Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с
.pdf§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 141
|
тт |
|
Ч г, |
ТТ |
|
( |
|
Лх |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
18. Найти |
/ — = = = = = . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
У |
ху/х2-2а:-1 |
|
|
|
|
|
|
||
<1 Полагаем х = |
1 |
гг, |
|
, |
М |
л-5— |
--- |
|
|
|
/121 |
||||
£ |
Хогда ах = |
— |
у х 2 —2х - 1 |
= \1— ---- 1 = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
£2 |
|
|
|
|
V |
£2 |
£ |
|
|
ч/1 —2* —Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
------------ И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
б?х |
|
|
_ |
I*Г |
|
|
ЛЬ |
|
|
_ |
[Г |
сИ |
|
|
У Хл/ж2-2ж- 1 |
|
У *2(1/<)(>/1*2(1/<)(л/1 —- 2* —- Л2/Л)*2/0 |
~ |
У х/2 - (4 + I)2 |
|||||||||||
|
|
|
*+1 |
|
|
. |
1 /ж 4-1 |
|
|
|
. |
ж + 1 |
|||
|
= —агсзт — т=- 4- С = —агсвт-- 7=-- Ь С = —атсят-- 7=- 4- С. > |
||||||||||||||
|
|
|
д/2 |
|
|
|
|
\/2 |
|
|
|
|
х^2 |
|
|
|
Найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
7.246. г ----- 7247Лх |
г |
|
[ |
|
|
|
Лх |
|
|
|||||
|
|
У |
(ж2 — 3)\/- /4 — ж2 |
|
У (ж2 + 1)(ж + \Лс2 + 1) |
||||||||||
|
7.248. |
|
Л/ГГ2 ------1 |
|
|
|
|
|
П П А Л [ |
Х3» |
|||||
|
[ — |
— |
-с/ж. |
|
7.249. / - 7= |
|
д.2 |
|
|
||||||
|
|
] |
|
х |
|
|
|
|
3 |
|
.,2 _ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
у/а |
|
|
|
|
||||
|
|
С |
|
Лх |
|
|
|
|
Г |
|
|
Лх |
|
|
|
|
7.250. |
/ |
— = = = . |
|
|
7.251. |
/ |
■ |
|
|
|
||||
|
|
У |
V 8х — х2 |
|
|
|
7 |
а/х2 4- рх 4- д |
|
||||||
|
7.252. |
[ |
|
<1Х |
|
|
7.2ЭЗ. [ |
|
|
+ |
4 |
А с . |
|
||
|
|
У |
л/4 — 6ж — Зж2 |
|
У |
\/2 — х — X2 |
|
||||||||
|
7.254. |
[ |
. |
Х ~ 3,., |
-йх. |
7.255. [ |
- |
= |
Л |
= |
|
с1х. |
|||
|
|
] у х 2 — 6х 4- 1 |
|
./ V х2 4- х 4- 1 |
|
||||||||||
|
7‘256' / |
ж^ж2 + 8ж + Т |
7'257‘ / |
(ж - 1)л/бж — ж2 — 5* |
|||||||||||
|
7.258. |
[ |
|
0 |
, |
ЛХ |
7.259. [ |
----- --------- |
|
||||||
|
|
,/ |
ж2\/1 — ж + 2ж2 |
|
У |
(ж + 2)2\/ж2 |
+ |
5 |
|||||||
|
7.260. ^ |
\Л - 2ж - ж2 с/ж. |
7.261. У |
|
|
л/(3 - 2ж - ж2)3 с/ж. |
|||||||||
|
7.262. |
Г |
У (ж 2 + |
1)5 |
7.263. / ^ |
с |
/ ж . |
|
ж2 |
||||||
|
|
У |
|
|
|
|
|
У |
|
||||||
7.264. У \Лс2 — 2ж + 10 с/ж. 7.265. ^ у/ а,х — X2 Лх.
