Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

.pdf

Скачиваний:

3297

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

8.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 121

Г
7.76. / ---- ■.-------- -		(0 < 6	< о).
J	(о - 6)х2 - (а + 6)	у		'
7.77. .	с1х	Г.78. I[		X с1х
	4х2 + 7		./	4х2 + 7
Г.79. I	я 2 йх	ш__	,	: (1х.
Г.79. I		7.80.	/	: (1х.
	%/х6 + 1 ‘	‘ ’	У	\/а2х - 1

Применяя различные приемы, найти неопределенные инте гралы.

7.81*.		[ ---		<1х.	7.82.	[	п Х ■с1х.
		У	(ж + 2)2			./	3 + х2
		Г х2 — 2х + 3				[	хс1х
		'	х2 - 4		ч/		а2* 4 - Ь2 ‘
			3			Г	X4 + 1
7.85.		/	----	я с1х.	7.86.	I	. гах.
	У		9 — 4х8			У	х5 + 5х —
7.87. I			х3 У б х 4 - 3 с1х.
^	I7		л	ж \	(1х
	I7		(V	ч/х2\/ + 1У/	л/ж2\Лс2 + 1

7.89.[/ ~Т==- ^ =Щ^хЛ г ..

Ул/1 - 4.x2

7.91.I

7.93.[ - 7£ = < 1 х .

Ул/^ ^ Т4

г о ,	[ е ^	+ х + 1 ^
I	/	/ - и»Х •

У ч /Г ^ 2

7.97.[ \/3 — сЬг/;«Ьхс/ж.

	с1х
7.99. [	-- , а1 . .
	хл/\ — 4 1гГ ж
7.101*.	[ с о б 2 х (1х .
	7

7.103. J(э т ах + совах)2с1х.

7..90.. I[

Уа2 + 62х2

7.92.Jех \/4 + ех (1х.

7.94. [ - ? - .
	У	2* + 1
70Д	Г х е ^			^
I *1/0«	1		у —	.
У		л/^ ^ Т
7.98.	[		— ,.^Х
7		жу 1 — 41п.г*
7.100*.		/	У\|п- х с/х.
7.102.	[		с1х
		-
	7		вт ( х / у / 2 ) '
7.104. J			х2	с1х.
			соя (ж3)

122 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной

	.	(l + cos2x) .			f		sin2x
7.105.	/	----- — - dx.		7.106.		-T= = d		x .
		cos 2x			7		V 3\/3- cos2—COix
		sin2x	,		/f		dx
7.107.	/	- ^ 3=		7.108*.				[
	J	v/cos'1x + 3			./		sin x cos x
7.109.	/	— ^ =-.		7.110.		th ax dx.		fl
	./	ctg v3x			У
7.111.	J tg2 (ax + 6)dx.			7.112.			x2ctg2 (x3 — 3) dx.

7.113. I eSQCX tgxsecxdx.

б) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интеграл

I f(x) dx, где функция /(ж) определена на некотором множестве X . Вве

дем новую переменную и формулой

х = С^(х): и -> X,

где функция <р(гх) дифференцируема на некотором множестве U и осу ществляет взаимно однозначное отображение U на X , т.е. имеет об ратную

и = <р-1 (х): Хг —>U.

Подставив х — ^(и) в исходное подынтегральное выражение, получаем

/(х) dx = f

(и) da = g(u) du.

Далее, справедливо равенство

/ f(x) dx = / f{y(u))ip'{u)du

= / g(u)du

т. e. вычисление интеграла J /(x) dx сводится к вычислению интеграла

J g(u) du (который может оказаться проще исходного) и последующей

подстановке и =	).
	1 + х
	----7= dx,
	/1 + а/ х

<] В рассматриваемом случае область определения подынтегральной функции X — [0, +оо). Произведем подстановку

х ip(u) = и2, и Е [0, +оо).

