Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с
.pdf§ 4. Приближенные числа и действия над ними |
231 |
граней Да абсолютной погрешности называется предельной абсолют ной погрешностью. На практике часто за предельную абсолютную погрешность Да принимают одну из верхних граней. Имеет место вклю чение
А (Е [а —Да; о, + Да]5
которое принято записывать в виде А = а ± ДЛ. Например, \/3 = = 1,7321 ±0,0001.
Относительная погрешность числа а определяется равенством
Аналогично определяется предельная относительная погрешность
Например, для А — \/3 и а = 1,7321 имеем 5а = 1,1 1 = 0,00006.
В десятичной записи числа значащей цифрой или знаком называ ется любая цифра, отличная от нуля. Нуль считается значащей цифрой в том случае, когда он расположен между значащими цифрами или стоит правее всех значащих цифр.
Округлением числа называется замена его числом с меньшим ко личеством значащих цифр. При округлении соблюдаются следующие правила:
1)если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые знаки оставляют без изменения;
2)если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последний из сохраняемых знаков увеличивают на 1;
3)если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а среди следующих за ней цифр есть отличные от нуля, то последний из сохраняемых знаков увеличивают на 1;
4)если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а все следующие за ней являются нулями, то последний из сохраняемых десятичных знаков увеличивают на 1, когда он нечетный, и сохраняют неизменным, когда он четный.
Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превышает единицы разряда, выражаемого п-йзначащей цифрой в десятичной за писи этого числа, то а называется числом, имеюь^им п верных знаков в широком смысле. Если же абсолютная погрешность не превышает половины единицы указанного выше разряда, то приближенное число а называется числом, имеющим п верных знаков в узком смысле. При этом для предельной относительной погрешности 6а справедливы нера венства
1 / 1 V " 1 |
1 / 1 у 1-1 |
232 Гл. 8. Дифферснц. исчисление функций нескольких переменных
соответственно в первом и во втором случаях; в обоих неравенствах к означает первую значащую цифру числа а. Обратно, если предельная относительная погрешность удовлетворяет неравенству
г . |
1 |
1 |
°''2 (Л + 1 ) |
10”-! ’ |
|
то соответствующее приближенное число а с первой значащей цифрой к имеет п верных знаков в узком смысле.
8.259. Найти предельную абсолютную и относительную погреш ности следующих приближенных чисел, полученных при измере нии: а) 23,015 кг; б) 84,5 см; в) 25° 15'.
8.260. При измерении длины пути получен результат 25,2 км с точностью до 2 м, а при измерении площади (аэрофотосъемка)
получен результат 1500м2 с точностью до 30м2. Вычислить пре дельную абсолютную и предельную относительную погрешности обоих результатов.
8.261. При измерении длины участка пути в 10 км допущена ошибка в 10 м, а при измерении диаметра гайки в 4 см допущена ошибка в 1 мм. Какое из этих двух измерений более точное?
8.262. Каковы предельные абсолютная и относительная погреш ности приближенных чисел, полученных при округлении: а) 36,1; б) 0,08.
8.263. Округлить числа 29,15 и 3,25 до первого десятичного знака после запятой.
8.264. Округлить число 5,3726 до тысячных, до сотых и до десятых долей. Найти абсолютную и относительную погрешности каждого из этих трех округлений.
8.265. Округлить до трех значащих цифр следующие числа: 0,02025, 1876672, 599983.
8.266. Определить число верных знаков в узком смысле и дать соответствующую запись приближенных чисел:
а) 413287,51, если предельная относительная погрешность не превышает 1%;
б) 0,0794, если предельная относительная погрешность не пре вышает 2%.
8.267. Со сколькими знаками нужно взять число \/2Т, чтобы предельная относительная погрешность не превышала 1%?
8.268. Со сколькими знаками нужно взять числа 1п40 и аг^ 2, чтобы их предельная относительная погрешность не превышала 0,1%?