142 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
|
'х 1 — а2 |
|
7.268. [ |
7.269. [ у/{х2 ~ 1 У<1х. |
|
.1 у ^ Г 9)3 |
У ^ |
' |
§ 3. Смешанные задачи на интегрирование
Найти интегралы:
г.3
7.270. |
[ |
Х * |
3 |
-<&с. |
|
У |
х2 + 2 |
ж + 4 |
|
7*272' |
/ |
, |
|
^ |
|
,1 |
(.т - 2 )2(х + 3) |
||
7.274. |
[ |
-г . ~ Х-— г,. |
||
|
./ |
.т5(:г4 + I ) 2 |
||
|
|
|
1пхс?ж |
|
7.276. /_________ |
____ |
|||
|
|
:г\/б + 41пж —1п2х |
||
7.278. J |
х\/х2 —4 с/х. |
|||
7.280. / ^ 2 + 4х + 5с/х. |
||||
|
У |
|
|
|
7.282. |
|
Х(^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-\/х4 + 16 |
|
|
7-284' /1 |
/ £ - % |
+ ! • |
||
7.286. |
/ |
""1Жвш: |
с/х. |
|
1 - з 1 |
/ 8111 Ж |
|
||
7.288. |
[ |
■ |
|
|
7.271. |
[ |
|
--- <*с. |
|
У ж2 - х - 1 |
||
7*273- [ Т~Т~Ту2' |
|||
|
|
У (х3 - I ) 2 |
|
7.275. |
[ |
|
о: с1х |
|
%/а;2 + ж +У2 |
||
|
|
|
|
_____ |
Г |
с1х |
|
7.277. |
/ __ _____ ____ |
||
|
У х\/х2+ 8х + 4 |
||
7.279. ^ |
|
х \/х2 + 4х —5 с/х. |
|
|
|
|
7.281. [ -% |
|
У |
|
(ж2 + 9)\/16 — ж2 |
- |
/ |
Г |
<1х |
7.283. |
|
\/(*2 + 4)3 |
|
|
У |
|
|
1 Л//1 + а;
7-285' 1 (1 + ж)2 V 1 — х
7.287.
х(1х
1 + СОБX *
(1х
7.289. [ 2 + сое х *
У (1 этх)
2 - ^ 5 ж
7.290. / ---— -. 7.291. / (1х.
|
|
§ 3. Смешанные задачи на интегрирование |
|
143 |
|||||
7.292. |
/ |
secxtgx , |
„ |
f |
cos6 х |
, |
|
||
/ |
. |
:JL^=z dx. |
7.293. |
/ |
------dx. |
||||
|
J |
|
V 5 - sec2 x |
J sin ж + 5 |
|
|
|||
7.294. |
[ |
-— ———r— . |
7.295. |
f |
- |
|
|
||
|
J |
|
sm x cos0 x |
J |
сс |
|
|
||
7.296. |
[ |
- |
--. |
7.297. |
f |
xsinxcos2xdx. |
|||
|
J |
|
sin |
x |
|
J |
|
|
|
7.298. |
[ |
, riX -- . |
|
|
7.299. / |
||||
|
J sh x ch x |
|
J |
sh2 x + ch2 x |
|||||
7.300. |
|
[ th5xdx. |
7.301. |
/ |
ch д/1 + ж |
dx. |
|||
J |
.______ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
J |
л/ТТж |
|
|
|
7.302. |
|
f |
X<^X . |
7.303. |
f |
sin2(In ж) dx. |
|||
|
J |
|
ch |
37 |
|
J |
|
|
|
7.304. |
|
J |
xe2x dx. |
7.305. |
J xe~x dx. |
||||
7 .m |
|
f |
|
f f * |
7 .307. |
[ |
|
|
|
|
J |
e?x+4ex—5 |
|
J |
axbx |
|
|
||
7.308. J e&rcsinx dx. |
7.309. |
|||
7.310. |
|
f |
arcsinж 1 + x2 |
, |
J |
/ |
--=--- . --г |
dx. 7.311. |
|
|
|
x2 |
|
|
J |
ч/е1 - |
1 с/х. |
J f/ |
e* |
arcsine1 ,--- dx. |
7.312. |
J |
|
X |
2 X dx- |
7.313. |
J x (l + x2) arctg: |
|||
7.314. |
J [ |
(1 + x)2 |
dx. |
7.315. |
Jf |
ж In (4 + ж4) dx. |
|||
M U . |
/ |
|
ж\/ж2 + 1 In \/ж2 — 1 dx. |
|
|
||||
7.317. |
J |
[ |
Г Х- |
|
ln |
- -~ ^ dx. |
|
|
|
|
|
v T ^ 2 |
|
v T ^ i 2 |
|
|
|
||
7.318. J |
|
жя(1 + ln я) dx. |
7.319. J |
dx |
|||||
144Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
§4. Определенный интеграл и методы его вычисления
1.Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Ес
функция /(х) |
определена на отрезке а ^ х ^ Ь и а — хо < х\ < |
< Х2 < • • • < |
хп_1 < хп = Ь — произвольное разбиение этого отрезка |
на п частей (рис. 14), то интегральной суммой функции /(х) на [а, Ь] называется сумма вида
п
5„ = /(С*) А®*,
к=1
где жЛ_1 ^ 6 ^ , Дх* = ж* - х —1, к = 1, 2, 3, ..., п. Геометриче ски 5п есть алгебраическая сумма площадей прямоугольников, имеющих
|
|
|
основания Дх& и высоты /(£&). |
||
|
|
|
Если определенная на отрезке |
||
|
|
|
[а, Ъ] функция /(х) |
такова, что су |
|
|
|
|
ществует конечный предел после |
||
|
|
|
довательности интегральных сумм |
||
|
|
|
5П при условии, что наибольшая |
||
|
|
|
из разностей Дх/. стремится к ну |
||
|
|
|
лю, причем этот предел не зависит |
||
|
|
|
ни от способа разбиения отрезка |
||
|
|
|
[а, Ь] на отрезки [х^-ь £*.]> ни от |
||
|
|
|
выбора точек |
на этих отрезках, |
|
|
|
|
то функция /(х) называется инте |
||
|
|
|
грируемой на отрезке [а, Ь], а сам |
||
|
|
|
предел называется |
определенным |
