Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

Функция и = /(ж1, х2, ..., хп) называется однородной функцией степени т , если для любого действительного числа £ / О справедливо равенство

Если однородная степени т функция и = /(х^ ж2, ..., хп) имеет частные производные по каждой из переменных, то выполняется соот­

ношение (теорема Эйлера)

Х2, •• • , *п) + Х2 ?Х2{Х1, 12, ... , хп) + ...

••• + хп1'Хп{х1, .т-2, ... , а-„) = т^{х\, х2, ... , хп).

Пример 6. Проверить теорему Эйлера, если

< Имеем

/(£ж, £у) = А(1х)2 + 2В(1х)(1у) Н- С(гу)2 — ^/(х, г/).

Частными производными 2 го порядка функции и —f{т 1,.г2-- ,£,г) называются частные прою йодные от ее мое:чтых производных пер­ вого порядка. Производите :.г;.*ро,'о нсрпчка обозначаюсся следующим

192 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных

и т . д.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные по рядна выше второго.

Результат многократного дифференцирования функции по различ­ ным переменным не зависит от очередности дифференцирования при условии, что возникающие при этом «смешанные» частные производ­ ные непрерывны.

Пр и мер 7. Найти частные производные 2-го порядка функции г -~

- аг^ ” .

х

<3 Имеем (см. пример 5)

C OS v 2

8.59. 2 ---- 8.60. z = ух.

194Гл. 8. Дифферснц. исчисление функций нескольких переменных

/\2

8.79. Показать, что — + — + x + z = 0, если 2 = \е~'2у +

\дх) ду

t — х

у- Z

8.82.Показать, что функция и = A sin Ах cos аА£ удовлетворяет

имеет частные производные /^(х, у) и / у(х, у) в точке (0, 0), хотя и разрывна в этой точке.

8.86*. Показать, что для функции

значение второй смешанной производной в точке (0, 0) зависит

4. Дифференциал функции и его применение. Полным приращением функции и = / (* 1, Х2 , . . хп) в точке Р(х 1, х2, • • Хп), соответствую­ щим приращениям аргументов Дх1, Дх2, • • •, Джп, называется разность

Функция и = f(P ) называется дифференцируемой в точке (х\,х*2, . . хп), если всюду в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде

Ди = А\Д.Т1+ А2Дх2 + • • • + ^пД^п + о(р),

этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно Дх*1, Дх2, . . Дхп, т.е.

(1и = Дх1+ А2Ах2 + ... + АпАхп.

Дифференциалы независимых переменных по определению принима­ ются равными их приращениям:

с1х\= Дх1, Ах2 —Дх25 ... , Ахп — Дхп.

А/(гс, г/) = (х + Ах)2(у + Ау) - х2у =

= 2хуАх + х2Ау + 2хАхАу + ?/Д.г’2 + Ах2А у, А/(х, у) = 2хуАх + х2Ау. >

196 Гл. 8. Дифференц. исчисление функции нескольких переменных

Пример 9. Найти дифференциал функции

/(*, у, *) = - / = = = • V х + У

2-й способ. Применяя правила дифференцирования, имеем:

Дифференциалом 2-го порядка (12и функции и = }{х\, х2, •••, хп)

называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассма­ триваемого как функция переменных х2, . . хп при фиксированных значениях (1х\, (1х2, • . Лхп:

сРи = (1{(1и).

Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка:

(Ри — (1(сРи),

Вообще,

сГпи = (1((Г-1и).

Дифференциал т-го порядка функции и = /(х\,х2, ..., ж„) где х\, х2, ..., хп — независимые переменные, выражается символической фор­ мулой

менных х и у для дифференциалов 2-го и 3-го порядков справедливы формулы

Пример 11. Найти d22:, если г = еху. < Имеем (по правилам дифференцирования)

dz = еху d(xy) = exy(ydx -f жс/у).

Дифференцируем вторично, учитывая, что йж и dy не зависят от ж и у (т.е. считая dx и dy постоянными):

d2z — еху d(xy) • (у dx + ж dy) + еху d(y dx + ж dy) =

198Гл. 8. Диффсренц. исчисление функций нескольких переменных

8.87.Найти полное приращение и дифференциал функции г = = х2 — ху + у2, если х изменяется от 2 до 2,1, а у — ох 1 до 1,2.

8.88.Найти полное приращение и дифференциал функции г =

= lg (ж2 + у2), если х изменяется от 2 до 2,1, а у — от 1 до 0,9.

Найти дифференциалы функций:

8.97.sin 28° -cos 61°.

8.98.Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: ра­

диус основания R — 2,5 м, высоту Н = 4 м и толщину стенок / = 1 дм. Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана.

8.99.Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: а =

=2 м, b = 3 м, с — 6 м. Найти приближенно величину изменения длины диагонали параллелепипеда, если а увеличится на 2 см, b — на 1 см, а с уменьшится на 3 см.

8.100. В усеченном конусе радиусы оснований R = 20 см, г = = 10 см, высота h = 30 см. Как приближенно изменится объем конуса, если R увеличить на 2 мм, г — на Змм и h уменьшить на 1 мм?

Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функ­ ций (ж, у, z — независимые переменные):