2. Действия над приближенными числами. Пусть и = $(х 1, £2, • • •
..., хп) — дифференцируемая в рассматриваемой области функция. То гда предельная абсолютная погрешность А и значения функции опреде-
§ 4. Приближенные числа и действия над ними |
233 |
ляется соотношением |
|
|
О/ |
(1) |
|
дхк |
||
|
* = 1
где АХк — предельные абсолютные погрешности значений соответствую щих аргументов. Для предельной относительной погрешности имеет место равенство
1 д/
(2 )
к—1 и дхк
Пример 1. Найти предельные абсолютную и относительную по
грешности объема конуса радиуса г и высоты /г, если г = 15 ± 0,02 см, /г = 19,1 ± 0,05 см и 7Г= 3,14.
<3 |
Имеем у — |
-ттг2Н |
= |
4498,1см3. 'Учитывая, что г = 15, |
1г |
— 19,1, |
||||
|
|
О |
|
|
|
|
|
д |
|
1 |
7г = 3,14, Дг = 0,02, |
Д/г = |
|
|
|
= |
|||||
0,05 и Дя = 0,0016, найдем т~ |
~г2Н = |
|||||||||
= |
д |
2 |
|
599,74 и |
9 |
1 |
|
|
|
|
1432,5, ~~ — -7гг/г = |
ап |
— -ттг2 — 235,5. Применяя фор- |
||||||||
|
аг |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
мулу (1), получаем предельную абсолютную погрешность |
|
|
||||||||
|
|
ду |
|
|
ду |
|
ду |
|
|
|
|
д„ = дтг |
А п -Ь |
дг А г -Ь |
Ж |
Д/4= 26,06 см3. |
|
|
|||
Предельная относительная погрешность может быть определена из ра венства
Таким образом, у = 4498 ± 26,1 см3. >
Доказать следующие утверждения:
8.269*. Предельная абсолютная погрешность суммы равна сум ме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.
8.270*. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножи телей.
8.271*. Предельная относительная погрешность п-й степени в п раз больше предельной относительной погрешности основания.
8.272*. Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и дели теля.
8.273*. Предельная абсолютная погрешность А Ш) произведе ния иу удовлетворяет соотношению А иу — А иу + А уи.
234 Гл. 8. Диффсренц. исчисление функций нескольких переменных
Произвести указанные действия над приближенными числа ми, в которых все десятичные знаки являются верными в узком
смысле: |
|
|
|
|
8.274. |
130,6 + 0,255 4-1,15224 |
4- 41,84 |
4- 11,8216. |
|
8.275. |
17,83 |
+ 1,07 + 1,1 • 102. |
8.276. |
153,21 - 81,329. |
8.277. |
61,32 |
- 61,31. |
8.278. |
35,2 • 1,748. |
8.279. |
65,3 • |
78,5. |
8.280. |
7,6:2,314. |
8.281.170:5. 8.282. 40,53. 8.283. ^/ЩТ.
8.284. При изменении радиуса круга с точностью до 0,5 см по лучилось число 12 см. Найти абсолютную и относительную по грешности площади круга.
8.285. Определить абсолютную погрешность десятичного лога рифма положительного приближенного числа ж, вычисленного с относительной погрешностью 5.
8.286. С какой предельной абсолютной погрешностью следует измерить стороны прямоугольника а ^ 4м и Ь ^ 5м, чтобы его площадь 5 можно было вычислить с точностью до 0,1 м2?
<3 Имеем 5 = аЬ и Д5 = 0,1. Предполагая равными слагаемые в формуле (1), получим
|
du |
|
Ди |
_____ |
д |
Дц |
|
dxi |
Д®, = — ? |
откуда |
A Xt = |
п\ди/дх{ |
|
(принцип |
равных |
влияний). Поэтому, вычисляя частные произ- |
||||
9S |
г |
r |
9S |
|
|
|
водные — |
= 6 = 5 и — = а = 4, найдем, что |
|
||||
да |
|
|
до |
|
|
|
Да = Й =0,01, Аб = ïk = 0,0125-
Распределяя число 0,1 в формуле для Дя между двумя слагаемыми не по ровну, а как-нибудь иначе, получим другие значения для ДЛи Д&, обес печивающие, однако, все ту же предельную абсолютную погрешность. >
8.287. С какой абсолютной погрешностью следует измерить сто рону х квадрата, чтобы определить площадь этого квадрата с точ ностью до 0,001 м2, если 2м < .т < Зм?
