Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

§ 5. Несобственные интегралы

161

7.438.

I

7.439.

/

- $ = .

./

\/4 —

ж2

У

ху\\\х

О

1

\/2/^

1

7*440,/

■— .

с1х

/

со8 —

7.441.

./

я я

J

\Д(1 - ж)

о

о

у

Исследовать на сходимость интегралы:

1

1

2

7 .

4

4

2

7 .

4

4

3 .

[ —т==

с1х.

У

&Х

У

v/^z : Ж4

О

о

7 .4 4 4 .

7 .4 4 5 .

/1 5 1 1 + 1 3

(/ж.

./

ж — ж

У

е* — 1

о

о

I

1

7.446.

I

7.447.

[

- А

..... <Ь.

о

ет — сое х

/

У (1 — ат)3

о

V V

/

1

1

» , ^

(

^х

. .

Г 1пж 7

7.448.

/

—7=--.

7.449.

/

—у=:(1х.

./

>Л ~1

У

\А

о

о

1

1/а;

0

Л/х

г

г

7,450*

/

— —с/ж.

7.451.

/

— — б/ж.

ж3

У

ж3

О

-1

7.452. Доказать, что при а > 0 определяющий гамма-функцию

-+-оо

Г(су) интеграл Эйлера Г(а) =

J

е~хха~1 (1х сходится,

и устано-

вить следующие соотношения: о

а) если а

=

п

- -целое число, то Г(п + 1) — ?г!;

б) Г (а + 1) — аГ (а)

для любого а > 0;

/—

ч тл

у/п

о

s - J f(x) dx.

(1

Площадь фигуры, ограниченной графи­

ками непрерывных функций у —

(х)

У = /2(ж), Л {х) ^/2(х) и двумя прямым*.

х —«, х = 6 (рис. 16), определяется по формуле

о

5 = J (/г(я) - /i (ж)) dx.

(2

„2

dx.

У

§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла

163

у = у/2х, 0 ^

х ^ 2, и окружности у = у/8 — х 2, 2 ^ х ^ у/%:

2

\/8

-4

0

5 л:

164

Гл. 7. Интегргипьное исчисление функций одной переменной

Полагая в (3)

(у) = 2у - 4, / 2(?у) = ?/2 - 4?/ 4-5, имеем:

з

з

5 = У ((у2 - 4у + 5) - (2у - 4)) с1у = ! ( у2 - 6у + 9) (1у =

3

1 (у - 3 )2с1у= ^(?/ - З)3 = 9. о

о

Заметим, что применение формул (1) и (2) при решении примера 2

потребовало бы вычисления суммы трех интегралов:

1

2

5 =

J ^ х 4- 2^ с1х 4- £

^

+ 2^ - (2 4- у/х -

1)^ (1х+

~4

1

5

+ I

(2 - У.?: - 1) (1х.

1

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у — 1/х2,

осью Ох и прямой х — 1 и лежащей правее этой прямой.

< Искомая площадь (рис. 19) выражается

несобственным интегралом

оо

5 _

/‘ (1х _

1

= 1. >

./ X2

X

1

1

Если фигура ограничена кривой, имею­

щей параметрические уравнения х = х(Ь),

Рис19

у = у(I), прямыми х —а,

х = Ь и осью Ох,

то площадь ее вычисляется по формуле

*2

12

= J

у^)х'{Ь)(И = !

уЦ)с1х(г),

(4)

§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла

165

Пример 4. Найти площадь петли

кривой

х = а(£2 - 1), у ~ Ь(И -

£3) (а > О, Ь > 0).

х — 0 при Ь — ±1; у = 0

при I = 0,

£ — ±2.

Следовательно,получаем

следующие точки: (0, 3Ь)

при £ = 1;

(0, —36)

при t = —1;(—а, 0) при

кривой. При 0 ^£ 2 у ^0; при —2 ^£ ^О

2/^0

(рис. 20).

Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней ее поло­

вины:

5 — 2 J ydx — 2 j y(t)x'(t) dt =■2J b(it - £3)a • 2tdt

- a

О

0

2

= 4a&J (it2 —£4) dt = 4ab

“

256 ab. D>

15

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции г =

-- г(ф) и двумя лучами у? = а,

</? = /?, где ^и г — полярные координаты,

У

зь

м

= ±2

_

Ш Ш к

-г

-3/>

Рис. 20

Рис. 21

Р

S = ± J r 2Op.

(5)

а

7Г/4

7г/4

о

о

/ 1

\

7Г

= 2a2^ —- sin 2<£>J

— —1^a2. t>

а3

у =

а2#

--- =■и осью Оу.

а2 + х2’

а2 4-х2

7.461. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Оу, пара­

болой (х — а)2 =

2р(у — Ь) и касательной к ней в точке с абсциссой

§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла

167

7.470. Найти площадь

лунки, ограниченной гиперболой х2 —

— у

2

— а

2

,

-

2

‘3

и параоолои у

—

сегмента параллельно малой оси).

7.476. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у —

а

з

9

_

а~х

=

------------ 7 7 ,

У ~

-------------о

11 0 С Ь Ю ( ' Х '

а 2

х 2

а2 + х

7.477. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у2 —

х4

тг и ее асимптотами.

а2 — х2

7.478. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой х =

=

a cos3 £,

у ~ a sin' £.

7.479. Найти площадь петли кривой х — -£(3 — £2),

у = £2.

7.480. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой ци­

клоиды х ~~2(£ — sin£),

у — 2(1 — cos£) и осыо Ох.

7.481. Найти площадь петли кривой х — а(£2-! 1),

у =

Ь(/3 — 3£).

7.482. Найти площадь петли кривой х — 2t — i2,

у -

2f2 — £3.

7.483. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой ?■—

— а (1 + sin</?).

7.484. Найти площадь одного лепестка кривой г = «sin2</?.

7.485. Найти

площадь фигуры, ограниченной

кривой г —

— a sin 5<р.

7.49Т. Найти длину замкнутой кривой Sa2у2 — х2(о2 — х2).

7.498*. Найти периметр лунки, образованной окружностями:

x2 -f у2 =

2ах и х2 4-у2 = 2by (a > b > 0).

7.499. Найти длину дуги цепной линии у =

- ch2x от х — 0 до

х — 3.

2

7Гт

1

7.500. Найти длину дуги кривой у

= —l n sin —

от х

=

-

3

7г

2

2

7.501. Найти длину дуги полукубической параболы у9 ~ -

х5

х (х ~ р)3. отсекаемой прямой х -- 2р

(р > 0).

Р

7.502. Найти длину дуги кривой x — a(3cost - cos3£),

у =

7Г

= a(3sin£ — sin3^) от£ = 0 до t =

—

(a

> 0).

7.503.

Найтидлину дуги кривой

х

= ef cost,

у

—

с1sin t

от

t = 0 до t

= 1.

7.504. Найти длину петли кривой .г; = t2, ту=

t (

- —

.

\3

/

t6

t [

7.505.

Найти длину дуги кривой х ——-,

у =

2 --- -

между

точками ее пересечения с осями координат.G

4

7.506. Найти длину петли кривой x — a(t2 -f J ),

у -■= --(f* — 3£)

(a > 0).

7.507.

На циклоиде x —

a (t - sint), y = a(l

- cosO

найти

точку, которая делит длину

первой арки циклоиды в отношении

1:3, считая от начала координат (а > 0).

7.508. Найти длину дуги логарифмической спирали г = cav',

находящейся внутри окружности г — 1

(а > 0).

7.509. Найти длину дуги кардиоиды г = 2(1 — cosy?), находя­

щейся внутри окружности г = 1.

7.510*. Найти длину всей кривой г -- a cos

-

(а > 0).

7.511. Найти длину дуги спирали Архимеда

г =

5у>. находя­

щейся Внутри ОКруЖНОСТИ V — 1Ü7T.

7.512. Найти длину всей кривой г — a sin4 ~

(° > 0).

Найти длины дуг пространственных кривых:

7.513. x — at2, у = a

-f -£3^,

г - a

от t = 0 до

t =

{а > 0).