Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

кМ = gR2, а потому

Fг = mg—Д2 .

Следовательно, искомая работа равна

R+h. R+h

Отсюда при h -> 4-oo имеем

lim А = mgR. >

/t—>+co

Пример 6. Вычислить кинетическую энергию однородного круго­ вого конуса, вращающегося с угловой ско­

ростью to вокруг своей оси, если заданы радиус основания конуса Д, высота Я и плотность 7.

< Кинетическая энергия тела, вращающе­ гося вокруг некоторой оси с угловой скоро­

стью и, равна 2^ 2’ где ^— момент инер­

ции тела относительно оси вращения. За элементарную массу dm примем массу полого цилиндра высоты h с внутренним

Тогда dm = 2'Krh^dr (0 ^ г ^ Д). Из подобия треугольников 0CJ9 и О/Ш имеем

ЛН

Следовательно,

Ат — 2'К'^Н ^1 — г dr,

и элементарный момент инерции dI равен

= дт • г2 = 2тг'уН ^1 — г3 Аг.

182Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной

икинетическая энергия конуса равна

к= ^7Г7Н Я Аш2. О

Пример 7. С какой силой жидкость плотности 7 давит на верти­ кальную треугольную пластину с основанием а и высотой /г, погружен­ ную в жидкость вершиной вниз так, что основание находится на ее поверх­

ности?

<3 Согласно закону Паскаля сила Р, с которой жидкость плотности 7 давит на площадку 5 при глубине погруже­ ния Я , равна

р = 7gHS.

Вводя систему координат, пока­ занную на рис. 25, рассмотрим эле­ ментарную прямоугольную площадку,

находящуюся на глубине х и имеющую основание b и высоту dx. Из подобия треугольников САВ и CD E имеем

следовательно,

Таким образом, сила давления жидкости на всю пластину равна

лл

jgah2

начала координат со скоростью v = vq C O S (о)t + ip), где t — время, vq, ip — постоянные. Найти закон колебания точки и среднее значение абсолютной величины скорости за период колебаний.

7.557. Два тела движутся по одной и той же прямой: первое

в какой момент и на каком расстоянии от начала движения они опять будут вместе?

7.558. Скорость двшкения точки у = 0,Не~~0,02/ (м/с). Най путь, пройденный точкой от начала движения до полной остановки

(«(*2) = о).

7.559*. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пру­ жину на 5 см, если сила в 1II растягивает ее на 1 см?

7.560. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы на­ сыпать кучу песка конической формы с радиусом основания Я и высотой Н . Плотность песка 7 .

7.561. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы вы­ качать жидкость плотности 7 из котла, имеющего форму парабо­ лоида вращения, обращенного вершиной вверх. Радиус основания Л, высота Н .

7.562. Вычислить работу, которую надо затратить при построй­ ке пирамиды с квадратным основанием, если высота пирамиды I I , сторона основания а, плотность материала 7 .

7.563. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы вы­ качать ?кидкость плотности 7 из резервуара, имеющего форму конуса, обращенного вершиной вверх. Радиус основания Л, вы­ сота Н .

7.564. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы вы­ качать жидкость плотности 7 из цистерны, ограниченной поверх­

ностями: у~ = 2рг, х = ±а, г = р (р > 0).

7.565*. Электрический заряд во, сосредоточенный в начале координат, отталкивает заряд е из точки (а, 0) в точку (Ь, 0). Определить работу А силы отталкивания Р . Чему равна работа при удалении заряда е в бесконечность?

7.566*. Цилиндр с подвижным поршнем заполнен паром объ­ ема Уо — 0,2 м3 с упругостью ро — 10 330Н/м2. Какую работу надо затратить, чтобы при постоянной температуре (изотермиче­ ский процесс) объем пара уменьшить в 2 раза?

7.567*. Определить работу, произведенную при адиабатическом с?катип воздуха, имеющего начальные объем Уо — 8 м3 и давление

ро = 10 000Н/м~ до объема V] = 2 м3.

7.568. Найти кинетическую энергию однородного шара радиуса Л и плотности 7 , вращающегося с угловой скоростью и) вокруг своего диаметра.

7.569. Найти кинетическую энергию пластинки, имеющей фор­ му параболического сегмента и вращающейся вокруг оси параболы с постоянной угловой скоростью и). Основание сегмента а, высота /а, толщина пластинки г/, плотность материала 7 .

7.570. Найти кинетическую энергию треугольной пластинки, врашающейся вокруг основания с угловой скоростью и. Основание пластинки а, высота //,, толщина /, плотность 7 .

184 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной

7.571. Найти кинетическую энергию однородного кругового ци­ линдра плотности 7 с радиусом основания Я, и высотой Н< враща­ ющегося с угловой скоростью ш вокруг своей оси.

7.572. С какой силой жидкость плотности 7 давит на верти­ кальную треугольную пластинку с основанием « и высотой Л., погруженную в нее так, что вершина находится на поверхности, а основание параллельно поверхности?

7.573. Конец трубы, погруженной в жидкость плотности 7 , за­ крыт круглой заслонкой. Определить силу давления на заслонку, если ее радиус Я, а центр находится на глубине Н .

7.574. Найти силу, с которой жидкость плотности 7 давит на вертикальную стенку, имеющую форму полуэллинса, большая ось которого находится на поверхности жидкости. Большая полуось эллипса а, малая Ь.

7.575. Найти силу давления жидкости плотности 7 , заполняю­ щей круговой цилиндр, на боковые стенки цилиндра, если радиус основания 7?,, высота Н .

