Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

ложена выше касательной, проведенной к графику функции у — /(ж) в любой точке ж Е (а, Ь).

Если же на интервале (а, Ь) всякая касательная располагается выше дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) (на рис. 9 график

функции у — /(ж) является выпуклым вниз на интервале (а, жо) и вы­ пуклым вверх на интервале (жо, Ь)).

Если функция дважды дифференцируема на (а, Ъ) и /"(ж) > О

(/"(ж) < 0), то ее график является выпуклым вниз (вверх) на этом интервале.

В простейших случаях область определения функции /(ж) можно разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением вы­ пуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точками, в которых

Рис. 9

/"(ж) = 0, либо / "(ж) не существует. Точка (жо, /(яо))> в которой на­

правление выпуклости графика функции меняется на противоположное, называется точкой перегиба (см. рис. 9).

Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция /(ж) дважды дифференцируема в некоторой окрестности ио(хо) точки

ж0, в которой / /;(жо) = 0 или /"(жо) не существует. Если при этом в

интервалах (жо —5, хо) и (жо, хо + 6) производная /"(ж) имеет противо­ положные знаки, то жо — точка перегиба.

Пример 2. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика

|ж — 11

функции у ~ -- г— .

X1

<3 Находим вторую производную:

Следовательно, критическими точками первой производной являются точки Ж1 — 0, Ж2 ~ 1, жз = 3. При этом в точках х\ и Ж2 вторая производная не существует (в частности, /"(1) = 4, а /^(1) = -4), а в точке жз она равна нулю.

92 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Получаем четыре интервала выпуклости: (-оо, 0), (0, 1), (1,3),

(3, +оо). Исследуя знак второй производной в каждом из этих интерва­ лов, выводим, что график функции является выпуклым вниз на интерва­

лах (—оо, 0), (0, 1), (3, +оо) и выпуклым вверх на интервале (1, 3). Сле­ довательно, точки Х2 и хз являются точками перегиба графика функции, а х\ не является. Полученные результаты удобно свести в следующую таблицу:

Найти интервалы выпуклости графика функции у = /(.т), точ­ ки перегиба и угловые коэффициенты к касательных в точках перегиба:

6.448. При каких значениях a и b тока (1, 3) является точкой

перегиба кривой у — ах3 + Ьх21

6.449. При каком выборе параметра h кривая вероятности

что расстояние от точки М(а;, /(х)) графика функции до этой прямой

стремится к нулю при бесконечном удалении точки Л/ от начала коор­ динат. Тогда такая прямая называется асимптотой графика функции.

Если при этом координата х точки М стремится к конечному числу а, то полупрямая х = а (у > 0 либо у < 0) является вертикальной асимптотой. Для существования вертикальной асимптоты в точке х — а

94 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

функции (если они имеются): симметрия, периодичность, постоянство знака, нули, точки пересечения с осью Оу, точки разрыва и т. п. Затем, используя первую и вторую производные, находим точки экстремума и перегиба, интервалы монотонности и выпуклости, а также асимптоты.

\х—11 Пример 4. Построить график функции у = -- — .

х1

<3 Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки х — 0, всюду неотрицательна и равна нулю лишь в точке х — 1. Ее исследование про­ ведено в примерах 1-3. Результат этого исследования полезно свести в одну таблицу — объединение таблиц 4.1 и 4.2. При этом следует вычи­ слить и записать в соответствующую клетку таблицы / ;(3) = —1/27 — угловой коэффициент касательной к графику функции в точке перегиба.

Рис. 10

Рекомендуется также вычислить /!_(1) = —1 и /+(1) = 1 — угловые

коэффициенты левой и правой касательных в точке (1,0) графика. Эти данные помогают точнее построить график функции, приведенный на рис. 10. О

Пример 5. Построить график функции у = ух(х —I)2.

<3 Функция определена и непрерывна на всей действительной оси и обра­ щается в нуль в точках х = 0 и х — 1.

