Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с
.pdf§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций |
201 |
где d2u = dx2 —dy2, d2v = 2dxdy. Следовательно,
= (/««(^ dx-y dy) + f ”v(y dx + x dy)) (xdx-y dy) + f'u(dx2 - dy2) + + (f'uv(x dx - y dy) + f"v(у dx + xdy)) (y dx + x dy) + /' • 2dx dy =
=f'uu(x dx - У dy)2 + fuv(y dx + X dy)(x dx -ydy) + f'u(dx2 - dy2) +
+f'uv(xdx - У dy)(y dx + x dy) + f"v(ydx + xdy)2 + 2f'vdxdy =
=fllA *2 dx2 - 2xy dx dy + y2dy2) + 2f ”v(x\y(dx2 - dij2) +
+ (x2 ~ У2) dx dy) + f ”v(y2 dx2 + 2xy dx dy + x2 dy2) + f u(dx2 - dy2) +
+ 2/,' dx dy = (x2f ”u +2xyf”v +y2f"v+ |
dx2+2(xyf'Jv + (x2 - y2) f ”v- |
||||||||
|
- xvfuu + f'v) dxdy + (y2fuu - 2xyf"w + x2f ”v - |
dy2. t> |
|||||||
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
8.114. Найти — , если z = |
e2x~3y, где x = |
tgt, у = |
t2 — t. |
||||||
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
8.115. Найти — , если z = |
xy, где x = lnt, |
у = sint. |
|
||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
8.116. Найти |
|
если г = |
arctg —, где x — e2i +-1, |
у = |
e2t — 1. |
||||
|
|
dt |
|
x ' |
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
yz |
, |
|
|
|
9 |
8.117. Найти — , если м = |
— , где ж = е , у = 1п£, 2 — ^ — 1. |
||||||||
|
|
dt |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
dz |
dz |
|
|
|
|
|
1 |
8.118. Найти — |
и — , если z = |
In (ет + е?/), где у — -ж3 + х. |
|||||||
|
|
ox |
dx |
|
|
|
, |
3 |
|
Л |
тт |
dz |
dz |
|
х + l |
|
|
Гг4-п2 |
|
8.119. Найти — |
и — , если z = arctg---- , где у = ек ^4 . |
||||||||
|
|
ox |
dx |
|
у |
|
|
|
|
|
|
дz |
дz |
|
|
|
у |
|
|
8.120. Найти — |
и — ,если 2 = и2 In г?,где |
и = —, |
v = |
х2 + у2. |
|||||
|
|
ох |
ду |
|
|
|
х |
|
|
8.121. Найти dz, если г = u1v — v2u, где и = |
я sin у, |
г? = у cos ж. |
|||||||
|
|
|
<9-2 |
|
|
|
|
2у |
|
|
8.122. Найти — |
и — , если г = |
/(и, и), |
где г/ = ---- , v — |
|||||
|
|
ох |
ду |
|
|
|
|
х + у |
|
— х2 — Зу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.123. Найти — |
и — , если 2 = |
f(u , v), |
где и = |
In (ж2 — у2), |
|||||
|
|
ох |
ду |
|
|
|
|
|
|
у = ху2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.124. Найти dz, если z = f(u , v), где и = |
cos (xy), |
v —x° — 7y. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
IX |
8.125. Найти dz, если z = |
f (и, v), где и = |
sin-, |
% ) = . - . |
||||||
УV У
202 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
8.126. Найти Ни, если и — /(.т, у, г), где х — з2+Ь2, у = в2-^,
г = |
да |
|
|
|
ди.. |
|
|
|
|
|
|
||
8.127. Найти -— |
и -— , если и — ]{х\, хч, жз> х^), где |
= |
||||
|
дх 1 |
|
|
|
дх-2 |
|
= д(х\, х2), х4 = /г(хи х2, х3). |
|
|
|
|||
8.128. Показать, что функция г = у -(р(соъ (х — у)) удовлетво |
||||||
рит |
дх |
х |
|
|
|
|
ряет уравнению —— 1- — |
= |
|
|
|
||
дх |
ду |
у |
|
|
|
|
8.129. Показать, что функция 2 = x f |
— х2 — у2 удовлетво |
|||||
|
ри |
|
|
|
дх |
|
ряет уравнению х — |
