Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

Пример 5. Найти [

■

- - .

У

х(х2

+ I )2

1

А

Вх С

Г)х 4~Е

х(х24-I )2

х

Н-------------о . . ' +

{х24-I )2

х24-1

наковых степенях х, получаем 0 =

А 4-В, О — С, 0 = 2А 4-В 4-И,

О = С 4-Е, т.е.

В = - 1 , С = О,

£ = -1 и Е = 0.

Следовательно,

[ ___ ^____=

[ ( - - —

__________ -___ ^<1г =

У ®(®2 + 1)2

У V*

* 2+ 1

(ж2+1)2У

= 1п|х|-^1п (Ж2 + 1) + 2^ Г1у + С'.

Заметим, что разложение дроби —— --- -г на простейшие можно по-

х(х1

4-1У

1

(14-х?) - х2 _

1

х

_

х(х2 4- I )2

х(х2 4- I )2

х(х24- 1)

(х2 4- I )2

(1 4-х?) - х2

х

_

1

х

х

х(х2 4- 1)

{х24- I )2

х

х24- 1

(х2

о- >

4- I )2

Найти интегралы:

7.158

'

Лх

- -

Г

**

Ч - Т - ,-

/7

2х2 — 4х 4-5

][г

4-4ж ~ 5

7.160

Г

хЛх

7.161.

[[

хЛх

7 X2 - Ъх 4- 4

7 х2 — Зх 4-3

тт

.

тт

f

sin3 х

Пример 6. Найти / —= = d x .

J

\/cos х

<

Имеем:

/

sin3х

dx

[

sin2х .

,

[ 1 —cos2х

1

—

=

/

--7--.--— sm х dx

— -

/ — ■==—d cos ж —

v^cosx

J

у cosx

J

у cosx

f

d cos x

/

f cos2x

4 4/— о—

4 4/— —

= — /

—-===+

—= = = dcosx = --Vcos6 x-\— -vcosu 3: + (7. t>

J

f/cosx

J

COS X

3

11

cos

9

1 + cos 2х

. о

1 —c°s 2х

1

х — --- ---- ,

sin

х — --- ---- ,

sinxcosx — - sm2х.

Пример

7. Найти J sin2ж cos4xdx.

<1 Имеем:

[ . 2

4

j

Л -

N2

2

7

f

sin22х 1 + cos 2х л

/ sinх cos

xdx

— / (sin ж cos ж)

cos

xdx — /

— ----------- a x —

= -J sin22xdx + ^ J sin22x • cos 2x dx — ^J

1 —cos 4x

--- ---- r/,'+

1

f

. 9

x

sin 4x

,3 «

_

sin'32x

+-

j

sm

2z<Ism2.r = _

- —

+ - j j -

+ C. >

<

1ак как ----— = —4, то вычисление интеграла сводится к интегри-

1

1

3

о

о

рованию степеней тангенса:

j

sin1/3 х cos-13/3 xdx — j

tg1/3 x • dx

=

[ tg1//3 x(l + tg2 x) - -y- -

[ tg1/3 xdtga;+

J

cos^ж

у

+ J tg7,/3 x dtg x =

^tg4/3 a: + ^ t,g10/3 a: + C. [>

ctg3 x + ctg x + ж + C.

t>

В общем случае интегралы вида J sinm х cos11х dx, где т и п

—

f

dx

Пример 10. Вывести рекуррентную формулу для / — -г-——

и с

}

COS2/c+1 X

dx

ее помощью найти ( -

<1 Имеем:

J

СС

т

f

dx

f sin2 х + cos2 x ^

=

2/c+1

= J

COS2^ 1 X =

J

c o s ^ x

/ sin2 x

f

dx

f .

sin x

TT

-

i

dv = —

S i n X 7

m

1

7

v =

Полагаем u = sinx,

-y—— dx. Гогда au =

cos x dx,

1

coszlc+L x

2k cos2* х 7и интегрированием по частям получаем

__

sin x

1

f

dx

2k+l

2kcos2k x2k

J

cos2k~l x

2fc_1’

или

sin ж

(

1 \

/2fc+1 - 2 * c o s « z 4

2*_1

(рекуррентная формула).

