Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с
.pdf§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления |
151 |
|
X |
|
|
Пример 4. I(x) = J е~* dt. Найти Г(х). |
|
|
о |
|
|
<3 Используя свойство 11) и учитывая, что <р(х) |
= 0, т.е. ц)'(х) |
= О, |
имеем |
|
|
Г(х) = е - {х2? - { х 2)'=2хе~х\ |
> |
|
7.364. Определить знаки интегралов, не вычисляя их:
-2 |
|
-1 |
1/3 |
|
7.365. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов |
||||
больше: |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
Г |
|
dxf dx |
f dx |
[ dx |
а) I Ж Т Ш |
или J |
Г ’ б) у ^ |
у ^ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
в) ^ е~х cos2xdx или |
J е~х'2cos2 xdx. |
||
о |
|
о |
|
7.366. Найти среднее значение функции на данном отрезке:
7Г
а) ж3, 0 ^ а; ^ 1; в) cos ж, 0 ^ ж ^ —;
б) у/х, 0 ^ х ^ 1; г) cos3 ,т, 0 ^ х ^ —.
7.367. Сила переменного тока меняется по закону
Iг г |
• |
\ |
= I Qsin I — t + (pJ , |
где T — период. Найти среднее значение силы тока за полупериод. |
|||
|
I |
|
|
7.368. Оценить интеграл |
j |
\/ъ + х3 dx. |
|
|
-l |
|
|
|
27Г |
|
|
^ |
f |
dx |
|
7.369. Оценить интеграл |
/ |
—= = = = = . |
|
|
J |
у/Ъ+ 2 sin.T |
|
о
152 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
1
7.370. Оценить интеграл J \/{1 + х)(1 Н- ж3) dx, пользуясь:
о
а) обобщенной теоремой об оценке интеграла; б) неравенством Коши-Буняковского.
1
7.371. Оценить интеграл j л/(4+"x^)xdx, пользуясь:
о
а) обобщенной теоремой об оценке интеграла; б) неравенством Коши-Буняковского.
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
d l |
d l |
|
|
Г ех |
|
||
7.372. Найти: а) — , б) — |
, если I |
— / |
— dx (0 < a < в). |
|||||
|
dp |
da |
|
|
Q |
J |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.373. Найти точки экстремума функции |
|
|
||||||
|
х |
COS t |
|
|
|
|
|
|
^, . |
f |
, |
( |
Л |
Л |
|
7Г \ |
|
Ф(ж) = |
/ |
--- dt |
|
> 0, |
0 < a < |
— J . |
||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Найти производные следующих функций: |
|
|||||||
7.374. Ф(®) = J |
1 |
|
|
|
|
|
\fx |
|
S- ~ d t . |
7.375. Ф(х) = |
J |
sin (t2) dt. |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
l/x |
|
0 |
|
7.376. Ф(ж) = J |
|
|
|
х |
3 |
|
|
|
» |
тг |
I |
7.378. Доказать, что |
J/ |
|
-з
х3
7.377. Ф(Ж) = J^ - t (х > 0).
X2
х2sin ж ,
---- г dx = 0.