|
|
|
|
интегралом |
от функции /(х) в |
|
|
|
|
ъ |
|
|
пределах от а до Ь и обозначается символом J /(х) г/х. Таким образом, |
|||||
|
|
|
а |
|
|
/г |
/ (ж) <1х = |
Нш |
У^ f(&)&xk■ |
(1) |
|
/ |
|
шах Дж/.—^0 *—' |
|
|
|
а |
|
|
К—1Л—1 |
|
|
Непрерывная на отрезке [а, 6] функция /(х) интегрируема на этом отрезке.
Геометрически определенный интеграл (1) представляет собой алге браическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции у = /(.х), осью Ох и прямыми х = а и х — 6, причем площади, располо женные выше оси Ох, входят в эту сумму со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси Ох, — со знаком минус.
2
Пример 1. Вычислить J х2 (1х, рассматривая определенный инте-
1
грал как предел интегральных сумм.
/
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления |
145 |
О 1-й способ. Разделим отрезок интегрирования [1, 2] на п равных
частей длины Ах = —. Точки деления:
п
х0 = 1, Ж1 = 1 + -, |
ж2 = 1 + -, •••, |
жп_1 = 1 + -— 1, хп —2. |
П |
71 |
П |
В качестве точек £* выберем, например, левые концы каждого частичного отрезка. Тогда
|
|
|
|
|
|
I х |
2 |
|
|
|
|
|
|
/(ж0) = 1, |
/(Ж1) = |
( 1 + п |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2\2 |
,, |
|
. |
Л |
п - Г 2 |
|
|
|
|
/(а^г) — |
|
> • • • , |
/(^п-г) — + |
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Я« = - ("1 + (1 + М |
|
|
+ Г1 + -^ + ... + (\ + П~ 1 |
|
|||||||||
п \ |
\ |
п) |
|
\ |
п) |
\ |
п |
|
|
||||
|
|
4 г (п2 + (п + I )2 + (п + 2)2 + ... + (2п - I)2) = |
|
||||||||||
|
|
ГГ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
/ 2п—1 |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
? |
! |
|
£ * ■ |
- £ * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П' |
|
у . |
/с=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\к=1 |
||
Применяя формулу суммы квадратов целых чисел |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
п и2 _ п(п + 1)(2п + 1) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
к=1 |
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
/ (2п - 1)2га(4га - |
1) |
(га —1)п(2п —1)\ |
14га2 - 9га + 1 |
||||||||
п = |
^ |
V |
|
|
6 |
|
|
|
6) |
~ |
6^’ |
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
х |
о . |
.. |
14га2 —9га + 1 |
7 |
|
|
|||
|
|
|
|
ах = |
нгп |
• |
|
3* |
|
|
|||
|
|
J |
|
|
|
п —>оо |
бП 2 |
|
|
|
|||
2-й способ. Разобьем отрезок [1, 2] на части так, чтобы абсциссы точек деления образовали геометрическую прогрессию:
х0 = 1, XI = <?, х2 =<?2, . |
Xn-\-qn~]', £„=<?" = 2, |
146 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
где д = 21/п. Точку £* выберем на левом конце к-го отрезка. Тогда
/(х 0) = |
1, /(Ж1)=<72, /(ж2) = 94, |
/(ж„_1) = 92(п_1), |
||||||
А*! = д - 1, |
Дж2 = д2 - я = <7(5 - 1), |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Лх3 = д2(д - 1), |
|
|
Лх„ = дп-1(<? - 1), |
||
5« = 1 • (д - 1) + Я3(Я ~ 1) + д6(д - 1) + ... + д3(п_1)(д - 1) = |
||||||||
|
|
|
|
|
п3п _ 1 |
„Зп _ 1 |
||
|
|
|
|
23 - 1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
22/тг _{ 21/91+ 1 |
22/п + 21/п + 1 * |
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
2 . |
.. |
7 |
|
7 |
> |
|
|
/ х |
ах = |
11111 |
----г-7----— |
3 |
|
||
|
У |
|
п->оо 2 /п 4-2 /п + 1 |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как |
||||||||
пределы соответствующих интегральных сумм: |
|
|
||||||
5 |
|
|
тг/2 |
|
|
|
|
|
7.320*. I |
(1 + х) (1х. |
7.321*. J СОБХ(1Х. |
|
|
|
|||
010 |
|
|
0 3 |
|
|
|
|
|
7.322*. J |
ех (1х. |
7.323*. J |
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Нь тона-Лейбница. Если Р(х) — одна из первообразных непрерывной на
[а, Ь] функции /(ж), то справедлива следующая формула Ньютона -
Лейбница:
6
J /(я) с1х = ^(т)£= ДЬ) - F(a).
