения двойных интегралов. Геометрические прил жения. Площадь S плоской области G выражается, в зависимости от рассматриваемой системы координат, следующими интегралами:

5 = J J dxdy	(7)
G
в декартовых прямоугольных координатах,
S = J j \|/\| dudv	(8)
г

248	Гл. 9. Кратные интегралы

в криволинейных координатах. Здесь предполагается, что

	<9х	дх
I =	<9и	dv	Ф 0 в области Г.
	ду_	ду
	ди	dv

В частности, в полярных координатах х = г cos у>, у = г sin у? имеем

S = JJ г dr dip.	(9)
г

Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми г = а( 1 + cos у?) и г = a cosy? (a > 0).

<1 В плоскости Оху фигура показана на рис. 42. Вычислим по формуле

(9) площадь верхней части и удвоим:

7г / 2		a ( l + c o s v ? )				7Г	a ( l + c o s v?)
5 = 2 JJ г dr dip = 2 I dip				J	r dr + 2 J dip		J	r dr =
		a		c o s ip		к/2
7г / 2					TT
a ( l + c o s v 5 ) \					r (	a ( l + c o s y > ) \
r				r	+J ( r o		r	=
ЯО0					тг/2
7T/2
= a2 J (1 + 2cosy?) dip + a2 J (1 + 2cosy? + cos2 y>) dy> =
о					тг/2
= a2(y> -f 2siny?)	*/2	+a	9	/Зу?		1			- -T7ra . >
= a2(y> -f 2siny?)		+a		( —	+ 2sin ip + - sin 2y?				- -T7ra . >
								тг/2	4
								тг/2

Если гладкая поверхность имеет уравнение г = /(х, у), то площадь части этой поверхности, проектирующейся в область С плоскости Оху, равна

-If

(10)

Пример 6. Найти площадь части поверхности параболоида у2 +

+ г2 = 2ах, заключенной между цилиндром у2 = ах и плоскостью х = а (а > 0).

§ 1. Двойной интеграл

249

<] Верхняя половина заданного параболоида описывается уравнением

г = у/2ах —у2. Имеем:

	дг _	а	дг		У
	дх у/2ах —у2’		ду	у/2ах —у2
1 +	д ^ 2	/пдг-\х21 _	а2 + у2		2ах + а2
	дх	ду )	2ах —у2		2ах —у2

Так как рассматриваемая поверхность симметрична и относительно плос кости Охг, то искомая площадь вычисляется как учетверенная площадь части этой поверхности., лежащей в первом октанте:

у/ах (1хс1у 4 1 у/ 2ах + а2с/х ^ -7=с(у

= 4	У	\	у/2^с	у/2ах + а2( агсэт ——= ](1х=с1х4гу/2ах=			4-а
	У	\	у/2^с	о /	У	4
	=	--(2ах + а2)3//2 =		~-(3\/3а3 — а3) =	—р-(3\/3 — 1). О
		За	о	За		3

Объем V цилиндра, ограниченного сверху непрерывной поверхно стью г = /(х, у), снизу плоскостью г = 0 и с боков прямой цилиндри

ческой поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область С, выра жается интегралом

V	=///(* , у) <***,.	(11)
V

Пример 7. Найти объем тела, ограниченного поверхностями у =

= \/х, У — 2л/я7, £ + 2 = 4, 2: = 0.

<1 Данное тело является цилиндроидом, ограниченным сверху плоско стью х + г = 4, снизу плоскостью 2 = 0 и с боков прямыми цилиндрами

у = 1/х и у = 2>/х (рис. 43а). Область интегрирования показана на рис. 436.

250	Гл. 9.	Кратные интегралы
Имеем: z = 4 —х,
	4	2у/ х	4
G	0	yjx	О

9.59.Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 =

—4ах + 4а2 и х + у — 2а (а > 0).

9.60.Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми ху = 4

иа; + у = 5.

9.61. Найти		площадь	фигуры,	ограниченной кривыми у —
ж2 + 4д2 ’	а: =	2у, ж = 0	(а > 0).
9.62*. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми х 2 +
+ у2 — 2ах,	х2 + у2 = 2Ьх,		у — х,	у =	0 (0 < а < Ь).
9.63.	Найти площадь фигуры,				ограниченной кривыми г

= а (1 — cosy?) и г = а	(вне кардиоиды).
9.64*. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
(х2 + у2)2 =	2а2(х2 - у2) и х2 + у2 = 2ах.

9.65*. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей кривой (х + у)4 = аж2у, лежащей в первой четверти (а > 0).

9.66*. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

9.67*. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 = = ах, у2 = 6х, т у 2 = х 3, пу2 = х3 (0 < а < 6, 0 < т < п).

9.68*. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 =

— рх, у2 = дх, у = ах, у = Ьх (0 < р < д, 0 < а < 6).

9.69.Найти площадь части плоскости х+ у +2 = а, вырезаемой цилиндром у2 = ах и плоскостью х = а.

9.70.Найти площадь части поверхности цилиндра х 2 + г2 — а 2, вырезаемой цилиндром у2 = а(а — х).

9.71.Найти площадь части поверхности конуса х2 + %2 = у2, вырезаемой цилиндром у2 = 2рх (р > 0).

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебник по математике Ч2

#
23.02.2015201 б48Прочтите это!.txt
#
23.02.20158.57 Mб3297Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с.pdf