1+х4
4. Замена переменной в определенном интеграле. Если функция f(
непрерывна на отрезке [а, 6], а функция х = <p(t) непрерывно дифферен цируема на отрезке [t1, £2], причем а = y>(£i), Ь — tpfa), то
ьt2
j f (х) dx = J |
dt. |
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления______153 1
|
Пример |
5. Вычислить |
|
\/1 —X2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
/ |
1 5 |
--------- d |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
\ / 2/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<3 Применим подстановку ж = sin£. |
Тогда dx |
— |
cos t dt, |
t = |
arcsin ж, |
||||||||||
^ = arcsin |
z |
= — и t,2 |
= arcsin 1 = —. Следовательно, |
|
|
||||||||||
^ |
|
^ |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
7г / 2 |
|
у-------------------------- |
|
|
7T / 2 |
|
|
|
|
|||
f |
y/l —X2 |
f |
V 1 —sin2 t |
|
|
/ |
f |
|
COS2 £ |
|
|
||||
/ |
----— dx = I |
---- ---- cos t dt = |
|
— |
dt = |
|
|
||||||||
J |
x2 |
|
J |
|
sin |
£ |
|
|
J |
|
|
sin |
£ |
|
|
v/2/2 |
|
|
TT/4 |
|
|
|
|
|
TT/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
tt/2 |
|
|
|
|
, . 7Г/2 |
|
|
7Г „ |
7Г |
„ 7Г |
|||
|
|
|
1 —Sin |
t |
, |
, |
|
|
|
||||||
|
|
/" i ? T |
= (—ctgi —t)|n/1= _ 2 +1 + 4 = 1 _ i- * |
||||||||||||
|
|
7T / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.379.Можно ли интеграл / |
x у г — ж2 dx вычислить с помо- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
щью подстановки х = |
sin t? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок: |
||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/1 |
dx |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.380. |
---- - = = = , |
Зж — 2 = t . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 + \/Зж — 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
In8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
v/e* + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\/Ж'2+ 1 dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
07г / 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г.383. J |
dx |
|
|
ж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 2 cos ж’ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 Г/ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,384. / |
1 + 2 sin2 ж’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.385. у* у/з — 2х — х2 dx, |
ж -b 1 = |
2sin£. |
|
|
|
|||||||||
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
Вычислить интегралы с помощью замены переменной:
|
2 |
|
|
|
|
О |
|
|
|
Г-386- |
I |
|
,<1Х____ |
7.387. |
[ |
—— |
dx ._________ |
||
|
J |
|
x\Jх2 — 1 |
./ |
у/х + 3 + у/(х\]х++3З)3Ч |
|
|||
|
|
|
|
|
|
- 2 |
|
|
|
,388. |
Г |
|
|
|
,389. |
/ |
, |
|
. |
|
J |
|
X |
|
|
J |
^(1 + Ж2)3 |
||
|
2 |
|
|
|
|
'/з/з |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
7.390). |
f |
( |
d:-' 2 2. |
|
7.391. |
[ |
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||
|
J |
(4 + ж2)2 |
|
|
J |
x + \J2x — 1 |
|||
|
-2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
7.392. |
[ |
— |
|
7.393. |
[ |
ж dx |
|
||
|
|
|
|
||||||
|
J |
x V l + 4x2 |
|
|
J |
\/5 — 4.T |
|
||
|
1/4 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
InG ^ /_______ |
|
|
3 |
|
|
|
||
Г.394. |
[ |
6 |
~ 2 dg. |
7.395. |
[ x2V d - x 2dx. |
||||
|
J |
|
|
|
e* + 2J |
|
|
||
|
ln2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
f ex |
|
|
|||
|
|
|
--- = |
— dx. |
|
|
|||
|
|
|
i n x J |
X |
|
|
|||
|
|
|
|
e |
1 |
|
|
|
|
7.397. Показать, что |
[ |
— |
|
|
|
dx. |
|||
|
|
|
|
J |
arcsin ж |
J |
x |
|
|
|
|
|
|
l/y/2 |
|
тг/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
3®"^ ~ 2®^ -j~ |
— ж |
||
|
|
|
|
|