<1 Имеем

I

f

1

1

cos 9а; cos 5xdx — ~

(cos4a;+cos 14x)dx — - sin4a;+ — sin Ux+C. >

2 J

8

28

Найти интегралы:

7.212. j *sin3x cos 5xdx.

7.213.

sin 10a; sin I5x dx.

Г

x

x

т

7.214.

/

cos — cos — dx.

7.215.

sin - cos — dx.

/

2

3

3

3

7.216. J

cos x cos2 3x dx.

7.217.

sin x sin 2x sin 3x dx.

sin а: = -

21

1 - t2

2dt

cos a; — -------dx

TT

_ T

f

dx

Пример

12. Найти

/ ------- — ----

J

4cos x + 3sin x -f 5

Г

dt

f

dt

2

2

J

t2 + 6t + 9 “

J

(t + 3)2 ~ t + 3 + “

tg (x/2) + 3 + >

Найти интегралы:

7.228. J

сЬ2 Зж <Ь.

7.229. /

вЬ3 2х <Их.

7.230. J

зЪ2 хс\\2 х йх.

7.231. J

с1\Лх(1х.

7.232. [

9 ЛХ 9 .

7.233*.

/

<1х

У

эЬ х сЬ х

У

эЬ2 ж — 4 сЬ2;

7.234*.

[

7.235.

[

у/сЬх + 1сЬ.

У сЬж - 1

у

7.236. J

^113жс?ж.

7.237. J и 14 я',(1х.

. 1\Г1\/п\

/ |\ГП2/П2

1

ах + о\

'

( ах + о х

/

я (Х' , с х

+ <1)

+

где Я(х, у, г, ...)

— рациональная функция своих аргументов, гах, пх,

Ш2,

П2, ...

—

целые числа,

вычисляются

с помощью подстановки

аХ + Ь

„

7П\

7112

---- - = г, где 5 — оощий знаменатель дробей —-, — , ...

сх + а

77,1

П2

Пример

14. Найти /- - 7= = - ^ ——— = .

У (^ Т З - 1)ч/^ + 3

<3 Производим подстановку х + 3 =

£4. Тогда Лх — 4£3 (И, и,

следова­

тельно,

[

^х

_ 4 [

^^

_

У

+3 - 1)\/х +3

У

(<- 1)£2

= 4 /

ГГТ = 4 у ’ ^

^

Л

= 4(* + 1п|*- 1|)+С =

= 4 ( ^ Т з + 1п | ^ Т з - 1|) + а >

Найти интегралы:

-

[

йх

.-----

„

/

/’

х<1х

7.238.

/

-----ч

7.239.

- 7= = = .

У

(5 + ж)\/Г+ж

У \/2ж - 3

_ Л.П

[

йх

7.241.

[

V х

+ а — 1

,

7.240.

/

- 7=-гт=.

/

------------ — -

У

^/х-

у

(.т + а )(1 + •у'ж + а)

7.242. f

7.243.

[ ____* ____

}

У х - Ц х - 1 Г

’ •'‘" • У (*-1)^3-

7 . 2

4 4 7 . 2 4

5 .

f-\ l^ — ^dx.

J

i\/x +4)v/i

J х\х + 1

1)n =

/sin£

или

u = lth t ,

2)u =

ltg t

или

n = /sh£,

3) гг — /sect

или

u = /ch£

J \Jx2 - a2 dx = a2 J sh2 tdt —

J (ch 2t - I) d t --

a2 ( sh 2£

\^ a2, , ,

4 ^

2 V 2

£7J -f-(7 —~~2(sh £ ch t —£) + С =

= ^\/X 2 ~-~Q? -

In \x+ \/г2 - a21-f C. D>