+ у — — 2 -- х2 — у2, |
|
|
|||
|
дх |
|
|
|
ду |
|
|
|
|
|
|
У |
|
8.130. Показать, что функция 2 — — ----- удовлетворяет |
|
|||||
|
|
|
|
1 { х / - у 2) |
|
|
1 дх |
1 |
дх |
г |
|
|
|
уравнению - - — |
|
|
|
|
|
|
х дх |
у ду |
уг |
|
|
|
|
8.131. Показать, что функция и — “7^4 ~ 7 Х^(У+ г) + т:х2Уг + |
||||||
+ /(у — х , 2 — х) |
удовлетворяет уравнению |
|
|
|||
|
|
ди |
ди |
ди |
|
|
|
|
дх |
+ 7 Г + “Т" = х у г ' |
|
|
|
|
|
ду |
дх |
|
|
|
|
д2х |
д2х |
д2х |
|
|
|
8.132. Найти т— |
, т— — , |
т—7, если 2 = |
/(гг, г;), где и = |
ху, |
||
|
дх1 |
дх ду |
ду** |
|
|
|
V — х/у. |
|
|
|
|
|
|
|
д2и |
|
|
8.133. Найти 7г~тг'5 если и = /(гг, у, х), где 2 = ср(х, у). |
|||
дхду |
|
|
|
8.134. Найти все частные производные 2-го порядка от функции |
|||
и = /(ж, ху. хух). |
|
|
|
8.135. Показать, что функция и = хср(х + у) + уф(х + у) удо- |
|||
|
д2и |
д2и |
д2и |
влетворяет уравнению 7—7 — 2——г— Ь т—т = 0. |
|||
|
|
с/х ду |
ду1 |
8.136. Показать, что функция и = |
</?(.ту)+'0 ( - ) удовлетворяет |
||
|
|
|
\У) |
уравнению 9д2и |
9д2,и |
ди |
ди = 0. |
8.137. Найти с?2и, если и — /(£), |
где £ — х2 + у2 + х2. |
||
8.138. Найти с12и, если и = |
/(аж, Ьу, сг). |
||
8.139. Найти г/22, если 2 = |
/(м, г>), где и = я я т у , у — у соях. |
||
§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций |
203 |
2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных.
Пусть уравнение /(х, у) = 0, где / — дифференцируемая функция пере менных х и у, определяет у как функцию х. Первая производная этой неявной функции у = у(х) в точке Хо выражается по формуле
= |
Л ( а ? о , 1/ о ) |
(5) |
|
^ *=*0 |
/»(^0, 2/0) |
||
|
при условии, что /'(.'Со, 2/0) Ф 0, где 2 / 0 = у{хо), /(ж 0, 2/о) = 0.
Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием формулы (5).
с1х (1х2
1 + ху —1п (е'гу + е Г1/) = 0.
О Обозначим левую часть данного уравнения через f(x, у). Тогда
Л (®, у) = У~ |
уеху - уе~ху _ |
2уе~ху |
еху + е -ху ~ |
еху _| е -ху ’ |
|
/ ' (ж, у) = х - |
же1» - хе~ху |
2хе~ху |
|
еху + е -жу |
е*!/ + е ~ху |
По формуле (5) получаем |
|
|
с1у __ 2уе ху __ |
у |
|
с1х |
2хе~ху |
х |
Дифференцируем вторично, учитывая, что у есть функция х:
Пусть уравнение Р(х 1, х2, . . хп, и) —0, где F — дифференцируе мая функция переменных х\, х2, . . хпл и, определяет и как функцию
независимых переменных х\, х2: |
хп. |
Частные производные этой |
|||
неявной функции и = |
и(хх, а?2, • • •, хп) в точке М®(х\, ж®, • • |
ж?г) вы |
|||
числяются по формулам |
|
|
|
|
|
ди |
|
|
{к = 1, 2, ... |
, п) |
(6) |
|
|
|
|||
дхк м=м° |
|
|
|
|
|
при условии, что |
Х21 • • •> |
и°) |
где и° ~ |
и{М°) |
и |
F (M 0, и0) = 0. |
|
|
|
|
|
204 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
Можно также найти частные производные функции и следующим образом. Вычисляем полный дифференциал функции F(x\,х2, • . xn, и), приравниваем его нулю:
dF j |
dF J |
dF |
j |
dF |
-— dxi +-— dx2 + .. |
• + -— |
dxn + — |
||
axi |
aX2 |
dxn |
|
ou |
и выражаем отсюда du.
