Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с
.pdf§ 3. Приложения частных производных |
221 |
При Л = - сРЬ > 0. Поэтому функция имеет условный минимум в |
|
точке Р\(—1, —2) и гт\п = —5. При А = —- сРЬ < 0. Поэтому функция
имеет условный максимум в точке Р2(1, 2) и гтах = 5. Или иначе:
р(х, у) - X2 + у2 - 5,
• ч/х =2х, 1р'у = 2у, |
<^'(-1,-2) = -2, |
^ (-1,- 2) = - 4 , |
||
ь 'хх = !> ь ху = 0, |
Ь"УУ = |
1 |
при Л = 1 |
|
|
|
|
|
2’ |
следовательно, |
|
|
|
|
|
0 |
-2 |
|
|
Д = - |
-2 |
1 |
= 20 > 0, |
|
|
-4 |
0 |
|
|
т.е. функция имеет условный минимум в точке Р\(—1, —2). Аналогично для точки Рг( 1) 2)
|
|
0 |
2 |
4 |
|
|
|
|
Д = - 2 - 1 0 = -20 < 0, |
|
|||
|
|
4 |
0 - 1 |
|
|
|
т.е. Р2(1, 2) — точка условного максимума. > |
|
|||||
Найти условные экстремумы функций: |
|
|||||
8.201. г = х2 + у2 — ху + х + у —4 при ж + у + 3 = 0. |
|
|||||
|
1 |
1 |
|
2. |
|
|
|
— I— при х + у = |
|
|
|||
|
X |
У |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
X |
у - 4 при X2 + у2 |
1. |
|
||
|
|
у/2 |
|
|
|
|
8.204. г = |
ху2 при х + 2у = 1. |
|
|
|||
8.205. г = |
2х + у при х2 + у2 = 1. |
|
|
|||
8.206. и = |
2х + у — 2г при х2 + у2 + г2 — 36. |
|
||||
8.207. и = х2 + у2 + г2 при ^ |
|
= 1. |
|
|||
8.208. и = |
ху2гг при х + 2у + Зг = 12 (ж > 0, у > 0, |
г > 0). |
||||
8.209. г/ = |
хуг при х + у + г = 4, |
ху +уг + гх = |
5. |
|||
8.210*. Доказать неравенство |
|
|
|
|||
|
|
я3 + у3 + |
|
( х + у + г |
|
|
|
|
3 |
^ |
|
|
|
если х ^ 0, у ^ 0, 2 ^ 0.
222Гл. 8. Дифференц. исчисление функции нескольких переменных
4.Наибольшее и наименьшее значения функции. Если функция /( дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) Значения или в стационарной точке, или в граничной точке области.
Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х3 + у3 —Зху в области
( К * <2, -1 ^у <:2.
<Данная область — прямоугольник.
1)Найдем стационарные точки (см. пример 3): Pi (0, 0) и Р2(1, 1). Значения функции в этих точках: z\—0, z2 — —1.
2)Исследуем функцию на границах области.
а) При х — 0 имеем z — у3. Эта функция монотонно возрастает и на концах отрезка [—1, 2] принимает значения: z|y=-i = —1, z\y~2 — 8.
б) При х = 2 имеем z = 8 + у3 —6у. Найдем значения этой функции в стационарной точке и на концах отрезка [—1, 2]. Имеем z1= 3у2 —б;
z' — 0 при у2 = |
2, или, в данной области, при у = \/2; z\у=уд |
= |
||
= 8 + 2л/2 - 6л/2 = 8 - 4л/2; г\у=-г = 13; |
z\y=-2 = |
4. |
|
|
в) При у = —1 имеем z = ж3 —1 + Зх |
и |
z' = Зж2 +3> |
0.Фун |
|
монотонно возрастает от z|;с=о = —1 до z\x—2 — 13. |
|
|
||
г) При у — 2 имеем z — х3+ 8 —бж; г' |
= |
Зх2 - б;г'=0 |
при х |
|
z\x=^2 ~ 8 - 4\/2; |
г|1=о = 8; г|х=2 = 6. |
|
|
|
3) Сравнивая все найденные значения функции, заключаем, что |
||||
^наиб = 13 В точке (2, -1); 2наим = -1 в точках (1, 1) и (0, -1). > |
|
|||
Пример б. |
При каких размерах открытая прямоугольная ванна |
|||
данной вместимости V имеет наименьшую площадь поверхности. Найти эту площадь.