Находим первую производную

Приравнивая ее нулю, получаем х = 1/3. Таким образом, критическими точками функции являются: хх = 0, Х2 = 1/3, х% = 1 (в точках х\= 0 и хз = 1 производная не существует). Эти точки разбивают область опре­ деления на четыре интервала монотонности (—оо, 0), (0, 1/ 3), (1/ 3, 1),

у(х) возрастает на интервалах (—оо, 1/3) и (1, 4-оо). Аналогично рассу­ ждая, находим, что у1(х) < 0 при х Е (1/3, 1) и, следовательно, функция на этом интервале убывает. В точке х2 = 1/3 функция достигает мак­

симума ^/тах(1/3) = ~ 0,529^, а в точке хз = 1 — минимума

(утт (1) = 0).

2

Находим теперь вторую производную у" = --- ■ = = = = = . Крити9у/ж5(х - I)4

ческими точками первой производной являются х\ — 0 и хз — 1 (вторая производная в этих точках не существует). Получаем три интервала вы­ пуклости исходной функции: (—со, 0), (0, 1) и (1, 4*оо). В первом ин­ тервале функция выпукла вниз (так как у11> 0 при х < 0), а во втором и третьем — выпукла вверх (у11 < 0 при х > 0, кроме точки х = 1). Следовательно, (0, 0) является точкой перегиба графика функции (с вер­

тикальной касательной).

Результаты проведенных исследований сводим в таблицу:

Для уточнения поведения функции в окрестности точки х = 1 за­ метим, что /!_(1) — -оо, /+(1) = +оо, т.е. в точке (1, 0) графика

функции левая и правая касательные совпадают, образуя вертикальную касательную.

Наконец, определим асимптоты. Так как функция непрерывна на всей оси, то вертикальные асимптоты отсутствуют. Для определения наклонных асимптот находим сначала

§ 4. Исследование функций и построение графиков

6.521*. у = ж1/Т, ж > 0. 6.522. у (1 + ж)1/^, ж > — 1.

8ШЖ

6.523*. у

98 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Построить кривые, заданные параметрически:

6.524. x = te1, у = te~l, t G М.

<3 Проведем вспомогательные вычисления:

следует, что кривая расположена в области {(x, у) \х G [—l/e, +оо), у G G (—оо, 1/е]}. Из выражения для производной ух определяем критиче­

ские точки t\= I (ух(1) = 0) и 12 — —1 (у'х{—1) не существует). Кри­ тические точки первой производной находим из выражения для второй

производной уЧх: t3 = у/2 {ухх{у/2) = 0), U = -у/2 (ухх{~^2) = 0) и £5 = —1 (2/xæ(“ l) не существует). Следовательно, А(—у/2/е^, —у/2е^) и В(у/2еу^, y/2/e^) — точки перегиба.

Наконец, находим асимптоты. Если £ —» —оо, то х —» 0, а у —У—оо, т. е. х = 0 — вертикальная асимптота. Отметим, что при приближении

Рис. 12

точек кривой к этой асимптоте их координата по х остается отрицатель­ ной. Если t —> +00, то х —>+оо, а у -> 0, т.е. у = 0 — горизонтальная асимптота. Точки кривой при приближении к ней имеют положительную координату по у.

Результаты исследования сводим в таблицу (табл. 4.4) и делаем все необходимые выводы в правойее колонке. Кривая приведена на рис. 12. >

100 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Задание вектор-функции а = a(t) равносильно заданию трех число­ вых функций ax(t), ay(t): az(t) — координат вектора а:

а = ax(t)i + ay(t)j + az(t)k,

или, кратко, а = (ax(t), ay(t), az(t)). Если вектор а является радиус-

вектором точки М(ж, у, г), то соответствующую вектор-функцию при­ нято обозначать:

г = г(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k.

Годографом вектор-функции г = r (t) называется линия, описыва­

емая в пространстве концом вектора г. Всякую линию в пространстве можно рассматривать как годограф некоторой вектор-функции. Параме­ трические уравнения годографа:

X = x(t), y = y{t), z = z(t).

Пример 1. Найти годограф вектор-функции

<1 Имеем параметрические уравнения годографа

1 - t2 21

* = Г Г ? ’ * = Т 7 ? ’ г = 1-

Исключая параметр t, получим

Следовательно, годографом вектор-функции r(t) является окружность

х 2 + у 2 = 1 , Z = 1,

из которой исключена точка (—1; 0, 1), получающаяся в пределе при t —> —» ± оо. >

Найти годографы вектор-функций: