Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с
.pdf§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла |
171 |
||||
7.514. х — еьcost, у = |
еьsint, z = е1между плоскостями z = О |
||||
и 2 = a (a > 0). |
|
|
|
|
|
7.515. х2 = 4у, 9z2 = |
16ху между плоскостями х = 0 и х = 4. |
||||
7.516. х = a\/icost, |
у = a\/£sin£, |
2 = |
at от £ = 0 до произ |
||
вольного t > 0 |
(а > 0). |
|
|
|
|
7.517. х — |
|
у = 1 — cost, |
|
t |
|
t — sint, |
z = |
4 cos - между двумя |
|||
|
|
|
|
z |
|
точками пересечения кривой с плоскостью Охг.
3.Площадь поверхности вращения. Площадь поверхности, образова
ной вращением вокруг оси Ох дуги кривой, заданной функцией у = /(х), а ^ х ^ 6, вычисляется по формуле
6
Qx = 2n J f{x)yj1 - (/'(ж))2 dx.
a
Если дуга задана параметрическими уравнениями х — x(t), у — = 2/M, ^ t ^ то
*2
<3* = 2jt J у(t)\J(x'(t))2 + (y'{t))2 dt. h
Если дуга задана в полярных координатах г = г(</?), а ^ </? ^ /3, то
Р
Qx — 2тг J г sin </?>/г2 + (г')2
Если дуга кривой вращается вокруг произвольной оси, то площадь поверхности вращения выражается интегралом
в
<2 = 2тг J 11с11,
А
где Л — расстояние от точки на кривой до оси вращения, (11 — диф ференциал дуги, А и В — пределы интегрирования, соответствующие концам дуги. При этом Я и (11должны быть выражены через переменную интегрирования.
Пример 9. Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды х2/3 -Ь у2/3 = а2/3 вокруг оси Ох.
172Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
<Имеем:
у— (а2//'3—.т2/3)3/2,
= | (а=/з _ хуу / г |
|
= - (°2/° ~ %2/3)1/\ |
|
|||
|
а 2/3 _ д.2/3 |
а 1/3 |
|
|
|
|
1 + |
Х2/Ъ |
|
\х\1/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
<Зх = 2-2тт |
|
|
|
|
|
|
= 4,т 1/3 |
(а^3 - х 2^ |
2х-^ Чх |
|
|
|
|
= |
1тд,/з |
3 |
(а2/3 — ж2/3)5/2 |
= |
12 |
2 |
|
|
|
|
— |
п а 2 . > |
|
|
|
2 |
5/2 |
|
5 |
|
Пример 10. Найти площадь поверхности, образованной вращением |
||||||
одной арки циклоиды х = а(1 —вт£), |
у = а(1 —соб^) вокруг оси Ох. |
|||||
<3 Имеем: |
|
|
|
|
|
|
х£ = а(1 —собЬ), у[ = аБт£,
л/(хг)2 + Ы )2 — у/о2(1-со8^)2 + а2 вт2 Ь—а\/2(1- сов^) = 2а вт
Отсюда
2 7Г
Ц х — 2 п ^ а( 1 — сое £) • 2 а вт ^сИ =
о
27Г
= 87га21 J/ я т 3 ^(И = 87га2 J[ ( 1 - сое2 ^) ят
_ |
•>/ |
t |
соб3 и/2) |
= — 1б7га |
|
сое ------- |
|
4 г/£ =
2л- |
64 |
2 |
= |
— 7га |
. > |
Пример 11. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды г = 2 а (1 + сов^) вокруг полярной оси.
<3 Имеем:
г' = —2аят^,
\/г2 + (г;)2" = у 4а2 (1 + сое (у?)2 + 4а2 в т2 р = 4а сое
s |
|
|
|
|
§6. Геометрические приложения определенного интеграла |
173 |
|||
и, далее, |
|
|
|
|
Qx = 2 тг / 2а(1 -f cos(p) sin • 4а cos ~ |
= |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
¥ |
128 |
|
= 647га2 |
cos1— sin — dip — |
-7ra |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
о |
|
|
|
7.518. Найти площадь поверхности (называемой катеноидом;),
образованной вращением дуги цепной линии у = - ch2x, 0 ^ х ^
^ 3, вокруг оси Ох.
7.519. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного
вращением эллипса 4х2 + у2 = 4 вокруг: а) оси Ох: б) оси Оу. 7.520. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох дуги кривой у = - хл от х = —1 до х = 1.
о
7.521. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох дуги кривой у — -у/х(х — 12) между точками ее
С
пересечения с осью Ох.
7.522. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Оу дуги полукубической параболы 9ау2 = 4х3, отсекае мой прямой х = а.
7.523. Найти площадь поверхности, образованной вращением
петли кривой 9ау2 — х(3а — х)2 вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу. 7.524. Найти площадь поверхности, образованной вращением
дуги кривой у = е ~х!2, 0 ^ х < +оо, вокруг оси Ох.
7.525. Найти площадь поверхности, образованной вращением
7Г
дуги кривой х = а(3 cos t — cos 3t), у = a(3sint — sin3t), 0 ^ t ^ —,
вокруг: а) оси Ox; б) оси O y.
7.526. Найти площадь поверхности, образованной вращением
петли кривой х = a(t2 + 1), |
у — — (3 - t2) вокруг оси Ох. |
|
о |
7.527. Найти площадь поверхности, образованной вращением |
|
одной арки циклоиды х = |
a(t — sint), у = а (1 — cost) вокруг ее |
оси симметрии.
7.528. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги эвольвенты окружности х = a(tsint + cost), у — a x x(sint — tcost), 0 ^ t ^ 7Г, вокруг оси Ox.
7.529. Найти площадь поверхности, образованной вращением окружности г = 2а sin ip вокруг полярной оси.
174 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
7.530. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды г = a (l + cos ср) вокруг касательной в ее вершине (2а, 0).
7.531. Доказать, что площадь поверхности, образованной вра
щением лемнискаты г2 = |
a2 sm2(p |
вокруг полярной оси, равна |
площади поверхности сферы радиуса а. |
||
7*532. Найти площадь поверхности, образованной вращением |
||
гу (р |
7Г |
|
дуги кривой г = a sec* —, 0 ^ (р ^ |
вокруг полярной оси. |
|
4.Объем тела. Если площадь S(x) сечения тела плоскостью, перпе
дикулярной оси О х , является непрерывной функцией на отрезке [а, Ь], то объем тела вычисляется по формуле
ь
V = J s { x )d x . |
(6) |
а |
|
П р и м е р 12. Найти объем тела, основание которого — круг ради уса а , а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаметру круга, есть равнобедренный треуголь
ник высоты h.
<J Выберем систему координат так, чтобы плоскость Оху совпадала с плоскостью кру га, начало координат — с его центром, а ось Ох содержала фиксированный диаметр
(рис. 22). Получим уравнение окружности в виде
2 , 2 |
2 |
. |
от + у* = а |
|
Рис. 22
Сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси О х, есть равнобедренный треугольник с основанием 2у =
= 2у/а2 — х2 и высотой h. Имеем:
§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла |
175 |
Выражение для функции в(х) достаточно просто получается в случае тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограниченная кривой
у = /(х), а ^ х ^ Ь, вращается вокруг оси Ох или оси Оу, то объемы тел вращения вычисляются соответственно по формулам:
7Г
Ух =ж I |
Г\х)с1х, |
(7) |
а |
|
|
ь |
|
|
V. |
о о . |
(8) |
а |
|
|
Если криволинейный сектор, ограниченный кривой г = г(у?) и лу чами = а, (р =. [3, врашается вокруг полярной оси, то объем тела вращения равен
/з
2Г ,
У= -7Г / Г вПК/?^.
Вычисление объемов тел значительно проще производится с помо щью кратных интегралов. Поэтому мы ограничимся здесь только про стейшими задачами.
Пример 13. Фигура, ограниченная кривыми у >/2рх и у —
2
= —р (я —р)3/2. вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.
у/Р
<3 Найдем точки пересечения кривых:
|
У х = ± { х - р ? !\ |
ИЛИ |
|
|
2р2х = 4(х - р)3; |
|
|
очевидно, |
уравнению удовлетворяет значе |
|
|
ние х = |
2р, и тогда у = 2р, |
т.е. имеем |
|
точку пересечения (2р, 2р), — рис. 23. Ис- |
Рис. 23 |
||
комый объем есть разность двух объемов: |
|
||
объема |
полученного вращением криволинейной трапеции, ограни |
||
ченной параболой
У
и объема Уо, полученного вращением криволинейной трапеции, ограни-
2
ченной полукубической параболой у = ~~р(х —р)3/2 (р ^х ^ 2р).
уР
176 Гл. 7. Интегральное исчисление функции одной переменной
Используя формулу (7), получаем: |
|
|
||
|
2р |
2р |
|
|
vx = Vi - V2 = 7ГJ у\Ах--К J yl dx = |
|
|
||
|
|
V |
|
|
2р |
|
2р |
|
47Г (х —р)4 2р |
= 7Г• 2р J х dx —7Г• - |
[(х - р)3 dx = Ъхр • ~- |
2р |
||
0 |
:/« |
|
|
|
|
р |
|
|
|
— 4тгр3 —7ф3 = Зтгр3. D>
Пример 14. Фигура, ограниченная кривой x = a cost, у ~ а sin 21
(О < * ^ тг/2) и осью Ох, вращается вокруг оси Оу. Найти объем тела вращения.
< Очевидно, что О ^ ж ^ а и О ^ у ^ о , а также, что у = 0 при t = О и при t — 7г/2, т.е. рассматриваемая фигура является криволинейной
трапецией. Далее, при t = О х = а, при t = тг/2 х = 0. Следовательно, искомый объем выражается формулой (8). Имеем:
К, = 2тг У x(t)y(t) dx = 27г J a cost • asin2t(—asint) dt =
О |
|
|
тг/2 |
|
|
|
|
|
|
|
тг/2 |
|
^тг/2 |
|
|
|
— 7га J sin22tdt — ^~ J (l-cos4 f)d,t — |
|
|||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
7га*3 |
тг/2 |
7г2 а 3 |
|
|
|
|
|
7 1 • „ |
||
|
|
|
|
|
“2 |
£ -- sin 4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
15. Кардиоида г = a(l —cos <р) вращается вокруг полярной |
||||||
оси. Найти объем тела вращения. |
|
|
|||||
т/ 2 |
Г |
a |
3/1 |
з . |
2 |
з (1 - cos^)4 |
. > |
< V — -к |
|
(1 —cosv?) |
siny?dv? = -7r a --------- = |
||||
О ./ |
|
|
О |
т |
: |
|
|
7.533. Найти объем тела, основание которого —-область плос кости Оху, ограниченная астроидой х = асоБ3^ у = а я т 3^ а сечение плоскостью, перпендикулярной оси Ох, есть квадрат.
7.534. Найти объем клина, отсеченного от прямого кругового цилиндра радиуса а плоскостью, проходящей через диаметр осно вания под углом а к плоскости основания.
7.535. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 2у = х2 и 2х + 2у -1 3 = 0.
|
§ 7. Приложения определенного интегра./т |
|
|
|
7.536. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси |
||
Ох |
фигуры, ограниченной линиями у = еГ2х — 1, у |
г ~г |
} 1. |
а; - |
0. |
|
|
|
7.537. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси |
||
Оу фигуры, ограниченной линиями у — х, у — х + sin2 х |
(0 ^ |
||
X ^ 7Г) . |
|
|
|
|
7.538. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси |
||
|
х2 |
|
|
Оу фигуры, ограниченной линиями у = — + 2х + 2 и у |
— 2. |
|
|
|
7.539. Найти объем тела, образованного вращением параболи |
||
ческого сегмента с основанием 2а и высотой h вокруг высоты. |
|||
|
7.540. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, |
||
ограниченной кривой х = at2, у = a\nt (a > 0) и осями коорди нат, вокруг: а) оси О х ; б) оси Оу.
|
7.541. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси |
Ох |
фигуры, ограниченной кривой х = a cost, у = a si n 2£ и осью |
Ох |
(0 ^ х ^ а). |
|
7.542. Найти объем тела, образованного вращением астроид!)! |
х = |
a cos3 f, у = a sin3 t вокруг прямой x = a. |
7.543. Найти объем тела, образованного вращением кривой г — = a sin2 Lp вокруг полярной оси.
7.544. Найти объем тела, образованного вращением лемнис каты г2 = a2cos 2ip вокруг полярной оси.
7.545*. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
sin х
Ох фигуры, ограниченной кривой у = --- и осью Ох. X
§7. Приложения определенного интеграла
крешению некоторых задач механики и физики
1.Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой зада
уравнением у — }(х), а ^ х ^ Ъ, и имеет плотность1) р ~~ р(х), то статические моменты этой дуги Мх и Му относительно координатных
осей Ох и Оу соответственно равны
ь________
Мх = Ip{x)f{x)\ Jl+ (f'(x))2 dx,
а
b
Му = J p(x)x\J1 + (f'(x ))2 dx,
!) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что ь'ривгш однородна и р — 1.
178 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
моменты инерции 1Х и 1У относительно тех же осей Ох и Оу вычислиются по формулам
6 |
ь |
________________ |
1х ~ / |
(/'(а'))2^! 1у = |
У р(ж).Т2 У 1 + {/'{х))2 <1х, |
а |
|
а |
а координаты центра масс х и у — по формулам |
||
|
ь |
|
1 = |
= 7 / Р^ХЛ! 1+(/'(ж))2 |
|
м г |
1 |
|
О________
где / — масса дуги, т. с. I = I р(х)у/ 1 + (/'(ж))2 Лх.
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции отно сительно осей Ох и Оу дуги цепной линии у — сЪх при 0 ^х ^ 1.
