Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

за новую функцию гу = \пг —(х + у).

212 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных

<1 Выразим частные производные от 2 по х и у через частные производ­ ные от ги по и и у. Для этого продифференцируем данные соотношения:

йи —2(хс1х + у с1у),

* = -

(1и) — — —(йх + с1у).

перейдя от цилиндрических координат к сферическим (г = р sin0,

ip = ip, z — pcosd).

8.174. Преобразовать уравнение

приняв за новые независимые переменные и — yz — х, v = xz — у и за новую функцию w = xy — z.

х

приняв за новые независимые переменные и = —, и = ж и за

У

новую функцию W = XZ — у.

иза новую функцию и) — геу.

§3. Приложения частных производных

1.Формула Тейлора. Если функция / ( Р ) дифференцируема т + раз в некоторой окрестности II(Ро) точки Ро(х^, . . х^), то для всякой

точки Р (х 1, . . х п) 6 [/(Ро) справедлива ф о р м у л а Т е й л о р а

где Ах\ = х\—х^, . . А х п = х п — х°п, а Р — некоторая точка указанной ОКрССТНОСТИ.

В случае, например, функции /(х , у) двух переменных х и у формула

П р и м е р 1. Функцию }(х, у) = х3 — 5х2 — ху + у2 + 10х + Ъу — 4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2, —1).

<1 Имеем /(2, —1) = 2. Вычислим последовательно частные производ­ ные данной функции и их значения в точке (2, —1):

Все последующие производные тождественно равны нулю. По формуле

(2) получаем искомое разложение

/(ж, у) = 2 + 3(ж —2) + (т/ Н-1) + (ж —2)2 —

- (х - 2)(у + 1) + (у + I)2 + (х - 2)3. >

Пример 2. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1, 1) до членов 2-го порядка включительно функцию

f ( x, у) = ух-

< Имеем /(1, 1) = 1. Вычислим частные производные 1-го и 2-го по­ рядка данной функции и их значения в точке (1, 1):

степеням h и А;, если /(ж, у) = ху2.

8.178. Найти приращение, получаемое функцией /(ж, у) = = —х2 + 2ху + 3у2 — — 2у — А при переходе от значений х = —2, у = 1 к значениям жх = —‘2 + /г, ух = 1 +

8.179. Функцию /(ж, у) = ж3 —2у3+ 3.туразложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2, 1).

216 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных

8.180. Разложить /(ж 4-Л, y+ k, z-f/) по целым положительным степеням /г, к, /, если /(ж, у, г) = а;2 4- 2у2 + 3z2 + xy — 2yz + Зж - - у - 4z + 1.

8.181. Функцию /(ж, у, г) = х2 + у2 + z2 — 2(ху + xz 4- yz) разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1, —1, 2).

8.182. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка включительно функцию f( x , у) = еу cos х.

8.183. Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го порядка включительно функцию /(ж, у) = sinxshy.

8.184. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1, 1) до членов 3-го порядка включительно функцию /(ж, у) =

= У/ж- 8.185. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки

(1,1,0) до членов 2-го порядка включительно функцию / (ж, у, z) = = In (xy + z2).

8.186. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки

2. Экстремум функции. Функция u = f(P ) имеет максимум (ми мум) в точке Po(%i) • • •, х°п), если существует такая окрестность точки Ро, Ддя всех точек Р(х 1, ..., хп) которой, отличных от точки Ро, вы­

полняется неравенство f(Po) > f(P ) (соответственно f(Po) < f(P))- Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.

Необходимое условие экстремума. Если дифференциру­ емая функция f(P ) достигает экстремума в точке Ро, то в этой точке

или df(Po, A x i, ..., Axn) = 0 тождественно относительно Джь ..., Ахп. Точки, в которых выполняются условия (3), называются стацио­ нарными'точками функции и = f(P). Таким образом, если Р0 — точка

экстремума функции и = f(P ), то либо Ро — стационарная точка, либо в этой точке функция недифференцируема.