тт |
с u - dz |
dz |
Пример |
5. Наити — |
и — , если |
|
ох |
dy |
Jr, du = 0
|
|
|
х3 -f 2у3 -f z3 - 3xyz - 2у -f 3 = 0. |
|
|||
О 1-й |
способ.Обозначим |
левую частьданного |
уравнения через |
||||
F(x, у, z). Тогда |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
FL(X>У> z) = 3x2 ” Ъух, |
|
|
||
|
|
|
F 'y(x, у, г) = |
бу2 - За;^ - 2, |
|
||
|
|
|
FJ(a;, 2/, z) = |
3z2 ~ Зжу. |
|
|
|
По формулам (6) получаем: |
|
|
|
|
|||
|
|
<9z _ |
F*x(x, |
у, г) _ Зх2 - 3yz __ х2 |
- yz |
||
|
|
dx |
F'z(x, |
у, 2?) |
3z2 —3xy |
xy —z2"* |
|
|
dz _ |
Fy(x, у, г) |
^ 6?/2 - Зжг - 2 _ |
бу2 - 3:rz —2 |
|||
|
<9y |
FL(x,y,z) |
3z2 —3xy |
3(xy —z2) |
|||
2-й |
способ. Дифференцируем данное уравнение: |
||||||
Зж2 dx -f 6?/2 dy -f 3z2 dz - 3yz dx —3xz dy - 3xy dz - 2dy = 0.
Отсюда выражаем dz:
3(ж2 - yz) dx -f (6y2 —3xz - 2) dy 3(xy - z2)
n |
« |
. |
dz |
, |
dz , |
Сравнивая с формулой dz = — ax + — ay, получаем |
|||||
|
|
|
ox |
|
dy |
|
dz _ |
x2 —yz |
dz _ 6y2 —3xz —2 |
||
|
dx |
xy —z2’ |
dy |
3(xy —z2) |
|
|
8.140. Найти dx |
если x2e2y — y2e2x — 0. |
|||
|
dy |
|
|
|
|
8.141. Найти — , если у sin x — cos (x — y) = 0. dx
§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций |
205 |
||||||||
|
(1_У |
<12у |
|
|
|
у. |
|
|
|
8.142. Найти — , |
— т, если х + у = ех |
|
|
|
|||||
|
(1х |
ах/ |
|
|
|
|
|
|
|
тт |
с1у |
(Iу |
|
|
|
|
|
|
|
8.143. Найти — , |
— г, если х — у 4- ап ^ у — 0. |
|
|
||||||
|
ах |
ах/ |
|
|
|
|
|
|
|
8.144. Найти |
|
|
(Ру |
(ру |
|
, если х |
+ 2ху 4- |
||
ах |
х=\ ’ |
с1х2 X—1 ’ сЬ3 |
х—1 |
||||||
|
|
2/=1 |
|
2/=1 |
|
у- 1 |
|
|
|
4- у — Ах + 2у — 2 — 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
дх |
дх |
|
|
|
|
|
|
|
8.145. Найти |
— |
и — в точке |
(1, —2, 2), |
если |
г3 — 4ху + |
||||
|
ах |
ду |
|
|
|
|
|
|
|
+у2 - 4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.146. Найти ~т~ и — , если 2 1п (х + х) — — = 0. |
|
|
|||||||
|
ох |
ду |
|
|
• |
2 |
|
|
|
|
|
^2, |
|
|
|
|
|
|
|
8.147. Найти — |
и — , если Р (х + у + 2, х2 + у2 + г2) = 0. |
||||||||
|
дх |
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
Яг |
г)У |
|
|
|
|
|
|
|
8.148. Найти — |
и — , если /(ух, ехг) = 0. |
|
|
|
|||||
|
дх |
ду |
|
|
|
|
|
|
|
8.149. Найти (1х, если уг = |
arctg (хх). |
|
|
|
|
||||
8.150. Найти с1х, если хх — ег!у + х3 + у3 — 0. |
|
|
|||||||
|
|
дz |
д2z |
|
|
|
|
|
|
8.151. Найти — , — , -—— , если х2 —2?у2+22 —4.Х+22 —5 = 0. |
|||||||||
|
дх |