<3 Ванна имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Пусть его изме-
|
V |
рения равны ж, у, z. Так как объем V = xyz задан, то z = — . Площадь |
|
поверхности ванны равна |
ху |
|
|
S = S(x, у) = 2(xz + yz) + xy = 2(х + у)— |
Л- xy — 2V (- + - )+ ху. |
ху |
\у х ) |
Задача сводится к нахождению минимума функции S(x, у), причем по смыслу задачи х > 0, у > 0.
Решая систему уравнений
2V
§3. Приложения частных производных |
|
223 |
||||
находим стационарную точку х0 = |
уо = |
\/2V. Проверим выполнение |
||||
достаточных условий минимума: |
|
|
|
|
|
|
4У |
|
|
|
|
АУ |
|
$"х(х>У) = -^3-. 3”у{х, у) = |
1, |
З уу(х, у) = |
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
Л = 5"1(^2 У ,$ 2 У )= 2 , |
В |
= 5"у( ^ |
, ^2У) |
= 1, |
|
|
С = 6’"9(^Ш ,\ /Т 7)=2, |
В |
= А С - В 2 =4 - 1 |
> 0, |
Л > 0 |
||
Итак, функция 5 (ж, у) имеет минимум при х — у — \/2К; тогда г =
_ У _ |
У ж |
~ ^ У 2 ~ |
2 ’ |
*.=2У(т+т)+^ ‘=3^ >
8.211. Найти наибольшее значение функции г = х — 2у + 5 в областях:
а) х > 0, у > 0, ж + у ^ 1; б) х ^ 0, у > 0, у - ж < 1.
8.212. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
г = х2 + у2 — ху — х — у в области х ^ 0, у ^ 0, х + у ^ 3. 8.213. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
г — ху в области .г*2 + у2 ^ 1.
8.214. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
г — ху2 в области х? + у2 ^ 1.
8.215. Представить положительное число а в виде произведе ния четырех положительных сомножителей так, чтобы сумма их обратных величин была наименьшей.
8.216. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную сумму длин ребер 12а, найти параллелепипед с наиболь шим объемом.
8.217. Найти прямоугольный параллелепипед с длиной диаго нали б(, имеющий наибольший объем.
8.218. Внутри четырехугольника найти точку, сумма квадратов расстояний которой от вершин была бы наименьшей.
8.219. В полушар радиуса II вписать прямоугольный паралле лепипед наибольшего объема.
8.220. В прямой круговой конус с радиусом основания В, и высотой Н вписать прямоугильный параллелепипед наибольшего объема.
8.221. Из нсех треугольников с основанием а и углом и при вершине найти треугольник с наибольшей площадью.
224 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
8.222*. На эллипсе х2 + 9у2 = 9 найти точки, наиболее и наи менее удаленные от прямой 4х + 9у = 16.
8.223*. На |
эллипсе х2 + 4у2 — 4 даны две точки А (—у/3, 0,5) |
и В( 1, \/3/2). |
На том же эллипсе найти такую третью точку С . |
чтобы треугольник A B C имел наибольшую площадь.
8/224. Определить наружные размеры закрытого ящика с за данной толщиной стенок S и емкостью (внутренней) V так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество мате риала.
8.225. На плоскости даны п материальных точек Р)(х[, у\) ^2(я;2, уг)? • • *5 Рп(#71? Уп) с массами, соответственно равными т \, 1П2 , . • т п. При каком положении точки Р{х, у) момент инерции системы относительно точки Р будет наименьшим?
8.226*. Точки А и В расположены в различных оптических средах, отделенных одна от другой плоскостью А\В\ (рис. 27). Скорость распространения света в первой среде равна v\, во второй — V2- Пользуясь принципом Ферма, согласно которому световой луч распространяется вдоль той линии A M В , для прохо ждения которой требуется минимум времени, вывести закон пре ломления светового луча.
Рис. 27 |
Рис. 28 |
8.227. Пользуясь принципом Ферма, вывести закон отражения светового луча от плоскости в однородной среде (рис. 28).
8.228*. Если в электрической цепи, имеющей сопротивление Д, течет ток 7, то количество тепла, выделяющегося в единицу вре мени, пропорционально 12Я. Определить, как следует разветвить ток I на токи 1\, /2, ■• 1п при помощи п проводов, сопротивле ния которых Д], Т?2, •••, Я т чтобы выделение тепла было наи меньшим.
5. Геометрические приложения частных производных. Касательно плоскостью к поверхности в ее точке Мо (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным 113 поверхности через эту точку.