	§*1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 123
Тогда Лх — 2и Ли,			и = (р 1(ж) =		у/х, откуда
/*	1 + ж	_	/* гг3 4*и		Г 2	оч	,	А [	Ли
/	---- 7=	Лх —21		--- — Ли —2 / (гг		- гг 4- 2)	Ли —4 /		---- =
У	1 + >/я		У-	м + 1	У '	'		У	гг 4- 1

= 2 ( ? ‘3- + 2,‘) “ 41п <” + 11 + с 1 - ^ =

= 2 (^х3/2 - ^х + 2Х1/2) -41п(\/х4-1) + С. О

Применяя указанные подстановки, найти интегралы:

71,1	/	„Л	* =
7.115.	[	- ,ёХ -	, ж = -.
	У	хл/4 — х2	t
7.116.	[	— — т=,	х = £ .
	]	х + у 5
	С	е2х
7.117.	/	-----Лх,	х — 1п£.
	./	еж 4-1

Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:

7.118.	[ х(5х		— I )19 с1х.	7.119.	[	.е3х		Лх.
	7				J	у/1 -	е
7.120.	[	Г Х--- — йж.		7.121.	[	Х Х		Лх.
	]	х/^ Т Т +1			./ ( З - ж )7
7.122.	[		Лх	^.		0 [	Лх
7.122.	/	" 7=	= -	7.123.	/	— 7 = = .
	У	\/3 4- ех			У	х\/х2 4- 1

3. Метод интегрирования по частям. Если г/(ж) и г>(ж) — диффере цируемые функции, то справедлива следующая формула интегрирования по частям:

/ и(х)„'И * = « ( х М » ) - / » ( г > Ч х ) * ,

или в краткой записи

J иЛу = иу —! у Ли.

(2)

Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выра жение /(ж) Лх можно так представить в виде иЛу, что стоящий в правой

части (2) интеграл при надлежащем выборе выражений и и Лу может

124 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной

оказаться проще исходного интеграла. При этом за и удобно принимать множитель, который упрощается при дифференцировании. Например, если под знаком интеграла стоит произведение многочлена на тригоно метрическую или показательную функцию, то к и следует отнести мно гочлен, а оставшееся выражение — к dv. При этом формула (2) может применяться неоднократно.

Пример 6. Найти J х2 cos xdx.

<] Полагаем и = х2 и dv = cos х dx. Тогда dn = 2х dx и v = J cos x dx —

— sin ж (постоянную С здесь полагаем равной нулю, т.е. в качестве v берем одну из первообразных). По формуле (2) имеем

J х2cos х dx — х2sin х — j 2х sin х dx.

К стоящему справа интегралу снова применяем формулу интегрирования

по частям, причем к и снова относим многочлен (т.е. 2х). Имеем: и =

— 2ж, dv —sin xdx. Отсюда

du — 2dx и v — smxdx = —cosx.

Применяя формулу (2), получаем окончательно:

— X 2 sin х + 2х cos х - 2sin х + С. >

Если подынтегральная функция содержит сомнолштелем логариф мическую или обратную тригонометрическую функции, то их следует принимать за гг, так как в результате дифференцирования эти функции упрощаются.

Пример 7. Найти / In xdx.
dx	f	dx = x. Подста-
<1 Полагаем и = In я, dv = dx. Тогда du = — и v =		dx = x. Подста-
x	J
вив в формулу (2), находим

J In x dx — x In x - j x— — x In x —x + C. >

Иногда после двукратного применения формулы интегрирования по частям приходим в правой части к выражению, содержащему исходный интеграл, т.е. получаем уравнение с искомым интегралом в качестве неизвестного.

^_§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 125

Пример 8. Найти J еаж sinbxdx.

О Полагаем u = eax, dv — sin bxdx. Тогда du = аеах dx, v — —7 cos bx.
Подставив в (2), имеем										b
Подставив в (2), имеем
	J eax smbxdx =			-—^^-eax cosbx b+ x7				JI eax cos bxdx.
Теперь полагаем и — eax,				dv =		cos bxdx.		Тогда du		= aeax dx,	v =
=	7 sin bx и
	b
	f		1			о / важ	sin bx - -			о	Г\
	/ еаж sin bxdx — - - еах cos bx + - ( —						sin bx - -			eax sin bxdxj .
В	итоге получено		уравнение		относительно				неизвестного интеграла
J еах sin bxdx. Решая это уравнение, находим
	1 +	° 2 \	f ат •	l	7	аж а	S in Ь х		~ Ь C0S Ь х
	1 +		eaxsmbxdx = eax----- -------+ Ci,
или			,	eax(asmbx - bcosbx)
	/		,	eax(asmbx - bcosbx)
		еа* sm bx dx = -- --- 5—					------ 1 + C. >
						a"24- b

