Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

;§ 5. Векторные и комплексные функции действит. пер сменной 101

6.540. г = cos2 t • i + sin t cos t • j + sin t • k, t G [0, 2n}.

направленный по касательной к годографу вектор-функции г(£) в сторону возрастания аргумента t.

траекторию и скорость движения.

102 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

6.545. Дано уравнение движения г = 3£i+(4£—t2)j. Определить траекторию и скорость движения. Построить векторы скорости для моментов t — 0, t — 1, t — 2, £ = 3.

6.546. Дано уравнение движения г — 2(t —sin£)i -f 2(1 — cos t)j. Определить траекторию и скорость движения. Построить векторы скорости для моментов t = 7г/2, t — тт.

6.547. Найти единичный касательный вектор годографа вектор-

функции г — е2Ч — (£ + 8)4//3j при t — 0.

6.548. Найти единичный касательный вектор годографа векторфункции г = (t3 + t)i + £2j при t — — 1.

6.549. Найти производные вектор-функций:

при произвольном t и при t — 0.

6.555. Дано уравнение движения: г = 2(£ —sin£)i + 2(l — cos£)j. Определить ускорение движения. Построить векторы ускорения для моментов t — тт/2, t — тт.

§ 5. Векторные и комплексные функции дсйствит. переменной 103

6.556*. Дано уравнение движения: г = 3ü+ (4t — t2)j. Опреде­ лить ускорение w движения и его тангенциальную wT и нормаль­ ную wn составляющие в любой момент t и при t — 0.

Определить ускорение движения и его тангенциальную и нормаль­ ную составляющие в любой момент t и при t — 0.

3. Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость.

Уравнения касательной к пространственной кривой х = x(t), у = y(t),

z = z(t) в точке Мо(.то, 2/сь ~о)> которой соответствует значение параме­ тра to, имеют вид

где х, у, г — текущие координаты точки касательной. Уравнение нор­ мальной плоскости в той же точке:

Пример 2. Доказать, что касательная к винтовой линии

г= (acost, ttsint, bt) образует постоянный угол с осью Oz.

<Найдем вектор, касательный к годографу вектора г:

т. e. 7 — const. >

Пример 3. Написать уравнения касательной и нормальной плос­

кости к кривой х —t2 —1, ?/ = £ -f 1, z — t3 в точке Мо(0, 2, 1). <3 Данной точке соответствует значение параметра f = 1. Имеем

Уравнения касательной:

У- 2

§ 5. Векторные и комплексные функции действит. переменной 105

2) если кривая задана уравнением в неявной форме ^Р(х, у) = 0, то

кУ 0

№+ .Р 2)3/2

3)если кривая задана параметрическими уравнениями х = ж(£

у= ?/(*), то

ж' ?/'

хп у"

(.т'2 + у'2)3/2

4) если кривая задана в полярных координатах уравнением г = Г(</?), то

Окружностью кривизны (соприкасающейся окружностью) кривой в ее точке М называется предельное положение окружности, проведенной через точку М и две другие точки кривой Р и ф, когда Р —>М и $ —>М.

Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны в соответству­ ющей точке М, а центр окружности кривизны (центр кривизны) нахо­ дится на нормали к кривой, проведенной в точке М в сторону вогнутости кривой.

Координаты X и У центра кривизны равны

Эволютой кривой называется линия, описываемая центром кри­ визны при движении точки по кривой. Формулы для координат центра кривизны определяют параметрические уравнения эволюты.

Пример 4. Найти уравнение эволюты параболы у2 = 2(х + 1).

получаем у' + уу” = 0, откуда у" = --- = — -. Находим координаты

У У6

*) Здесь используются частные производные функции двух переменных; опре­ деление см. в п. 3 § 1 гл. 8.

106 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

центра кривизны:

тем самым найдены параметрические уравнения эволюты:

Исключив параметр у, найдем уравнение эволюты в виде

Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных кривых:

6.574*. Вершиной кривой называется такая ее точка, в которой кривизна имеет максимум или минимум. Найти вершину кривой у = е~х.

6.575. Найти вершину кривой у = lux.

§ 5. Векторные и комплексные функции действит. переменной 107

Вычислить координаты центров кривизны и написать уравне­ ния окружностей кривизны данных кривых в указанных точках:

а3

6.576. у = —z--- т в точке М ( 0, а). a1 -f xz

6.577. у = е~х2 в точке М (0, 1). 6.578. у — хех в точке М ( —1, —1/е). 6.579. у = sin ж в точке М(7г/2, 1).

5. Дифференциальные характеристики пространственных кривых.

Во всякой неособой точке М (х, у, г) пространственной кривой г — г(£) можно построить три взаимно перпендикулярных вектора:

Т = - (направляющий вектор касательной),

N = [В, Т] (направляющий вектор главной нормали) или соответ­ ствующие им основные единичные векторы:

Трехгранник с вершиной в точке Мо, ребрами которого служат касатель­ ная, главная нормаль и бинормаль, называется естественным трех­ гранником (триэдром) пространственной кривой. Гранями его явля­

108 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Уравнение соприкасающейся плоскости:

В х(х - х0) + Ву(у - з/о) + Bz(z- z0) = 0.

Уравнение спрямляющей плоскости:

Nx(x - х0) + Ny(y - уо) + Nz(z - z0) = 0.

бинормали в этой точке.

<1 Имеем

г — (1 —sint)i -f cost • j + tk,

dr

— — —cos t • l —sin t • 1-f k, at

d2r = sin t • l —cos t • j.

= ((1x1 с1у, (1г) и сРг = (йРх, сРу, й2г), причем можно считать одну из пе­ ременных х , у, ^независимой и ее второй дифференциал равным нулю.

Пример 6. Написать уравнения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей кривой

Г х2 + у2 + = б, \х2 - у2 + х2 = 4

в ее точке М( 1, 1, 2).

<1 Дифференцируя данные уравнения и считая х независимой перемен­ ной, получим:

хс1х 4-у (1у 4-^(1г = 0,

х(1х —у с1у + г с1г = 0

с1х2 + (1у2 + у сРу + (1г2 + г сРг —0, с1х2 —(1у2 —у сРу + (1г2 + г сРг = 0.

При ж = 1, у — 1, г — 2 имеем:

ним эти векторы векторами, им коллинеарными, (2, 0, —1) и (0, 0, —1), откуда

Отсюда находим:

у —1 = 0 — уравнение соприкасающейся плоскости; 2х —г — 0 — уравнение нормальной плоскости;

х + 2г —5 = 0 — уравнение спрямляющей плоскости. >