§ 3. Приложения частных производных |
225 |
Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Если уравнение поверхности имеет вид
F{x, у, г) = О,
то уравнение касательной плоскости в точке M Q(XO, Уо, £о) есть
Р'(хо, Уо, 20)(.-Е - ж0) + F'y(x0, Уо, Z0)(y - Уо) +
|
|
|
+ F'z(xо, уо, zo){z - z0) = 0. |
(6) |
|
Уравнения нормали: |
|
|
|
|
|
х ~ |
= |
У ~ Уо |
= |
^~ zp |
^ |
Fxix0 , Уо, z0)F'v{xо, Уо, 20) |
|
^(жо, Уо, 20) ' |
|
||
В случае задания поверхности в явной форме
2 = fix, у)
уравнение касательной плоскости в точке M Q(XQ, уо, zo) имеет вид
2 |
- г0 = f'x(x0, Уо)(х - Хо) + fy{x0, Уо){У - Уо), |
||
а уравнения нормали — |
|
|
|
|
х - хр |
__ у - уо |
_ z - z0 |
|
Л (х0 , Уо) |
fy{xо, Уо) |
-1 |
Пример 7. |
Найти уравнения касательной плоскости и нормали к |
||
поверхности х2 + 2у2 —3z2 |
+ xy + yz —2xz + 16 = 0 в точке М( 1, 2, 3). |
<3 Обозначив через F(x, у, |
г) левую часть уравнения поверхности, най |
дем частные производные |
|
и их значения в точке М: |
|
||
К ( х, 2/, |
г) |
= |
2ж + у-2г, |
Р^(1,2, 3) |
=-2; |
Fy{x, у, |
z) |
= |
4y + x + z, |
F'y{1,2, 3) |
=12; |
K ( xi Уу z) |
= |
~bz + у - 2ж, |
F j(l,2, 3) |
=-18. |
|
По формулам (б) и (7) имеем |
|
|
|
|
-2(х —1) + 12(у - 2) - 18(г —3) = 0, |
или |
х - 6у + 9z — 16 = О |
||
— уравнение касательной плоскости, |
|
|
|
|
ж —1 |
у - 2 г - 3 |
х —1 |
?у—2 г - 3 |
|
-2 ” |
12 ” -18 ’ ИЛИ |
1 " ” |
-6 “ |
9 |
— уравнения нормали. >
226 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
Особой точкой плоской кривой /(ж*, у) — 0 называется точка М(хо, уо), координаты которой удовлетворяют системе трех уравнений:
/(Яо, уо) = о, |
/'(аг0, уо) = о, |
/у(.т0, Уо) = 0. |
(8) |
Пусть выполнены условия (8), числа |
|
|
|
А = 1"х(хо, Уо), |
В = /"зДжо, Уо), |
С = /уу(х0,уо) |
|
не все равны нулю и Д = АС —В 2. Тогда: |
|
|
|
а) если Д > 0, то М -- |
изолированная точка (рис. 29); |
|
|
б) если Д < 0, то М — |
узел (двойная точка) (рис. 30); |
|
|
в) если Д = 0, то М — либо точка возврата 1 -го рода (рис. 31) или 2-го рода (рис. 32), либо изолированная точка, либо точка само прикосновения (рис. 33).
•М
Рис. 29 |
Рис. 30 |
Рис. 31 |
Угловой коэффициент к = у' касательной к кривой в особой точке находится из уравнения
А+ 2Вк + Ск2 = 0.
Вслучае изолированной точки касательной нет, в узле — две различные касательные; в точке возврата и точке самоприкосновения — одна общая касательная к двум ветвям кривой.
Рис. 32 |
Рис. 33 |
Если Д = 0, то для решения вопроса о типе особой точки нужно изу чить расположение точек кривой в некоторой окрестности особой точки.
В случае трансцендентной кривой могут быть и иные типы особых точек: угловые точки, точки прекращения и т.д.
§ 3. Приложения частных производных |
227 |
Пример 8. Исследовать особые точки конхоиды
(.ж2 + у2)(х - а)2 - Ь2х2 — 0 (а > О, Ь > 0).
<1 Обозначив левую часть уравнения через /(ж, у), найдем частные про изводные и приравняем их нулю:
/я(ж, у) = 2ж(ж - а)2 + 2(ж - а)(ж2 + у2) - 2Ь2х —0,
/у(ж, у) = 2у(ж - а)2 = 0.
Система уравнений имеет единственное решение жо = уо = 0, т.е. кри вая имеет одну особую точку 0(0, 0).
