Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 11

5.43.Описать перечислением всех элементов множества A U B

АП В , А\В и В\А, если

А = {х G R |х2 + х — 20 = 0}, В = {х G К.|х2—х + 12 = 0}.

Запись m |п, где ш, n G Z, означает, чточисло га есть дели­ тель числа п. Описать следующие множества:

5.44. {х G N |х |8 и х Ф 1}. 5.45. {х G Z |8 |х}.

5.46.{х G N |х 112} П {х G N |х |8}.

5.47.{х G N |12 |х} П {х G N |8 |х].

5.48.Доказать, что:

а) равенство А Г) В — В верно в том и только том случае, когда

В С А;

б) равенство A U B = В верно в том и только том случае, когда

А С В .

5.49. Пусть А = (—1, 2] и В = [1, 4). Найти множества А U jB, А П J3, А\В, В\А и изобразить их на числовой оси.

Приняв отрезок Т = [0, 1] за универсальное множество, найти

иизобразить на числовой оси дополнения следующих множеств:

5.50.{0, 1}. 5.51. (1/4, 1/2). 5.52. (0, 1/2].

5.53.{1/4} U [3/4, 1).

5.54.Доказать, что операция взятия дополнения обладает свой­ ством рефлексивности:

атакже связана с отношением включения С и операциями U и П следующими законами двойственности:

5.55. Доказать, что операции U и П связаны законами дистри­ бутивности:

{А U В) п С = (А П С) U (В П С), {А П В) U С = {А U С) П (В U С).

Используя результаты задач 5.54 и 5.55, доказать следующие равенства:

5.56.А\В П (А и В) = А.

<Так как А и В = А П В, то левая часть доказываемого равенства принимает вид

(А\В) П (АПВ) = (А\В)и(АиВ) = А. >

5.57. А\В = А П В . 5.58. А\В = А и В .

5.59. АП{А\ В) = А П В .

Операции и и П естественным образом обобщаются на случай произ­ вольного (конечного или бесконечного) семейства множеств. Пусть, на­ пример, задано семейство множеств Лп, п 6 N. Объединение множеств этого семейства обозначается символом и Ап и определяется как мно-

пем жество всех тех элементов, каждый из которых принадлежит по мень­

шей мере одному из множеств Ап. Пересечение П Ап определяется как пен

множество всех элементов, принадлежащих каждому из множеств Ап.

Для заданных семейств множеств АП) п Е М, найти и Ап и

П Ац:

5.63. Пусть А — множество всех точек плоскости, образующ стороны некоторого треугольника, вписанного в заданную окруж­ ность. Описать (словесно) объединение и пересечение всех таких множеств, если:

а) треугольники произвольные; б) треугольники правильные; в) треугольники прямоугольные.

Множество X называется счетным, если может быть установлено взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и элементами множества N всех натуральных чисел.

Пример 2. Показать, что множество Z всех целых чисел счетно. <] Установим взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и натуральными числами, например, упорядочив множество Ъ следующим образом:

0, 1, - 1, 2, - 2, 3, -3, . .. ,

а затем всякому целому числу поставив в соответствие его порядковый номер в этой последовательности. >

бесконечное подмножество, то множество А также счетно. Исполь­ зуя этот результат, доказать, что множество

{п Е Ъ |п — к2 — к + 1, к Е М}

счетно.

5.68. Пусть Х\, Х 2, . . Х п, ... — счетные множества. Дока­

зать, что их объединение и Х п — счетное множество. пЕМ

множество всех рациональных чисел.

5.70.Множество всех точек плоскости с рациональными коор­ динатами.

5.71.Множество всех многочленов с рациональными коэффи­

циентами.

3. Верхние и нижние грани. Пусть X — произвольное непустое мн жество действительных чисел. Число М —ш ахХ называется наиболь­ шим (максимальным) элементом множества X , если М Е X и для всякого х Е X выполняется неравенство х ^ М. Аналогично опре­

деляется понятие наименьшего (минимального) элемента га = m inX множества X .

Множество X называется ограниченным сверху, если существует действительное число а такое, что х а для всех х Е X . Всякое число, обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества X . Для заданного ограниченного сверху множества X множество всех его

14 Гл. 5. Введение в анализ

верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точ­ ной верхней гранью множества X и обозначается символом supX. Оче­ видно, sup X = maxX тогда и только тогда, когда supX £ X .

Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества,

нижней грани и точной нижней грани множества X; последняя обо­ значается символом inf X.

Множество X , ограниченное сверху и снизу, называется ограни­ ченным.

Пример 3. Найти точные верхнюю и нижнюю грани множества [О, 1).