----:-- — ^ |
= 0. |
|||
|
|
|
|
|
|
x4 + Зх2 + 1 |
|||
-2
5.Интегрирование по частям. Если функции и = и(х), v = v(x)
их производные и'(ж) и ^/(х) непрерывны на отрезке [а, 6], то
ьь
J udv = uv\ba~ J vdu
a |
a |
§ 4. |
Определенный интеграл и методы его вычисления |
155 |
|||||
Пример |
6. Вычислить J ln xdx. |
|
|
|
|||
|
|
|
i |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О Положим и — ln ж, dv — dx, тогда du = — v — x. Имеем |
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
e |
|
|
e |
|
|
|
|
J \nxdx=xlnx^—Jx' —=e—ж|^= e —e +1= 1. t> |
|
||||||
l |
|
|
l |
|
|
|
|
Вычислить интегралы методом интегрирования по частям: |
|
||||||
|
1 |
|
1 |
dx. |
|
||
Г.399. J |
хехdx. |
7.400. J |
arcsin х |
|
|||
\/1 Н- х |
|
||||||
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
7г/3 |
|
е |
|
|
||
|
J[ |
cos"1х |
|
J |
\n2xdx. |
|
|
7.401. |
|
Х-Г •. |
7.402. |
[ |
|
|
|
|
7 r / 6 |
|
|
1 |
|
|
|
|
т г / 4 |
|
2\Д |
|
|
||
|
|
|
|
|
J x 2 4- 4 |
|
|
7.403. |
/ |
e6xsmAxdx. |
7. . |
/ |
--- -— |
dx. |
|
ч |
е3х sin 4х dx. |
7.404. |
J |
xz |
|
|
|
|
о |
|
|
2 |
|
|
|
|
e |
x\nxdx. |
|
1 |
|
|
|
7.405. |
|
7.406. J xarctg xdx. |
|
||||
|
l |
|
|
|
о |
|
|
|
7Г/ 4 |
|
7T / 2 |
|
|
||
7.407.x 2 c o s 2 xdx. 7.408. J |
|
ех с о б х dx. |
|
||||
|
о |
|
|
о |
|
|
|
7.409. Показать, что для интеграла |
|
|
|||||
|
|
тг/2 |
тг/2 |
|
|
|
|
|
|
о |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
71 — 1 |
|
|
|
верна рекуррентная формула 1П = |
---- 1П-2- Вычислить /7 и |
|
|||||
7.410. Показать, что для интеграла 1
1П = £ х11е~х dx, п Е М,
о
верна рекуррентная формула 1П = —е + п /п_ 1. Вычислить / 4.
156Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
§5. Несобственные интегралы
1.Интегралы с бесконечными пределами. Если функция f(x) прерывна при а ^х < +оо, то по определению
4-оо |
b |
|
[ f(x )d x = |
lim f f(x)dx. |
(1) |
J |
6->+oo J |
|
a |
a |
|
Если существует конечный предел в правой части формулы (1), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то — расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл (1) в случае f(x) > 0 есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — /(ж), прямой
х — а и осью Ох (асимптотой).
ь
Аналогично определяется интеграл //лf(x). . dx. Далее, по опреде-
лению |
|
—ОО |
|
|
|
|
|
+оо |
с |
+СЮ |
|
J f(x )d x = |
j |
f (x) dx + J f (x) dx, |
(2) |
— oo |
—oo |
c |
|
где c, —oo < c < -foo, — произвольно, причем интеграл в левой части равенства (2) считается сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части.
Пр из н ак и сходимости и расходимости приведем только для интегралов вида (1).
1)Если F(x) — первообразная для f(x) и существует конечный п
дел lim F(x) = F(+оо), то интеграл (1) сходится и равен
±->-foo
+оо
/f(x) dx = F(-foo) —F(a);
если же lim F(x) не существует,.то интеграл (1) расходится.
х —>4-оо
4-оо
2) Пусть при а ^ х < -foo 0 ^ f(x) ^ д(х). Если J д(х) dx схо-
|
|
|
а |
4-00 |
4-оо |
4-оо |
|
дится, то сходится и J |
f(x) dx, причем J |
f(x)dx |
^ J g(x)dx. Если |
а |
а |
|
|
4-оо |
4-оо |
|
|
J f(x) dx расходится, то расходится и j |
д(х) rfa: (признаки ср а в- |
||
а |
а |
|
|
нения).
§ 5. Несобственные интегралы |
157 |
|||
3) Если при а ^ х < +оо f(x) > 0, д(х) |
> О и существует конеч- |
|||
|
|
|
4-сю |
4-сю |
ный предел lim |
Д —г |
ф 0, то интегралы |
f f(x) dx и |
[ д(х) dx |
х -* + о о |
д[х) |
|
J |
J |
|
|
|
а |
а |
сходятся или расходятся одновременно (предельный |
признак |
|||
сравнения). |
|
|
|
|
|
4-00 |
|
4-со |
|
4) Если сходится J |
\f(x)\dx, то сходится и J f(x) dx (последний |
|||
|
а |
|
а |
|
интеграл называется в этом случае абсолютно сходящимся).