Найдем вторые производные:
1 х х ( х > У ) ~ 2 ( ( ж ” а ) 2 + 2 х ( ж “ а ) + х 2 + У 2 + 2 ж ( ж - о ) - Ь 2 )>
/*у(ж, 2/) = 4у(ж - а),
1уу(х, у) = 2(ж - а ) 2.
Вычислив их значения в точке О, получаем
А = 2(а2 — Ь2), |
В = 0, С = 2а2, |
|
А = АС - В 2 = 4 а 2{а2 -Ъ2). |
|
|
Если а > Ь, то Д > 0, и точка О — изолированная (рис. |
34). Если |
|
а < Ь, то Д < 0, и точка О — |
узел (рис. 35). Если а = Ь, |
то Д = 0. |
Найдем угловой коэффициент касательной:
2(а2 - Ь2) + 2а2к2 = 0, к = -— |
- 0, |
т. е. касательная совпадает с осью Ох.
228 Гл. 8, Диффсренц. исчислснис функций нескольких переменных
Из уравнения кривой получаем (при а — Ь) у — ±----у/2ах~- х2. |
|
х —а |
|
и, следовательно, кривая симметрична относительно оси Ох |
(0 ^х < а; |
а < х ^ 2а). Поэтому при а — Ь О — точка возврата |
1-го рода |
(рис. 30). о |
|
Огибающей семейства плоских кривых называется линия (или со
вокупность нескольких линий), которая касается всех кривых данного семейства, причем каждая ее точка является точкой касания.
Если однопараметрическое семейство кривых /(ж, т/, а) = 0 имеет
огибающую, то ее уравнение можно получить из системы уравнений |
|
/(:с, у, а) = 0, /^(.т, т/, а) = 0. |
(9) |
Исключая из системы (9) параметр а, получим уравнение вида В(х, у) = = 0. Кривая, определенная этим уравнением, называется дискрими нантной кривой. Дискриминантная кривая состоит из огибающей и множества особых точек данного семейства.
Пример 9. Уравнение траектории движения снаряда, выпущенного из точки О с начальной скоростью ?;о под углом а к горизонту (без учета
сопротивления воздуха), есть
дх2
у = х tg а -
Принимая угол а за параметр, найти огибающую всех траекторий сна ряда, расположенных в одной и той же вертикальной плоскости.
<3 Имеем
|
|
дх2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дх, у, а) = х tgn- - — -- — |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2uq cos- |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
дх-sin а |
|
|
х |
f , дх |
|
|||
J a (Xi У‘, а ) = ---~ -9-------г>'---4QO |
Г/л,“ = |
---“ |
V1 ----1“2 |
|
||||||
|
|
t>g cos |
a |
|
cos- а |
|
|
|
||
Составим систему вида (9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
пх~ |
|
|
х |
I , |
|
ах |
\ |
|
|
у = x tga - — т---— , |
— — |
|
J - — tgrv |
J |
= 0. |
||||
|
|
cos4*аcos |
a |
\ |
|
|
|
|
||
Из второго уравнения получим: |
tga |
= |
v2 |
9 |
|
1 |
||||
— и cos2 a |
|
1 4- tg2 а |
||||||||
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
||
(]2Х2 |
Подставляя в первое уравнение, |
найдем уравнение оги- |
||||||||
|
||||||||||
бающей (парабола безопасности):
|
§ 3. |
Приложения частных производных |
229 |
||||
8.229. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к |
|||||||
следующим поверхностям в указанных точках: |
|
||||||
|
|
|
/ |
7Г |
7Г |
Г |
|
а) г |
— 8111 х соу у вточке —, |
—, |
- |
|
|||
' |
|
и |
V4 |
4 |
2 |
|
|
б) г |
= еХС08ув точке |
^1, 7 г, |
|
- |
|
|
|
8.230. Найти расстояние от начала координат до касательной |
|||||||
|
|
|
|
|
х |
(н а |
\ |
плоскости к поверхности |
---у |
— в точке ( — , а, а. . |
|||||
|
|
|
|
|
а |
V 4 |
/ |
8.231. Найти углы, которые образует нормаль к поверхности |
|||||||
|
X |
( |
7Г\ |
|
|
|
|
г — агс(,£ — в точке 1, 1, — |
с осями координат. |
|
|||||
|
У |
V |
4 / |
|
|
|
|
8.232. Для поверхности £ = |
Ах — ху 4- у1 найти уравнение ка |
||||||
сательной плоскости, параллельной плоскости Ах + у + 2г 4- 9 = 0. 8.233. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
следующим поверхностям в указанных точках:
а) |
х(у 4- г)(ху — г) 4- 8 = 0 в точке (2, 1,3); |
||
б) |
2х!2 4- 2у/г = 8 в точке (2, 2, 1); |
|
|
в) г2 4- Аг 4- х2 = 0 в точках пересечения |
с осыо Ог. |
||
8.234. Для поверхности х2 — г2 — 2х 4- 6у = 4 найти уравнения |
|||
|
х 4- 2 |
у |
г + 1 |
нормали, параллельной прямой — -— |
= -■= |
—-— . |
|
8.235. На поверхности х2 4- 2у2 4 |
Зх2 4- 2ху 4- 2хг 4- Ауг — 8 |
||
найти точки, в которых касательные плоскости параллельны ко ординатным плоско стям.