ду |
дх ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
д2х |
д2х |
|
|
|
|
|
|
8.152. Найти — г, —-— |
— -, если х + у + 2 = ег. |
|
|||||||
|
дхг |
дх ду |
ду1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
у 2 |
X2 |
|
|
|
|
8.153. Найти (12х, если — |
+ — -- - = |
1. |
|
|
|
||||
|
|
|
а 1 |
Ъ1 |
с |
|
|
|
|
8.154. Показать, |
что |
функция |
2, определяемая |
уравнением |
|||||
ср(сх — ах, су — Ьх) = 0, где (р — произвольная дифференцируемая функция двух переменных, удовлетворяет уравнению
дх |
дх |
|
|
а — |
4- о— |
= |
с. |
дх |
ду |
|
|
8.155. Показать, что функция |
2, |
определяемая уравнением |
|
(х—а с о $ а )2 + ( у - а з т а ) 2 = |
( ---- |
] |
, где а, а, т — постоянные, |
|
V т |
) |
|
удовлетворяет уравнению
206 Гл. 8. Дифференц. исчисление функции нескольких переменных
8.156. Показать, что функция 2, определяемая уравнением у = = х,ф(г) Л- ф(г), удовлетворяет уравнению
d2z |
dz\2 |
tdz dz d2z |
d2z |
2 |
|
||||
д х 2 |
д у ) |
J дх ду дх ду |
ду2 £а ) = ° - |
|
3. Системы неявных и параметрически заданных функций. Ограни
чимся рассмотрением функций двух независимых переменных. |
Пусть |
система двух уравнений |
|
F(x, у, u, v) = 0, |
(7) |
G(x, у, u,v) = 0 |
имеет решение х — хо, у = Уо, и = ио и у = г>о, причем функции Р и й имеют в окрестности точки Ро(хо, уо, щ, уо) непрерывные частные производные первого порядка и якобиан
<9F 8F
G)öu dv
D(?x, u) |
OG |
dG |
|
3« |
dv |
отличен от нуля в точке РоТогда в некоторой окрестности точки Ро си стема (7) определяет единственную пару непрерывных функций и(х, у)
и у(;х, у), имеющих непрерывные частные производные и удовлетворяю щих условиям
|
и(х0, Уо) = «о, |
|
2/о) = «о- |
|
||
Дифференциалы этих функций с1и и с1у (а значит, и частные произ |
||||||
водные) можно найти из системы уравнений |
|
|||||
ЭР |
, |
<9Р |
7 |
|
|
|
— |
+ — йу + — йи + — - йу = О, |
|||||
от |
|
|
|
сш |
от |
|
а с , |
а с |
, |
ев . |
а с , |
Л |
|
— |
(1х + — |
йу + — йи + — йу = 0. |
||||
аж |
|
ду |
|
ои |
ду |
|
Пример 6. Функции ии у независимых переменных х и у заданы |
||||||
неявно системой уравнений |
|
|
|
|
||
|
и + у = х, |
|
уу = 0. |
|
||
Найти du, dy, d2u, d2y. |
|
|
|
|
|
|
a « |
Э Д |
G) |
|
|
—у —1 отличен от нуля при |
|
<3 Якобиан системы------ |
|
|
||||
|
D(it, г>) |
|
|
|
|
|
у ф —1. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие дифференциалы всех четырех переменных:
du -f dy = dx, du — ydy — ydy — 0.