а
.е*2
Пример 2. Вычислить / —с1х 7 Xж1пж
е
< Имеем
ее
/^ = / ^ = М М | : = М 1 п е ^ М М = 1 п 2 * 0 , 6 9 . >
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления |
147 |
Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:
|
2 |
|
|
|
8 |
7.324. |
I |
ж3 с/ж. |
7.325. |
У |
|
- |
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
7.326. I |
(Зж2 - 2х + 1) йх. |
7.327. ^ {у/х + ^ж2) с1х. |
|||
|
1 |
|
|
|
О |
|
8 |
|
|
|
9 |
7.328. J |
> + |
с/ж. |
7.329. J |
- 1 (1х. |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
7Г |
|
|
О |
|
7.330. У |
этже/ж. |
7.331. |
(1х £ |
||
|
|
|
|
|
СОЪ2 X |
7 Г / 2 |
|
|
— 7 Г / 4 |
||
|
2 |
|
|
|
3 |
7.332. У |
ех с/ж. |
7.333. |
У 2х с/ж. |
||
|
1 |
|
|
|
о |
7.334. |
|
|
|
7.335. |
|
|
] |
X |
|
У |
2ж - 1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
7.336,. /[ |
|
|
,37.337.. /[ |
а т 2(р<Ьр. |
|
|
о |
|
|
о |
|
|
тг/З |
|
2 |
||
7.338. У |
tg4 ж с/ж. |
7.339. У |
эЬ3 х (1х. |
||
7Г/6 |
|
|
О |
|
|
|
1 |
|
1 |
||
_ „ . „ |
/' |
|
с/ж |
____ /* |
с/ж |
7.340 |
/ |
4ж2 + 4ж + 5 |
7.341. У |
х/ж2 + 2ж + 2 |
|
|
о |
|
|
о |
|
|
4 |
р2 |
|
-1 |
|
7.342. |
[ |
2 - ± | * , 7.343. |
[ -|±± |
(1х. |
|
|
У |
ж — 2 |
] |
х6 — х |
|
|
3 |
|
|
-2 |
|
7.344, |
I |
^ |
Л х . |
7.345. | |
X |
|
|
|
|
|
|
1
148 Гл. 7. Интегральное исчисление функции одной переменной
7г / 2
Г.346. |
[ |
--- (1х 2 - |
7.347. [ |
cos3о а da. |
|
./ |
жх(\1 + 1Inп2Xж) |
J |
|
|
1 |
|
о |
|
|
1/3 |
3 |
|
|
7.348. |
|
ch2 3xdx. |
7.349. J |
dy |
|
У2 - 2у - 8 |
|||
|
О |
|
2 |
|
|
|
|
||
7.350. |
[ |
—= = £ = = . |
7.351. |
— -cte. |
|
J |
V2 + 3x2х2 |
J 2х + 1 |
|
|
3/4 |
|
0 |
|
_ |
[ |
х1+ Зж |
|
|
7.352. / |
--- — —^— Tzdx. |
|
||
|
J |
{х + 1)(ж2 + 1) |
|
|
о
С помощью определенных интегралов найти пределы сумм:
п |
п |
п |
7.353**. lim -г— -г + |
|
+ ... + |
п->оо \п2 + I 2 |
п2 + 22 |
п2 + п2 |
1. |
7Т ( |
7Г |
|
7Г/7Г\ |
lim |
— |
1 + cos -— hcos2--- h ... + cos (n — 1)— ). |
||
n->oo 2n V |
2n |
2n |
2n J |
|
7.355. lim — [ \j 1 H— n->oo n V V n
+ y l + —■+... + * /l + —■]. V ft V ft /
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
7.356. У = |
1 |
2 |
-ж |
, у — 0, ж = 2, ж = 3. |
|
|
2 |
|
7.357. У = 7.358. г/ =
7.359. у =
7.360. у =
7.361. у =
|
У - 0, .т — 1, ж = 8. |
|
6 — х — 2ж2, у = ж + 2. |
||
to |
|
|
Н |
*5 II |
|
^I |
=2-^- |
|
I |
|
|
7Г
COS X, у' = 0, ж = -
‘ 2 ’ Ж= _ е~х, у = 0, ж = 1, ж = 2.
7.362. у = |
2 |
|
0, ж = 2, ж: = 3. |
X |
У = |
||
|
|
|
3 7.363. у = —ж, ж + У = 4.
|
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления |
149 |
||
3. |
Свойства определенного интеграла. |
1) Если f(x) ^ 0 на отрезке |
||
|
ь |
|
|
|
[а, Ь], то J f(x) dx ^0. |
|
|
||
|
а |
Ь |
Ь |
|
|
|
|
||
2) Если f(x) |
^д(х) на [а, Ь], то J f(x) dx < J д(х) dx. |
|
||
|
|
a |
a |
|
|
b |
b |
|
|
3) |
J f(x) dx |
< J \f{x)\dx. |
|
|
a
4) Если /(ж) непрерывна на [а, Ь], га — наименьшее, М — наибол шее значения f(x) на [а, 6], то
ь
m(b —а) ^ j f(x) dx ^М(Ь —а)
(теорема об оценке определенного интеграла). Пример 3. Оценить интеграл
1
,dx
■о/ л/ 1 + ж4
< Имеем: 1 ^ 1 + х4 ^2 при 0 ^х ^1; |
|
|
|
1 |
1 |
■= - ^1, |
|
—7= ^ |
|
|
|
\/2 |
\/1 + х4 |
|
|
т. е. гп = —т=, М = 1, Ь — а = 1. |
Следовательно, |
/ <С 1. [> |
|
\/2 |
|
|
\/2 |
5)Если /(ж) непрерывна, а д(ж) интегрируема на [а, 6], #(ж) ^0, га
иМ — наименьшее и наибольшее значения /(ж) на [а, Ь], то
ь ь ь
m Jg (x )d x ^J f(x)g(x)dx^ M J д(х) dx
(обобщенная теорема об оценке определенного инте
грала). |
|
б) |
Если /(ж) непрерывна на [а, Ь], то существует такая точка с |
Е (а, Ь), что справедливо равенство
ь
J f{x)dx = f{c)(b —а)
а
(теорема о среднем значении).
150 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
Число |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
/ М = |
J / 0*0 dx |
называется средним значением функции /( х) на отрезке [а, Ь\. |
|||
7) |
Если / ( х) непрерывна, а д(х) интегрируема на [а, Ь] и д(х) ^ |
||
то существует такая точка с Е (а, 6), что справедливо равенство |
|||
|
о |
|
о |
|
j |
f{x)g(x)dx = /(с) J g{x)dx |
|
(обобщенная теорема о среднем).
8) Если / 2(;х) и д2(х) интегрируемы на [а, Ь], то
6 |
|
о |
о |
п |
|
J f 2(x)dx J |
|
J f{x)g{x) dx |
V/ |
||
ам
(неравенство Коши-Буняковского) .
9) Интегрирование четных и нечетных
ных пределах. Если функция f(x) четная, то J
g2(x)dx
функций в симметрич
f(x)dx = . / л х) dx.
а
Если функция f(x) нечетная, то / /о*о dx = 0.
10) Если функция /(ж) непрерывна на отрезке [а, 6], то интеграл с
переменным верхним пределом
X
$0*0 = j f(t)dt
а
является первообразной для функции /(ж), т.е.
х
$'(*) = ( J f(t)dt) = f(x), х € [о, Ь].
а
11)Если функции ф(х) и ф(х) дифференцируемы в точке х Е (а, Ь)
и/(£) непрерывна при (р(а) ^t ^^(Ь), то
ф(х)
( J f{t)dtj^= f(ip{x))tp'(x) - f(ip{xj)y'{x).