8.236. Показать, что касательные плоскости к поверхности х.2/з ^2/3 г‘2/л __ д2/з отсекают на осях координат отрезки,
сумма квадратов которых постоянна и равна а 2.
8.237. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям, заданным параметрически, в указан
ных точках: |
|
|
||
а) |
х = |
тешер, |
у — г$п\(р, |
г — гс\^а, в точке (/’о, <ро); |
б) |
х = |
и со б у , |
у — г^шг;, |
г — а/и в точке (щ, г>о). |
8.238*. Под каким углом пересекаются цилиндр х2 4- у2 — а2 и гиперболический параболоид Ьг — ху в общей точке (я*о, уо, ^о)?
8.239*. Показать, что следующие поверхности попарно ортого нальны:
а) х2 4- у2 4- г2 — 2ах и х2 4- у2 4- г2 = 2Ьу; б) хуг = а3 и 2г2 — х2 4- у2 4- /{х 2 ~ у2):
в) ху — аг2, х2 4- у2 + г2 — Ь и г2 4- 2х2 = с(^2 4- 2у2).
230 Гл. 8. Диффсренц. исчисление функций нескольких переменных
Исследовать особые точки кривых: |
|
||
8.240. х 2 4-у2 — х4 4- у4. |
|
|
|
8.241. у2(а2 4- х2) — х2(а2 — х2). |
8.242. х2 |
4- у4 — х в. |
|
8.243. у2 = |
{х - I)3. |
8.244. (у |
- 2х2)2 = .г*5. |
8.245. 4у2 = |
ж5 4- 5ж4. |
8.246. у2 |
= ах2 4- х3. |
8.247. у2 = |
1 - е-®2. |
8.248. у2 |
= 1 - е“ *3. |
8.249*. у = |
-- —— . |
8.250* .у |
= хх. |
|
1 4- eJ/^ |
|
|
8.251. Найти огибающую семейства прямых у — ах 4- а2. 8.252. Найти огибающую семейства прямых х cos а 4 -уsin а — р
(р — const, р > 0).
8.253. Найти огибающую семейства окружностей х2 + (у—С )2 = = Ft2 (Л = const).
8.254. Найти огибающую семейства парабол у2 = 2рж 4-р 2. 8.255. Найти огибающую семейства парабол у = За24-2аж — х2.
Ж2 2у
8.256. Найти огибающую семейства эллипсов — 4- т---- гтт = 1 |
|
а2 |
— а)1 |
(I = const).
8.257. Найти огибающую семейства окружностей, проходящих через начало координат и имеющих центр на параболе у2 = 4ах.
8.258. Исследовать характер дискриминантных кривых семей ства следующих линий (С — переменный параметр):
а) кубических парабол у — 1 = (х — С )3; б) полукубических парабол (у — С )2 — (х — С )3; в) парабол Нейля (у — I)3 = (х — С )2;
г) строфоид (а — х)(у — С )2 — х2(а 4- х).
§4. Приближенные числа и действия над ними
1.Абсолютная и относительная погрешности. Пусть число а ес
приближение числа А. Например, А = у/З и а — 1,7. При а > А число а называется приближением по избытку, при а < А — по недостатку.
Так, число 1,73 есть приближение у/3 по недостатку, а число 1,74 — по избытку. Абсолютная погрешность приближения (приближенного
числа) а определяется равенством
Д = |а-А|.
Поскольку точное число А во многих случаях неизвестно, то неиз вестна и абсолютная погрешность Д, однако при этом может быть ука зана верхняя грань абсолютной погрешности. Наименьшая из верхних