Достаточные условия экстремума. Пусть Ро(я?> •• ч^п) — стационарная точка функции и = /(Р ), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Ро и все ее вторые частные производные непрерывны в точке Ро. Тогда:

1) если второй дифференциал d2u(Po, Ах\у. . Ахп) как фун ция Ахи . . Ахп имеет постоянный знак при всевозможных наборах значений Дж1, ..., Ахп, не равных одновременно нулю, то функция и — f(P ) имеет в точке Ро экстремум, а именно — максимум при

d2u(Po, Ах\у..., Axn) < 0 и минимум при d2u(Po, Ах\, . . Ахп) > 0;

2) если сРи(Ро, Джх, . . Джп) является знакопеременной функцией Ах\, . . Джп, т. е. принимает как положительные, так и отрицательные значения, то точка Ро не является точкой экстремума функции и = /(Р);

3) если с[2и(Ро, Д.Т], . . Джп) ^0 или (Ри(Ро, Д^ь • • Джп) ^О, причем существуют такие наборы значений Джь Джп, не равных одновременно нулю, для которых значение второго дифференциала обра­ щается в нуль, то функция и = /(Р ) в точке Ро может иметь экстремум,

но может и не иметь его (в этом случае для выяснения вопроса требуется

дополнительное исследование).

В частном случае функции двух переменных достаточные усло­ вия экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть Р0{х0, уо) — стационарная точка функции г = /(ж, у), причем эта функ­ ция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Ро и все ее вторые частные производные непрерывны в точке Ро. Введем обозна­ чения:

А - 1"ЛХо. Уо), В = }”у{хо, у0), С = /'у(х0, г/о)

= АС - В 2.

Тогда:

1) если Б > 0, то функция 2 — /(ж, у) имеет в точке Ро(жо, уо) экстремум, а именно — максимум при А < О (С < 0) и минимум при

А> 0 (С > 0);

2)если Б < 0, то экстремум в точке Ро(жо, уо) отсутствует;

3)если Б = 0, то требуется дополнительное исследование.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию

г= х3 + у3 —3ху.

<Найдем частные производные 1-го порядка и составим систему урав­ нений вида (3):

Затем составим дискриминант О = АС —В 2 для каждой стационарной точки.

218 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных

Следовательно, экстремума в точке Р\ нет. Для точки Р-2

Следовательно, в точке Р-2 функция имеет минимум, равный

х— \ = 1 + 1 —3 = —1.

у = 1

Для того чтобы установить тип стационарной точки, нет необходимо­ сти использовать изложенный выше признак, связанный с определением знаков И и А. Достаточно непосредственно исследовать знак второго дифференциала как квадратичной формы с1х и (1у, используя метод вы­ деления полного квадрата. Так, например, для стационарной точки Р2 имеем:

откуда сразу видно, что при любых (1х и сЬ/, не равных одновременно нулю, сРг > 0 и, следовательно, Р2 — точка минимума. >

Найти экстремумы функций двух переменных:

8.192. г = х3 4- 3ху2 — 15а; - 12у.

8.193. г = 2х3 — ху2 + Ъх2 + у2.

8.194. г = (2х2 + у2)е~'хЧу2\ 8.195. г = 2 - $/х* + у*.

220 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных

при dx2 4- dx2 4- ... 4- dx„ ф 0. А именно, функция f{P) имеет услов­ ный максимум в точке Ро{х®, ..., х°п), если для всевозможных значений

dx1, ..., dxn, удовлетворяющих условиям (5) и не равных одновременно нулю, выполняется неравенство

Если Д < 0, то функция г = /(ж, ту) имеет в точке Ро(хо, уо) услов­ ный максимум; если Д > 0, — то условный минимум.

Пример 4. Найти условный экстремум функции г = х + 2у при

Система уравнений (4) принимает вид

1 4- 2\х —0,

2 4- 2Ау — 0, х2 4- у2 = 5.

d2L — 2\(dx2 4- dy2).