4-00
Пример |
1. Вычислить / |
е |
Зх dx. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
<3 Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4-оо |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
[ е"3ж dx = |
lim |
[ е~3х dx — |
lim |
( -^е~3ж |
] = |
|
|
|||
J |
b—>4~oo J |
|
|
b—>4-o o |
у |
3 |
0 J |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= \ |
lim |
( l - e-3») = I . t> |
|
|
|
|
|
|
|
|
О b— |
|
и |
|
На практике в качестве интеграла, с которым производится сравне- |
||||||||||
ниетобычно используются интегралы вида |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4-00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— dx, |
а > 0, |
а > О, |
|
|
|||
|
|
|
ж* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
которые сходятся при а > 1 и расходятся при а |
^ 1. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4-00 |
|
Пример |
2. Исследовать на сходимость интеграл |
[ |
X + 1 |
|||||||
/ |
—= d x . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
у/х3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
<1 При х -» +оо имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
х + 1 _ |
х(1 + 1/х) |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
yfiä |
|
х3/2 |
ж1/2' |
|
|
||
|
|
4-оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
Так как интеграл |
/ |
—-гг- расходится (а |
— 1/2 < 1), |
то и заданный |
||||||
|
|
J |
Х1' 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 интеграл также расходится. t>
158 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
Вычислить несобственные интегралы (или установить их рас ходимость):
+оо +оо
7.411. |
[ |
|
|
|
|
|
7.412 |
Г |
Лх |
|
|
|
|
ж 1п3 х |
|
|
|
|
|
У |
х\Дпх |
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
7.413. |
[ |
—^ |
^ . |
|
|
|
7.414. |
[ |
е~2х соях йх. |
||
|
|
ж2 + 6ж + 11 |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
-оо |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
7.415. |
/ |
х2 + 4 |
|
|
|
7.416. |
Г 4 „+ 2х , |
ах. |
|||
|
1 |
|
|
|
|
У ж2(1+ж) |
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
+ 0 0 |
|
|
|
7.417. |
[ |
- ~ ^ |
х— . |
|
|
|
7.418. |
[ |
яге“ * 2 Ах. |
|
|
|
У л/(ж2 +5)3 |
|
|
|
|
У |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
7.419. |
I |
х с о б хс1х. |
|
|
|
7.420. |
/ |
— ~ - с1х. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
ж3 + |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
О о |
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
++ооОС |
|
|
|
7.421. |
/ |
|
7.422. |
[ |
- £ Й = . |
|
|
|
|
||
|
У |
Ж3 |
|
|
|
|
|
у |
v/г т ^ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
7.423. |
[ |
|
7.424. |
[ |
е~х (1х. |
|
|
|
|
||
|
У |
^ж3 - 1 |
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
Исследовать на сходимость интегралы: |
|
|
|
||||||||
|
+оо |
|
|
|
|
|
+оо |
--- |
-------- |
||
|
, |
(1х |
|
|
|
|
[ |
\[х? + \Лс2 + 1 |
|||
7.425. |
/ |
-— — — — |
• |
|
|
7.426. |
/ |
— -— |
----— с?ж. |
||
|
/ |
|
|
|
|
|
— |
/ |
ж |
Зж |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
7.427. Т |
^ + |
|
1)3 |
<Ь. |
7.428. +Г |
|