8.288. Вычислить плотность алюминия, если алюминиевый цилиндр диаметром 2 см и высотой 11см имеет массу 93,4 г. От носительная погрешность измерения длин равна 0,01, а относи тельная погрешность определения массы равна 0,001.
8.289. С какой точностью следует определить радиус основа ния R и высоту Н цилиндрической банки, чтобы ее вместимость можно было определить с точностью до 1%?
§ 4. Приближенные числа и действия над ними |
235 |
8.290. С какой точностью следует взять приближенное значение угла х ~ 25°, чтобы найти значение sinx с четырьмя верными знаками в узком смысле?
8.291. С каким числом верных знаков в широком смысле сле дует взять значение аргумента х « 2, чтобы получить значение функции ij — ех с точностью до 0,001?
8.292. С каким числом верных знаков должен быть известен свободный член уравнения ж2 — 2x+lg2 = 0, чтобы получить корни этого уравнения с четырьмя верными знаками в узком смысле?
8.293. Требуется измерить с точностью в 1% площадь боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого « 2 м и й 1м, а образующая « 5 м. С какой точностью нужно для этого измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками нужно
ВЗЯТЬ ЧИСЛО 7Г?
Глава 9
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1. Двойной интеграл
1.Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых пр
моугольных координатах. Пусть функция /(.х, у) — /(Р ) определена и непрерывна на замкнутой ограниченной области G плоскости Оху,
а— {Д^ь Дсг2, . • Д<7п} — некоторое разбиение области G на элемен тарные подобласти Дс^, площади которых также обозначим через Да*,
адиаметры — через dk- Зафиксируем точки Р*. 6 Дс^, к = 1, . . п.
Выражение
п
к=1
называется интегральной суммой для функции /(Р ) по области (7. Если существует предел последовательности интегральных сумм 5П при
max dk -> 0 (при этом ?г — сю) и если этот предел не зависит ни 1 к<Сп
от способа разбиения области G на элементарные подобласти До>, ни от выбора точек Рк € Д<7^, то он называется двойным интегралом от
функции /(гг, £/) по области G и обозначается через / / /(х, y)dxdy.
а
Таким образом,
[ [ f(x, y)dxdy = lim Y ] f(P k)Aak.
Для двойного интеграла справедливы свойства линейности и аддитивно сти (см. задачу 9.1).
Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим способом. Пусть область G (рис. 37) ограничена
кривыми у = y?i(x), у = ц>2{я), х = |
а, х — Ь, причем всюду на [а, Ь] |
|
функции if\(х) и ip2(x) непрерывны и tpi(x) ^^(я)- Тогда |
|
|
0 |
V 2 ( х ) |
|
|
f{x,y)dy, |
(1) |
§ 1. Двойной интеграл |
237 |
причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной у (х -- параметр), а полученный результат интегрируется по х. Заметим при
\Л-=^20’)
Рис. 37 |
Рис. 38 |
этом, что если кривая ^[(.х) (или кривая ^{х)) в промежутке а ^х ^Ь задается разными аналитическими выражениями, например,
<Pi(x) =
<^1^(:г) при с<т<^.Ь,
то интеграл справа записывается в виде суммы двух интегралов
Ь |
4>2 {х) |
С |
Ч>2 (а-) |
ь |
<Р2 (-т) |
|
|
J dx / /(.т, |
у) dy = / dx |
s |
/(.г, |
J/) dy + J dx |
I |
f(x, y) dy. |
|
|
ipi(x) |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, |
если область С |
ограничена кривыми х = Ф\(у)-> х = |
||||
— ^2(2/), 2/ = с? |
У ~ d) причем всюду на [с, с/] функции ф\(у) и ^2(2/) |
||||||
непрерывны и //ЧО/) ^^2(2/) (рис. 38), то |
|
|
|||||
|
|
|
|
d |
Ч'2(У) |
|
|
|
J [ fi%, V)dxdy = J dy |
j f(x,y)dx. |
(2) |
||||
&\{y)
Двойной интеграл, представленный в виде (1) или (2), называется также повторным интегралом.
Пример 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами
и вычислить двойной интеграл I — ^ — dxdy, если область интегри-
с
ровьния С ограничена линиями у = х< у = —, х — 2.