Применяя формулу интегрирования по частям, найти инте гралы:

7.124. J arccos ж dx.		7.125. J ж cos xdx.
/ ж1пжс!ж.		Г	з?
/ ж1пжс!ж.		7.127. у ~^=: dx.
7.128. J { x 2 - x + l)ln x d x .		7.129. J x2 sin ж dx.
7.130. J x2e~x dx.		7.131. J	xzex dx.
7.132*. J xze~x2 dx.		7.133. J	dx.
/			X 2
		г x gi
			эшж
	xarctgzda:.		7-—.135dx.	./
			6 x

7.136. j eax cos bx dx.

7.137. J earccos1 dx.

126 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной

7.138.	J	\п(х+ \/1 + х2) dx. 7.139.			J ж3 ln х dx.
7.140.	J	х З х dx.	7.141. J ( x 2 — 2x + 3) cos x dx.
7.142.	[ — %—•		7.143.		[ cos (ln ж) dx.
	J	COSz X			J
Применяя различные методы, найти интегралы:
7.144*. j		dx.	7.145. J		x(arctg x)2 dx.
~	f	arcsinX ,	* +	f		о	xdx.
7.146.	/	— “ 2 — dx.	7.147.	/ ж ctg			xdx.
M48. j		~ ~ ~ dx.	7.149*. f			X'‘		dx.
					(x2 + l) 2

7.150**. Вывести рекуррентную формулу для интеграла 1П

I	Най™ ,ги ,з■
Найти интегралы:
7.151**. I \Лс2 + а,с1х.			х2
		7.152**.	dx.
7.153.	х arcsin х dx.	7.154. J	ln (ln х) т
			----- - dx.
7.155.	j x2arctg x dx.	7.156. [	dx.

7.157*. j/ \Ja1y/a2 —- xx2dx.

§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций

1. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование произ-

~ Рт(х)		Ьт хт 4-... 4- Ь\х 4- Ьо
вольной рациональной дроби	Чп(х)	= ---------------- с деистви-
	Чп(х)	апхп 4-... 4- а\х 4- а0

тельными коэффициентами в общем случае производится следующим образом.

Т?	^	К Рт(х)
Ьсли т	^п, т. е. исходная дробьнеправильная, то следует
		Яп(х)

предварительно выделить в этой дроби целую часть, т. е. представить

б2. Интегрирование основных классов элементарных функций 127

еев виде

	Рт(х) _ д г	( \	,	Кг(х)	. V
	дп(®) “	т_п( }		д„(*)’	( )
где М т-п{х)	и Д г(х) — многочлены степеней га — п ^ 0 и г соответ-
		Дг(ж)
ственно, причем г < п, т. е. дробь - ---- правильная.
		Чп(х)
		Рт (х)		производится делением чи-
Выделение целой части в дроби			—	производится делением чи-
		Чп{х)
слителя на знаменатель «уголком».
П р и м е р	1. Выделить целую часть дроби
	Рт{х) _	(ж2 + 1)3
	С?„(х)	х(х2 — 2х + 1 )

<3 Дробь неправильная, так как т — б > п = 3. Для выделения целой части записываем числитель и знаменатель в каноническом виде:

(х2 + I )3 = х6 + За;4 + За;2 Н-1,

х(х2 — 2х + 1) = х3 - 2х2 + х,

и далее, выполняя деление «уголком» первого многочлена на второй,

получаем в частном х 3 -Ь 2а;2 + 6х + 10, а в остатке 17а;2 — 10а; + 1. Следовательно,

(х2 + I )3	__	х	з ,	2 , а т	^ х2 — 10х + 1
х(х2 — 2х +	1)	х	Н- 2х	4- 6а; 4~ 10 4~
х(х2 — 2х +	1)

и выделение целой части закончено. >

Как показывает формула (1), операция выделения целой части сводит интегрирование произвольной рациональной дроби к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Для того чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь

Рт(х)