<Это множество не имеет наибольшего элемента, так как для всякого

х6 [0, 1) найдется у 6 [0, 1) такое, что у > х. Множество верхних

граней для полуинтервала [0, 1) — это множество [1, Н-оо) с наименьшим элементом, равным 1. Поэтому

sup [0, 1) = 1,

причем 1 £ [0, 1).

С другой стороны, наименьший элемент для рассматриваемого мно­ жества [0, 1) существует и равен 0. Множество нижних граней — это множество (—00, 0] с наибольшим элементом, равным нулю, который и является точной нижней гранью полуинтервала [О, 1). Таким образом,

а) Указать наименьший и наибольший элементы этого множе­ ства, если они существуют.

б) Каковы множества верхних и нижних граней для множе­ ства X ? Найти s u p X и infX .

Для следующих множеств найти maxX, m i n X , s u p X и inf X, если они существуют:

5.78.X — G R |х = — ; т , п € N и т < п|.

5.79.Пусть X — множество всех рациональных чисел, удовле­ творяющих условию г2 ^ 2. Показать, что множество X не имеет наибольшего элемента. Найти supX .

§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 15

5.80. Пусть I С К — произвольное ограниченное множество. Доказать, что множество —X = {х | — х Е X } также ограничено и справедливы равенства

sup (—X ) — — inf X , inf (—X ) = — sup X .

5.81. Пусть X , У С й — произвольные ограниченные сверху множества. Доказать, что множество

X + Y = {z Е М| z = х + у, х Е X , у Е У}

ограничено сверху и

sup (X + Y ) = sup X + sup У.

5.82. Пусть X С R — ограниченное сверху и Y С R — огра­ ниченное снизу множества. Доказать, что множество

X — У = {Z E M | Z = X — у, х Е X , у Е У }

ограничено сверху и

sup (X — У) = sup X — inf У.

4. Логическая символика. При записи математических рассуждени целесообразно применять экономную символику, используемую в логике. Мы укажем здесь лишь несколько наиболее простых и употребительных символов.

Пусть а, /3, ... — некоторые высказывания или утверждения, т. е. повествовательные предложения, относительно каждого из которых можно сказать истинно оно или ложно.

Запись а V /3 означает «а или /3» (V — символ дизъюнкции). Запись

Vx G X а(х)

означает: «для всякого элемента х € X истинно утверждение а(х)» (V —

квантор всеобщности).

Запись

3 х Е X а(х)

означает: «существует элемент х Е X такой, что для него истинно утвер­ ждение а(х)» (3 — квантор существования).

Если элемент х Е X , для которого истинно утверждение а (ж), не только существует, но и единствен, то пишут:

3! х Е X а(х).

б) VА £ Ш (Vх Е X (х ^Л) => А ^М) (т. е. М — наименьшая из верхних граней множества X).

Условие б) может быть записано также в следующей эквивалентной форме (см. задачу 5.72):

Vе: > 0 Зх Е X (х > М - е). \>

Пример 5. Используя логическую символику, сформулировать принцип математической индукции.

< Пусть a — некоторое утверждение, имеющее смысл для всех п Е N. Введем множество

А= [п Е N |а(п)},

т.е. множество всех тех натуральных чисел, для которых утверждение

аистинно. Тогда принцип математической индукции можно сформули­ ровать следующим образом:

Так как запись а(п) означает, что утверждение а истинно для числа п Е N, то утверждение (3) можно записать и иначе:

(а(1) А (а(п) => а(п + 1))) => Vn Е N а(п). >

Пример 6. Записать отрицания высказываний: \/х £ X а(х) и Зх Е X а(х).

<] Отрицание высказывания Vx Е X а(х) имеет вид Зх Е X а(х) (су­

ществует элемент х £ X такой, для которого утверждение а(х) ложно). Иначе говоря, для любого утверждения а истинно следующее высказы­ вание: ____________ ____

Vх £ X а(х) & Зх £ X а(х).

Аналогично ____________ ____

Зх Е X а(х) 4>Vx £ X а(х). >

Пример 7. Используя логические символы, записать утверждение: «функция /: X —> М, X С М, непрерывна в точке а Е X», а также его отрицание.

<] Исходное утверждение:

удовлетворяющего, условию \х—а\< выполняется неравенство |/(.т) —

— f (а) |< е). Отрицание этого утверждения:

удовлетворяющее условиям \х —а\< S и \f(x) —f(a)\ ^е). >

Прочитать приведенные ниже высказывания, выяснить их смысл и установить, истинны они или ложны (символами х, у ) 2, а, 6, с всюду, где это специально не оговаривается, обозначены действительные числа).

5.83. а) Ух Зу (х + у = 3); б) ЗуМ х (х + у — 3); в) 3 х, у (х + у = 3); г) Ух, у (х + у = 3).

5.86.Ух, у (х2 Ф 2у2).

