Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

§ 5. Векторные и комплексные функции действит. переменной 1 КЗ

Следовательно,

z'(t) ” x'{t) + iy\t) =

6.601. z = 2e2S t £ [0, 7r].

6.602. z = 3e'^ + e_ li, £ G (—oo, +oo).

6.603. z — (2 -b i)eJ -(-(2 — z)e \ t G (—oo, -boo). 6.604. z ~ t2 -h г/,4, t G (— oo, +oo).

6.605. z = t + i — ie~lt, £ G [0, 27г].

6.606. z — ae^(l — it), G G K , t £ (—oo, +oo).

6.607*. Известно, что z — z(£) определяет закон движения точки на плоскости. Найти компоненты скорости pi ускорения по направлению касательной к кривой z = z(t) и перпендикулярному к нему.

6.608*. Точка «г пробегает окружность \z\ — R с постоянной угловой скоростью, равной единице. Найти вектор скорости точки w, движущейся вместе с z по закону w = f(z).

Пусть D = ~ — оператор дифференцирования, т.е. Dz(t) = z'(t).

Линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициен­ тами р (D) = anD n 4-... 4 а\D 4-ао определяется следующим образом:

р (D)z(t) = anz^n\t) 4 . . . 4 ciiz'(t) 4 a0z(t).

6.609*. Доказать следующие свойства линейного дифференци­ ального оператора с постоянными коэффициентами:

а) р (D)ext — p(X)ext;

б) р (D) (extz(t)) = extp(D + X)z(t), где z(t) — произвольная комплекснозначная функция, п раз дифференцируемая при любом t £ (—oo, 4-оо).

Для заданных функций вычислить указанные линейные ком­ бинации производных:

6.610. x"{t) + 3x\t) 4-x(t), если x(t) = te 1cos t.

114 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

= e{~l+i}t(D2 + 2(* - 1 )D + {i- l )2 + 3D + 3[i - 1) + 1)« =

= e(-1+i)' (D2 + (1 + 2i)D + (-2 + i))t = е<_1+<>‘ ((1 - 2t) + *(2 + t)) =

= e_, (((1 —2t) cost —(2 4-t) sin t) + i((l —21) sin t + (2 + t) cos t)).

Отсюда получаем:

x"(t) + 3x'(t) + x(t) = Re (D2 + 3D + 1)te{~l+i)l =

6.616. (1/ 2)x"(t) — x'(t) + x(t); x(t) — (1 + t2)el cost.

Г л а в а 7

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Функция ^(х) назы­ вается первообразной функции /(ж), заданной на некотором множестве

функции /(ж), то Ф(ж) является первообразной той же функции в том и только в том случае, когда Ф(х) = F(ж) + С, где С — некоторая по­

стоянная. Совокупность всех первообразных функции /(ж) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом

J /(.т)с1х. Таким образом, по определению

( 1)

где F(x) — одна из первообразных функции /(ж), а постоянная С при­ нимает действительные значения.

В силу установившейся традиции равенство (1) записывается без явного обозначения множества справа, т.е. в виде

/ / W & = F W + C,

при этом С называют произвольной постоянной. Свойства неопределенного интеграла:

116 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменноi

Таблица основных неопределенных интегралов:

гп+1

1. J хп dx = П + 1 + С

2' / т = 1п1а:1+ с -

15sh х dx = ch x -f C.

■/

§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 117

7.14. cos (a + x) cos (a — x) + sin (a + x) sin (a — x).

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы основ­ ных интегралов и тождественных преобразований называют непосред­ ственным интегрированием.

Используя таблицу основных интегралов, найти следующие интегралы:

§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 119

т. е. вычисление интеграла J/ }] (х) dxах сводитсяСЕ к вычислению интеграла

J g(u ) du (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке и = ср(х).

<Произведем замену переменной по формуле

и~ Зх -f 1.

Тогда du ~ 3 dx, т. е.

dx = du

Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак диффе­ ренциала функции а ~ Зх 4- 1. >