С^п\Х) т < п, следует предварительно разложить ее в сумму так на-

зываемых простейших дробей. Это разложение осуществляется следую щим образом. Пусть знаменатель С2п{%) — о>п%п + ... 4- 0 [Х 4- ао имеет

действительные корни	а^,	а/ кратностей ^1, ..., ^	и комплексно
сопряженные пары корней		/?ь . ., /3*, /Зк кратностей	^ соот
ветственно (^Н-..	2£х ~К . • 4~2£& ~ п), т. е. справедливо разложение

С}п{х) ~ а„(х - а !)51 ... (.т - ацУ'(х2 -гр\х + г/О'1... (х2 + ркх + ЯкУк,

где

X2 + Р ,,Х Т Пи - (•' - П„)11 - Д,Л- V ~ I. ■.. , к.

128 Гл. 7. Интегральное исчисление функции одной переменной

Р т М

Тогда разложение дроби ---— в сумму простейших имеет вид

				Щп\Х)
I ?П{Х)(г	—	л(1)	' • • • ' ~/		АЛ31(1)			/ij4(/)	г . . •
()п{:х)	—	х —Qi	' • • • ' ~/		W г . . . +		х —ai		г . . •
()п{:х)		х —Qi		(х - a i)Sl			х —ai
	^ 4 ?			1 B^x + c™ t		^ t		в ^ х + с ^ ^' "
		(х - ai)s'		x2 +])ix + qi				(х2 + PI X + qiY1
					B[k)x + C[k)				В {к)х + С ^{
				•	• • H— г,				——+ ... + - - — .
					x~+pkx + qk				(х2 +pkx + qk)tk

Коэффициенты А^\ в\^ и с\^ в этом разложении определяются пу-

тем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х у мно гочлена РП1(х) и многочлена, который получается в числителе правой

части (2) после приведения ее к общему знаменателю (метод неопреде ленных коэффициентов). Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве (2) или ему эквивалентном х равным подходяще по добранным числам (в первую очередь значениям действительных корней знаменателя Q n (x)).

(х + 2)2

П р и м е р 2. Дробь —--- —тг разложить в сумму простейших.

х(х - l)z

<\Искомое разложение имеет вид

(х + 2)2 _	А В	С
х(х - I )2	х + х - 1	+ ( х - 1)2

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем тождественное равенство

х2 + Ах + 4 = А(х - I )2 + Вх(х - 1) + Сх.

(3)

Приравнивание коэффициентов приодинаковых степенях х дает систему уравнений:

Л + В = 1, - 2А - В + С = А, А = 4,

откуда получаем А = 4, В = —3,	С —9.	Следовательно, искомое разло
жение имеет вид:
х2 + Ах + 4 _	4	39
х(х - I )2	х	х —1 (х —I )2

Можно определить коэффициенты А , В , С другим способом, полагая последовательно в тождестве (3) х = 0, х = 1 и, например, х — — 1: при х = 0 находим А = 4, при х = 1 получаем С — 9, а при х — — 1 имеем

1А + 2 В - С = 1, т.е. В = -3.

§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 129

При решении этого примера лучше всего было бы комбинировать оба способа, т.е. найти А = 4 при х = О, С = 9 при х = 1, а В определить

из равенства коэффициентов при х2 в (3), т.е. из равенства А-\-В — 1. О

Формула (2) показывает, что интегрирование произвольной рацио нальной дроби сводится к интегрированию простейших дробей следую щих четырех типов:

1)	А	Г А
1)	.	/	---- с1х = А 1п \|х - а\+ С.
	х - а	]		а
	А	/,	Л	\	/*	А.	А	1
	7-----	(к — 2, 3, . . .).			/	7---- -Г Лх ~ —--- 77---- 77
	(ж - а )к				}	(х —а)к	к —1 (х —а )к
.	Ах + 6		о	Л
3) -у—-- —			р2 - 4q< 0.
	х1 + рх + д

Метод интегрирования дробей этого типа рассмотрим на примере.