§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функции |
207 |
|||||
Решая эту систему относительно с1и и <1у при у ф —1, получим |
|
|||||
|
, |
у (1х + V с1у |
|
(1х —V (1у |
|
|
|
(Ш — ------- (IV = |
1 + у |
|
|
||
|
|
1 + 2/ |
|
|
|
|
Дифференцируем повторно |
|
|
|
|
||
,2 _ (Лх(1у + (]у(1у){1 4 у) —с1у(у (1х -+У(1у) |
|
|
||||
(12и — |
|
(1 + у)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(НхНу + (с1х - ьНу)/( 1 + у)Ну)(1 + у) - с1у(ус1х + 1>(1у) |
|
|||||
= |
|
( 1 |
+ у ) 2 |
|
“ |
|
(1 + у) <1хНу + НхНу — Vс/г/2 |
— у Нх Ну — V с1у2 |
2(с1х Ну — V Ну2) |
||||
|
|
(1 + у)2 |
|
|
(1 + у)2 |
|
-Ну Ну(1 + у) —Ну(Нх —V <1у) |
|
|
|
|||
Н V |
|
|
|
|
|
|
|
(1 +у)2 |
|
|
|
|
|
— |
(Нх — V Ну)/{1 + у) Ну(1 + у) —Нх (1у + V Ну2 |
|
||||
- |
|
(1 + у)2 |
|
: |
|
|
—(1хНу + V Ну2 —НхНу -\-у Ну2 |
2(г> Ну2 —Нх Ну) |
|
||||
|
|
(1 + у)2 |
|
(1 + у)'2 |
|
|
Пусть функция г независимых переменных х н у задана параметри |
||||||
чески уравнениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У(и, и)* |
|
|
|
|
|
|
дх |
дх |
|
|
|
|
Р{х, у) |
ди |
ду |
|
|
|
|
£>(«, у) |
ду |
ду |
|
|
|
|
|
ди |
ду |
|
|
в окрестности точки Р(щ, Уо). Тогда дифференциал Нг этой функции
(а значит, и ее частные производные) в окрестности точки Р можно найти из системы уравнений
208 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
dz dz
Пример 7. Найти — и — , если
ох оу
|
x = u cost», |
у —u sint>, z — cv. |
|
<1 Имеем |
|
|
|
D(x, у) |
cosv |
—u sin г? |
— u ф 0 при u ф 0. |
D (u, v) |
sin v |
u cos v |
|
Дифференцированием находим три уравнения, связывающие дифферен циалы всех пяти переменных:
dx = cost» du —u sin v dv, dy = sin v du + u cosv dv, dz — cdv.
Из первых двух уравнений найдем dv:
cos vdy —sin v dx dv = ------------- .
u
Подставим найденное значение dv в третье уравнение:
с
dz = ~(cos vdy —sinvdx). u
Отсюда
dz _ |
csint> |
dz |
_ |
с cosv |
dx |
u ’ |
dy |
|
u |
8.157. Функции у и z независимой переменной ж заданы систе мой уравнений
|
|
7х2 + у2 — 3z2= —1,4ж2 + 2у2 — |
3z2 = 0. |
||||
тт |
dy |
dz |
d2y |
d2z |
|
|
|
Найти — , — , |
— |
, — ^ при х |
= 1, у = |
-2, г = 2. |
|||
|
dx |
dx |
ах1 |
ах1 |
|
|
|
|
8.158. Функции у и z независимой переменной ж заданы систе |
||||||
мой уравнений |
|
|
|
|
|
||
|
|
ж2 + у2 - z2 = 0, |
ж2 + 2у2 + Зг2 = 1. |
||||
Найти dy, dz, d2y, d2z. |
|
|
|
||||
|
8.159. Функции u и г; независимых переменных ж и у заданы |
||||||
неявно системой уравнений |
|
|
|
||||
|
|
|
xu + yv = 1, |
x + y + u-{-v=:0. |
|||
Найти du, dv, |
d2v. |
|
|
|
|||
|
|
_ |
|
|
|
|
o r * |
|
8.160. Показать, что ж— +y — -fz — = 0, еслиш = Зж—2y-fz, |
||||||
|
|
|
|
аж |
<9y |
02: |
|
г;2 =1 ж2 + у2 + г2.
§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций |
209 |
|||||
dz |
dz |
|
|
|
|
9 9 |
8.161. Найти —- и — , если х — u + v, |
у = и — v, |
z ~ u v . |
||||
ox |
оу |
|
|
|
|
|
dz |
dz |
|
|
|
|
|
8.162. Найти — |
и — , если х — acosuchv, |
у ~ 6sin weh/;. |
||||
ох |
оу |
|
|
|
|
|
z = cshv. |
|
|
|
|
|
|
8.163. Найти dz, если х ~ еи cost;, |
у = |
еи sin?;, |
z = |
иг;. |
||
8.164. Найти dz, |
если х — и + v, |
у = |
и2 + v2, z |
= |
г/,3 + г;3 |
|
(и # v). |
|
|
|
|
|
|
4. Замена переменных в дифференциальных выражениях. Часто дифференциальных выражениях входящие в них производные по одним переменным необходимо выразить через производные по новым пере менным.