(1х. |
||||
|
У |
2ж3 + \/ж^+ 1 |
|
|
|
У |
\/я |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
7.429. |
/ |
; |
^ |
+ 2) |
|
7.430. |
[ |
Р Щ |
1 Ах. |
||
|
У |
л/ж(ж + 1)(ж |
|
|
|
Уж^/ж2 |
+ |
||||
1 |
у |
х |
|
|
§ 5. Несобственные интегралы |
159 |
|||
+оо |
|
|
|
+оо |
|
|
7.431. f' |
-r |
iXdX |
. |
7-.432- . fГ |
dz |
|
J |
yjX |
+ COS |
X |
J |
x In In X |
|
1 |
’ |
|
|
e2 |
|
|
2.Интегралы от неограниченных функций. Если функция f(x) не
прерывна при а ^х < Ъи lim f(x) — оо, то по определению
|
х—>Ь-0 |
|
Ъ |
6-7 |
|
J f{x) dx = Д т о J f(x) dx. |
(3) |
|
a |
a |
|
Если существует конечный предел в правой части формулы (3), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не
существует, то — расходящимся. |
|
|
|
|||
Геометрически несобственный интеграл (3) в случае f(x) > |
0 есть |
|||||
площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — /(ж), |
прямой |
|||||
х — а и вертикальной асимптотой х — Ъ. |
|
|
|
|||
Аналогично определяется несобственный |
интеграл в |
случае |
||||
lim |
f(x) = |
оо. |
|
|
|
|
ж-»а+0 |
v |
|
|
|
|
|
В случае, когда с G (а, Ь) — точка разрыва и функция f(x) |
неогра |
|||||
ничен в любой окрестности точки с, |
|
|
|
|||
|
Ь |
|
с—71 |
|
Ь |
|
|
/ |
f(x )d x — lim |
/ f(x)dx+ |
lim |
/ f(x)dx. |
(4) |
|
J |
7 i - > + 0 |
J |
7 2 —> + 0 J |
|
|
|
а |
|
а |
|
с4-72 |
|
Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны признакам из п. 1.
На практике в качестве интеграла, с которым производится сравне ние, обычно используются интегралы вида
/ |
_ * |
, / |
* _ |
( а > 0 ), |
(5) |
у |
[х - а)а |
У |
(6 - х)а |
|
|
аа
которые сходятся при а < 1 и расходятся при а ^ 1 (сравните с анало гичными интегралами в случае бесконечных пределов интегрирования).
|
2 |
|
|
/ |
dx |
|
— |
|
|
1 |
1п х |
|
|
|
<1 При х -» 1 -— |
~ — — (эквивалентные бесконечно большие), |
|
т х |
х —1 |
|
160 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
г.
Г(1х
Интеграл / |
---- расходится как интеграл типа (5) при а — 1. Следо- |
] |
х - \ |
1 |
|
2
вательно, расходится и J[ (1х >
ИУ 1п х ‘ 1
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл
|
1 |
|
2х2 + у/х |
/ |
-------(IX. |
tgx - х |
|
о |
|
О Задача состоит в том, чтобы установить характер поведения подынте гральной функции при х -» +0. В числителе при х -» +0 имеем
2х2 + у/х = х} /2(2х3/2 + 1) ~ ж1/2.
В знаменателе воспользуемся формулой Маклорена для функции tgж:
tg х —х = (х + |
+ о(ж3) | —х — ]-х3 + о(ж3) ~ ^ж3. |
||||
\ |
и |
/ |
О |
|
и |
Следовательно, при х -» +0 |
|
|
|
|
|
2х2 + у/х |
х}!2 _ |
|
1 |
|
|
tgx - х |
— О ” |
|
|
||
ж3/3 |
х5/2 |
|
|||
1
1ак как интеграл /Г с1х расходится, то расходится и заданный инте-
о
грал. [>
Вычислить несобственные интегралы (или установить их рас ходимость):
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
е |
|
/О |
(1х |
|
Г |
|
|
X (1хС (1х |
|||
—0--- т. 7.434. |
/ — --- — . |
7.435. / |
|
||||||
X2 |
+ |
хА |
} (х2 - |
I |
)4/5 |
У |
X 1п3 X |
||
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
2/3 |
|
|
||
7.436. |
Г |
|
|
<Ь |
7 Ш |
г |
|
(1х |
|
У \/бх—х2 —8 |
У хл/9х2 — 1 |
|
|||||||
1/3