Г	х —1
Пример 3. Найти / —------ с1х.
]	х2 + х + 1

<1 В рассматриваемом случае дис криминант квадратного трехчлена, сто ящего в знаменателе, отрицателен: р2—4д = 1 —4 = —3 < 0, т. е. имеем

дробь третьего типа. Так как (ж2 + х + I )7= 2х + 1, то числитель дроби преобразуем следующим образом:

Х ~ 1 = \(2х + 1)~7>=\(х2 +Х + 1У ~7>

(это преобразование называется выделением в числителе производной квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе). Поэтому

/ У - 1.	(х2 + х + 1У		3 [	с1х	__
/ У - 1.	‘ П ? ± *Л }У . й1- Ч
У х2 + х + 1	2 У х2	+ х +1	2 У х2 + х + 1
		1 ,	/ 2 ■	I-*'	3/*	(1х
		= - \п(х2 + X +			2 у	ж2 + х + 1
		2			2 у	ж2 + х + 1

Оставшийся интеграл находится выделением полного квадрата в ква дратном трехчлене:

[	^хс1х	_ [		^(1х	__ 4	[Г	с1х
]	х2 + х + 1	У	(ж + 1/2)2 + 3/4		3	У 1 + (2 (ж+ 1/2)/л/з)"
		_ _ 2_ Г		с!(2(х + 1/ 2)/л/3)			2	2х + 1
		"	л/3 •/	1 + (2(* + 1/ 2)/л/3)2 “			V3 а С*е	л/З +
	В результате заданный интеграл равен
	[ ~Т~— ~Т		2				л/З	^(ж2+х+
	,/ ж +	ж + 1	2				л/З

130 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной

4) + Д р^-АсКО, к = 2,3,...

(х^ 4-рх 4- Метод интегрирования дробей этого типа рассмотрим также на при

мере.

Пример 4. Н а м ,,/

<1 Здесь р2 —4ц — 4 —12 = —8 < 0, т.е. имеем простейшую дробь че

твертого типа. Сначала выделяем в числителе производную квадратного трехчлена:

	* + 2	/-(1/ 2)(а + 2 + ЗУ + 1 ^ _
Г ...... Д-+-Я____ & =		г.
)	(х2+2х +3)2	У	(а;2 + 2а; + З)2
			1	*	с/х
			2(х2 4-2х 4- 3)	/	(х2 4-2х + З)2
			2(х2 4-2х 4- 3)	У	(х2 4-2х + З)2

Для вычисления оставшегося интеграла предварительно приведем его к стандартному виду, выделяя полный квадрат в квадратном трех члене:

[	^х	_	[	^х		_	^ [	(1х
[	^х	_	[	^х		_	^ [
]	(х2 + 2х + З)2	у	(а;	I	)2		4 У	(1 + ((х + 1)/л/2)2)2
			((* +	1)2	+ 2)а		4 У	(1 + ((х + 1)/л/2)2)2
	1 Г		с1((х + 1)/У2)				1	Г ___(Ь
	2^ У	(1 +((х((а;+1)/У2)2)2-\/2)2)2					~ 2Д)! (1 + и2)		и—(х+1)/у/2
	Далее используем метод интегрирования по частям:
[	^4 _ [ 1 +		'2 —		^	>7/,<		г п2 Ли
[	^4 _ [ 1 +		~ и		_ [ ^и			С
У	(14-и2)2“ У	(14-г/2)2			У	1Т^"У (1 4-п2)2
	= аг ^ и 4-- / иа I — — г							1 и
	= аг ^ и 4-- / иа I — — г						= аг^ и + -
					и2 )			2 1 4-и2
				1			„	1 (	и	\ „
			- - а п ^ г / + с7 = - ( а ^ и + -							- ) 4-С.

Окончательно получаем:

х+ 2 , 1

/ах — - —-т;-- ---—+ (х2 4- 2х 4-З)2 2(х2 4- 2х + 3)

1	х +1	1 х +1	_
+ 4 ^ 2	8 ' 7 Г	+ 4 х 2 + 2 х + 3 + а	>

В общем случае /с > 2 рассмотренный в примере 4 прием позволяет свести вычисление интеграла J (1 + и2)~к (1и к вычислению интеграла

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебник по математике Ч2

#
23.02.2015201 б48Прочтите это!.txt
#
23.02.20158.57 Mб3297Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с.pdf