Пример 8. Преобразовать уравнение
|
|
х ± |
= 0 |
1 |
’ dx2 |
dx |
’ |
полагая х = cos t. |
|
|
|
<1 Выразим производные от у по х через производные от у по t: |
|||
dy |
dy/dt |
dy/dt |
|
dx |
dx/dt |
—sin t ’ |
|
d2y |
d |
f dy\ |
(d/dt)(dy/dx) __ |
|
|
|
|
dx2 |
dx |
\dx) |
dx/dt |
|
|
|
|
|
_ |
—sin£ • (d2y/dt2) + cos t • (dy/dt) __ |
1 |
d2y |
cos t |
dy |
|
|
|
|
sin2 t • (- sin£) |
sin2 t |
dt2 |
sin3 t |
dt |
Подставим полученные выражения производных в данное уравнение и заменим х на cost:
9ч / |
1 |
|
d?y |
cost |
dy\ |
( |
1 |
dy\ |
1 - cos2 t) |
— 5--- |
r 4 |
-------------------- |
|
|
5----- |
г - cost |
|
|
sin |
t |
dt2 |
sin £ |
d t) |
I |
suit |
dt ' |
d2y
Пример 9. Преобразовать уравнение
приняв х за функцию, а у за аргумент.
210 |
Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных |
|||||||||
< Выразим производные от у по х через производные от х по у: |
||||||||||
dy |
1 |
d2y |
d f |
1 |
\ |
d f |
1 |
\ |
dy |
|
dx |
dx/dy' |
dx2 |
dx \dx/dy J |
dy \dx/dyJ |
dx |
|
||||
|
|
|
|
|
|
_ d2x/dy2 |
|
1 |
d2x/dy2 |
|
|
|
|
|
|
|
(dx/dy)2 |
dx/dy |
(dx/dy)6 |
||
Подставим эти выражения производных в данное уравнение: |
|
|||||||||
|
|
|
drx/dy2 |
о |
^ |
О |
|
|
|
|
|
|
|
(dx/dy)3 |
^ |
(dx/dy)2 |
|
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2x |
dx |
|
|
|
|
||
|
|
|
dy2 |
У dy |
> |
|
|
|
||
|
Пример |
10. Перейти к полярным координатам в выражении |
||||||||
|
|
|
|
„ |
х + уу' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = -;---. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ху —у |
|
|
|
|
|
< Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х — г cos р, |
У — г sin р, |
|
|
|
|||
|
dx = |
cos (f dr —r sin p dtp, |
dy —sin у dr -f |
r cos p dip. |
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
dy |
sin (/? |
dr -f ?* cos d(/? |
|
|
|||
|
|
^ |
dx |
cos (p d,r —r sin ipdp ’ |
|
|
||||
Подставим выражения x, ?/, у' в Л: |
|
|
|
|
|
|||||
|
r COS p + r Sin P |
sin о? dr + r cos о? do? |
|
. , , |
|
|||||
|
• ----- :----- ;----— |
_ |
|
|||||||
|
^ __________________ cos pdr - r sin p dp |
|
|
|||||||
|
|
sin 09 dr -f r cos <£>dp |
. |
|
r |
|
||||
|
r cos 09 ------ -------- — —r sm p |
|
|
|
||||||
|
|
cos pdr - r sm ^d<£ |
|
|
|
|
||||
|
Пример |
11. Преобразовать >равнение |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2922 |
|
0d2z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
X 0x2 |
Г dy2 ~ |
|
|
|
|
||
X
перейдя к новым независимым переменным и и v, если и — :гг/. v — —.
У
<1 Выразим частные производные or z по х и у через частные производ ные от z по и и V.
Имеем |
|
|
|
|
<9гг _ |
dv _ |
1 |
<9u __<9г> |
х |
дх |
^ дх |
у 5 |
ду |
у2' |