7.576. Найти массу стержня длины I — 5 м, если линейная плотность стержня меняется по закону 7 = 1 + ОДх3 (кг/м), где х — расстояние от одного из концов стержня.

7.577*. Найти количество тепла, выделяемое переменным то­ ком I — /особой в течение периода 27г/а; в проводнике с сопроти­ влением Я.

7.578*. За какое время вода, наполняющая цилиндрический сосуд с площадью основания 5 = 100 см2 и высотой Н — 20 см,

вытечет через отверстие на дне площадью йо = 1 см2?

7.579**. При установившемся ламинарном (струйном) течении жидкости через трубу круглого сечения радиуса а скорость тече­ ния у в точке, находящейся на расстоянии г от оси трубы, дается

через поперечное сечение трубы в единицу времени.

7.580*. С какой силой полукольцо радиуса Я и массы М при­ тягивает материальную точку га, находящуюся в его центре?

7.581. За какое время вода вытечет из конической воронки, имеющей высоту Н — 50 см, радиус верхнего основания Я = 5 см, радиус нижнего основания г — 0,2 см?

7.582. Определить расход жидкости через водослив прямоу­ гольного сечения. Высота водослива /г, ширина а, вязкость жид­ кости ц.

Г л а в а 8

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§1. Основные понятия

1.Понятия функции нескольких переменных. Всякий упоряд ченный набор из п действительных чисел х\, ..., хп обозначается (х\, .... хп) или Р (хи . . хп) и называется точкой п-мерного арифме-

РЧ#!? . . х'п) определяется формулой

р{Р, Р') = ^{хх - х[)2 + ... + (хп - х'п)2.

Пусть Р С Мп — произвольное множество точек п-мерного арифме­ тического пространства. Если каждой точке Р (х 1, . . . , х п) Е И поставлено в соответствие некоторое впелне определенное действи­ тельное число /(Р ) = /(#ь . жп), то говорят, что на множестве О

задана числовая функция /: Еп -» М от п переменных х\, ..., хп.

Множество Р называется областью определения, а множество Е — = {и Е Е| и — /(Р ), Р € Р} — областью значений функции и ~ /(Р ).

В частном случае п = 2 функция двух переменных г = /(.т, у) мо­ жет рассматриваться как функция точек плоскости в трехмерном гео­ метрическом пространстве с фиксированной системой координат Охуг. Графиком этой функции называется множество точек

Г = {(.х, у, г) € I 3 \г = /(х, у)},

представляющее собой, вообще говоря, некоторую поверхность в 1&3. Пример 1. Найти область определения функции

. У г = агсят -.

х

<] Функция определена при

186 Гл. 8. Диффсрснц. исчисление функций нескольких переменных

Следовательно, —х ^ у ^ х при х > 0 и х ^ у ^ —х при х < 0. Область определения функции изображена на рис. 26 (содержит границы,

за исключением начала координат). >

8.1.Выразить площадь S треугольника как функцию длин двух его сторон х и у, если его периметр равен 2р. Найти область определения этой функции.

8.2.Выразить объем V кругового конуса как функцию площади S его боковой поверхности и длины I образующей. Найти область определения этой функции.

8.3.Выразить площадь S равнобочной трапеции как функцию длин ее сторон, если х н у — длины оснований, г — длина боковой стороны. Найти область определения этой функции.

Найти области определения функций двух переменных (R =

=const):

8.4.^— \/В? — х 2 — у2. 8.5. ^= v/ж2 + у2 - R 2.

8.6.z =

8.14.г — arccos - X

+У

8.15. z =■ yj9 —х2 — у2 4- \Jx2 4- у2 —4.

8.29.Даны функции: /(я, у) = ж2 4- у2, у?(ж, у) = ж2 - у2. Найти: а) /(<р(ж, у), у2); б) <р(/(ж, у), <р{х, у)).

8.30.Даны функции: (р{х, у ) = ех cos у, ф(х, у) = c^sin y. Доказать:

а) </>2(ж, У) - </>2(ж, у) = </э(2ж, 2у); б) 2</>(ж, у)ф{х, у) = ф(2х, 2у).

8.31. Даны функции: /(ж, у) = х2 — у2, <р{х) = cos ж, ф(х) — = sin ж. Найти: a) f(<p(x), ф(х)); б) <p(f{x, у)).

2. Предел и непрерывность функции. Число А называется пред лом функции u —/(F ) при стремлении точки Р (х i, х^, . . хп) к точке Р0(аь а2>• • ûn), если для любого е > 0 существует такое (5 > 0, что из

X

8.37. Показать, что при х —> 0 и у —» 0 функция z

У ~ ж может стремиться к любому пределу. Привести примеры такого

приближения точки (ж, у) к точке (0, 0), при котором lim г = 3, lim ^— 2, lim г = 1, Yunz = —2.

непрерывной в точке (0, 0).

190Гл. 8. Дифферснц. исчисление функции нескольких переменных

8.43.Показать, что в точке (0, 0) следующие функции непре­ рывны по каждой из переменных ж и у, но разрывны по совокуп­ ности переменных:

Найти точки разрыва функций трех переменных:

3. Частные производные. Пусть (хх, ..., х*, . . хп) — произвольн фиксированная точка из области определения функции и = /(х х, . . хп).

Придавая значению переменной х* (к = 1, 2, п) приращение Дх&, рассмотрим предел

Этот предел называется частной производной (1-го порядке1) данной

функции по переменной х* в точке (хх, ..., хп) и обозначается —— или

ох к

1хк » ' **’ Я'»»)*