5.87.V х (х2 > х < = > х > 1 У х < 0 ) .

5.88.Vх (х > 2 Л х > 3 4Ф 2 < х ^ 3).

5.89.3 х (х/х2 < х).

5.90. а) У а, Ь, с(3 х (ах2 + Ьх + с = 0) 4Ф Ъ2 —4ас ^ 0); б) V а, Ь, с (Ух (ах2 + Ьх + с > 0) 4Ф Ь2 —4ас < 0 Л а > 0). 5.91. а) У Ь З а У х (х2 + ах + Ь > 0); б) 3 ЬУ а 3 х (х2 + ах + Ь = 0); в) 3 а У Ь3 х (х2 + ах + Ь = 0).

Установить точный смысл приведенных ниже высказываний и записать их с использованием логической символики, сформули­ ровать и записать их отрицания.

5.92. а) Число хо есть решение уравнения /(х) = 0.

б) Число хо есть единственное решение уравнения /(х) = 0. в) Уравнение /(х) = 0 имеет единственное действительное ре­

шение.

5.93. а) Множество X С М ограничено сверху.

б) Число га есть наименьший элемент множества X . в) Множество X имеет наименьший элемент.

5.94. а) Число ?п Е 2 является делителем числа п Е Ъ, или в

в) Число р Е N простое.

§2. Функции действительной переменной

1.Понятие функции. Пусть В — произвольное множество дейст тельных чисел. Если каждому числу х £ Б поставлено в соответствие

некоторое вполне определенное действительное число /(х), то говорят, что на множестве В определена числовая функция /. Множество В на­ зывается областью определения, а множество

Е = {у £ Ш \у = /(х), х £ В )

— множеством значений числовой функции /. Символически функция записывается в виде /: В -» Е или у —/(х).

Наиболее распространенным является аналитический способ зада­ ния функции. Он состоит в том, что с помощью формулы конкретно

устанавливается алгоритм вычисления значений функции у = /(х) для каждого из значений аргумента х. В этом случае область определения функции обычно не указывают, понимая под нею то множество значений аргумента х, для которого данная формула имеет смысл (естественная

область определения функции).

Пример 1. Найти область определения и множество значений функ­

ции / ( х) = \j\f\—х2.

<] Естественной областью определения этой функции является множество В — {х |\х\< 1} = (—1, 1), а множеством значений — множество Е =

= {у\у > 1} = [1, +оо). о

Пусть функция /: В -» Е такова, что для любых х\, Х2 Е В из условия х\ ф Х2 следует /(х\) ф /(х 2). В этом случае всякому числу у Е Е может быть поставлено в соответствие некоторое вполне опреде­ ленное число х Е В такое, что }(х) = у; тем самым определена новая

функция /~ 1: Е —> Б, называемая обратной к заданной функции /. Пусть заданы функции /: I 4 У и д: У -* Е. Их композицией

(или сложной функцией, полученной последовательным применением

функций / и д) называется функция Н = д о /: X -» Е, определяемая равенством

К х) = 9 {1 {х)), х е х .

5.95.Найти функциональную зависимость радиуса Л цилиндра от его высоты Н при данном объеме V = I.

5.96.Написать выражение для объема V конуса как функции его боковой поверхности 5 при данной образующей I = 2.

5.97.Написать выражение для площади 5 равнобочной тра­ пеции с основаниями а = 2 и Ь = 1 как функции угла а при основании а.

5.98.С момента покоя Ьо тело движется с постоянным ускоре­ нием а. Найти зависимость скорости и пройденного пути от време­

ваниям и отстоящая от вершины А

на расстояние АМ\ = х. Выразить площадь фигуры А ВА ТМ как функцию переменной х.

5.100. В шар радиуса Я вписан цилиндр. Написать функцио нальную зависимость объема V цилиндра от его высоты Н . Найти область определения ятой функции.

5.101. В шар радиуса Я вписан прямой круговой конус. Напи­ сать функциональную зависимость площади боковой поверхности 5 конуса:

а) от его образующей /;

Найти области определения каждой из полученных функций.

20 Гл. 5. Введение в анализ

Найти м ножество нулей Do = {x\f(x) = 0}, область поло­ жительности D+ = {х |f(x ) > 0} и область отрицательности

Функция f(x ) называется четной (нечетной), если ее область определения симметрична относительно точки х = 0 и f ( —x) = f(x)

(/(-я) = “ /(*))•

Какие из указанных в задачах 5.134-5.139 функций четные, какие нечетные, а какие не являются ни четными, ни нечетными?

1 х 5.138. /(х) = sinx — cosх. 5.139. /(х) = lg -— -.

5.140. Доказать, что произведение двух четных или двух н четных функций есть функция четная, а произведение четной и нечетной — нечетная функция.