<3 Имеем: у1—эЬх, у/Т 4-(у'У = у 1 4-нЬ2 х = сЬх. Следовательно,
Мх — ^^Ь2 х (1х ~ ~ У (14сЬ 2т) с/х — - ^х -I-^бИ 2х - —(2 Ч-вЬ2),
оо
|
1 |
2. |
|
1 |
|
|
|
Му = ! |
х сЬх (1х = J |
х (ДбЬх) = х яЬх \о~~I |
х* |
~ |
|
||
|
|
|
|
= йЬ 1 —сЬх\0~ яЬ 1 —сЬ 1 4-1, |
|||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
/т — J |
сЬ3 х (1х — ! |
(14-нЬ2 х*) сЬ х йх — |
х 4- —— |
|
= вЬ 14- ^як3 1, |
||
|
|
|
|
|
|
I |
л |
1у — j |
x2chxdx^= J |
х2 d(shx) = х28Ь.т|*—2 J |
х$\х:I |
X с1х — |
|||
о |
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
-- эЬ 1 - 2 j |
х d(сЬ х) 31 яЬ 1 - 2 ^х сЬ х |^—J |
сЬ х йх^ ~ |
||||
~ йЬ 1 ~ 2<л 1 4 2яЬ .1= 3 эЬ 1 —2сЬ 1. >
§ 7. Приложения определенного интеграла |
179 |
||
Пример |
2. Найти координаты центра масс дуги окружности х |
||
= a cost, у = asint, расположенной в первой четверти. |
|
||
<3 Имеем: I = |
7TCL |
7Г |
|
|
0 ^t ^ —, х[ — —asint, у[ = acost, |
|
|
\/(:rj)2 + (yj)2 = V a2 sin2 t -f a2 cos2 t = a.
Отсюда получаем:
7г/2
х=a2J costd= a2sint|^2= a2, |
|
|
||||
м ; |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
7Г/2 |
|
|
|
|
|
м у — a2J sin td=—a2cost|^2= a2, |
|
|||||
_ |
a2 |
2a |
_ |
a2 |
2a |
|
* |
7^ |
> |
У |
777 |
|
• ^ |
/ |
7ra/2 |
7г |
|
7га/2 |
|
7Г |
В приложениях часто оказывается полезной следующая |
||||||
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, |
образованной вра |
|||||
щением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окруж ности, описываемой ее центром масс.
П р и м ер 3. Найти координаты центра масс полуокружности у =
= \/а2—ж2.
<3 Вследствие симметрии ж = 0. При вращении полуокружности вокруг
оси |
получается сфера, площадь поверхности которой равна 47га2, а |
||
длина полуокружности равна 7га. По теореме Гульдена имеем |
|||
|
47га2= 7га • 27Й/. |
|
|
Отсюда у = — , т.е. центр масс С имеет координаты С |
( 0, — ). > |
||
|
7Г |
\ |
тг у |
|
7.546. Найти статический момент синусоиды у = |
sin ж (о < |
|
^ ж ^ 7г) относительно оси Ож.
7.547. Найти статический момент и момент инерции относи тельно оси Ож дуги кривой у = ех (0 ^ ж ^ 1).
7.548. Найти статический момент и момент инерции отно сительно оси О х одной арки циклоиды х — a(t — sint), у =
= a (l — cost).
7.549. Найти статический момент и момент инерции полу окружности радиуса а относительно ее диаметра.
7.550. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу всей дуги окружности г = 2а cos ср, лежащей выше полярной оси.
180 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
X
7.551. Найти центр масс дуги цепной линии у = a c h — (0 ^
а
^ х ^ а).
7.552. Найти центр масс всей дуги астроиды х = acos3£, у —
— a sin3 расположенной выше оси Ох.
7.553. Найти декартовы координаты центра масс дуги кардио иды г — а( 1 + cos ф) (0 ^ <р ^ 7г).
7.554. Пользуясь теоремой Гульдена, найти центр масс дуги астроиды х = a cos3 t, у — а sin3 t, лежащей в первой четверти.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного инт грала при решении физических задач иллюстрируются ниже в приме рах 4-7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается
формулой v — 21 + 312 (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5с от начала движения.
<3 Так как путь, пройденный телом со скоростью v(t) за отрезок времени [^1,-^2], выражается интегралом
12
S j v(t) dt,
то имеем:
о
S J (2t + Zt2)dt = (t2 + t3)\l= 150 м.
Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы т поднять с поверхности Земли, радиус которой Л, на высоту /г? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?
< Работа переменной силы /(ж), действующей вдоль оси Ох на отрезке [а, 6], выражается интегралом
о
J f(x)dx.
Согласно закону всемирного тяготения сила |
действующая на тело |
массы га, равна |
|
г 1
где М — масса Земли, г — расстояние массы га от центра Земли, к — гравитационная постоянная. Так как на поверхности Земли, т.е. при
г — Я, имеем Р = т.д, то можем записать тд = к-— . Отсюда находим