Учебник по математике Ч2 / Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.2_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -432с

ББК 22.1 С 23

УДК 51(075.8)

К о л л е к ти в авторов:

А.В. ЕФИМОВ, А. Ф. КАРАКУЛИН, С. М. КОГАН,

А.С. ПОСПЕЛОВ, Р. Я. ШОСТАК

Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учеб­ ное пособие для втузов / Под общ. ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспе­ лова. — 4-е изд. перераб. и доп. —М.: Издательство Физико-мате­ матической литературы, 2001.—432 е.—КВК 5-94052-035-9 (Ч. 2).

Содержит задачи по основам математического анализа, а также дифферен­ циальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких пе­ ременных, дифференциальным уравнениям и кратным интегралам. Крат­ кие теоретические сведения, снабженные большим количеством разобран­ ных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения.

Для студентов высших технических учебных заведений.

Учебное издание

ЕФИ М ОВ Александр Васильевич, КАРАКУЛИН Анатолий Федорович, КОГАН Сергей Михайлович, ПОСПЕЛОВ Алексей Сегеевич, Ш ОСТАК Родион Яковлевич

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ Часть 2

Редактор Л. А . Панюшкина Корректор Т. С. Вайсберг

Компьютерная графика М. В. Ивановский Компьютерный набор и верстка Г. М. Красникова

ИД № 01389 от 30.03.2000 Гигиеническое заключение № 77.99.02.953.Д.003724.07.01 от 05.07.2001

Подписано в печать 05.11.2001. Формат 60x88/16. Печать офсетная с готовых диапозитивов.

Уел. печ. л. 27. Уч.-изд. л. 30,5. Тираж 7000 экз. Заказ X2 486

Издательство Физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Отпечатано в типографии ОАО «Внешторгиздат» 127576 Москва, Илимская улица, 7

ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ

Настоящее издание «Сборника задач по математике для втузов» подверглось значительной перестановке глав и их распределению по томам. В результате первый том содержит алгебраические раз­ делы курса высшей математики, в том числе векторную алгебру и аналитическую геометрию, определители и матрицы, системы ли­ нейных уравнений, линейную алгебру и новый раздел — общую алгебру.

Второй том полностью посвящен изложению основ математи­ ческого анализа, дифференциальному и интегральному исчисле­ ниям функций одной и нескольких переменных, а также диффе­ ренциальным уравнениям.

В третьем томе собраны специальные разделы математиче­ ского анализа, которые в различных наборах и объемах изучаются в технических вузах и университетах. Сюда относятся такие раз­ делы, как векторный анализ, элементы теории функций комплекс­ ной переменной, ряды и их применение, операционное исчисление, методы оптимизации, уравнения в частных производных, а также интегральные уравнения.

Наконец, четвертый том содержит теоретические введения, ти­ повые примеры и циклы задач по теории вероятностей и матема­ тической статистике.

Указанные выше изменения составляют лишь структурную пе­ реработку Сборника, никоим образом не затрагивая ни расположе­ ния материала внутри соответствующей главы, ни последователь­ ности нумерации примеров и задач.

В смысловом отношении авторы внесли только следующие из­ менения. Во всех разделах Сборника исключены теоретические введения и циклы задач, связанные с численными методами. Дело в том, что в настоящее время существует целый ряд программных оболочек, каждая из которых реализует достаточно полный набор стандартных методов приближенного решения задач, а основные навыки работы с компьютером можно приобрести уже в школе. Авторы посчитали также необходимым добавить один новый раз­ дел «Основы общей алгебры» и предложить цикл задач по тензорной алгебре в разделе «Линейная алгебра» в первый, «алгебраический» том Сборника. Это связано с тем, что круг идей и методов общей алгебры все глубже проникает в наукоемкие отрасли промышлен­ ности и, следовательно, становится необходимой частью образова­ ния и подготовки специалистов по инженерным специальностям.

Кроме отмеченного выше, авторами выполнена стандартная техническая работа по исправлению ошибок, описок и других не­ точностей, учтены также все замечания, возникавшие в процессе работы с предыдущими изданиями Сборника.

А. В. Ефимов, А. С. Поспелов

Г л а в а 5

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика

1. Понятие действительного числа. Из курса математики средн школы известно, что всякое неотрицательное действительное число х представляется бесконечной десятичной дробью

(1 )

где [х] — наибольшее целое число, не превосходящее х и называемое целой частью числа .т, хп 6 {0, 1, 2, ..., 9} для любого п £ N.

При этом дроби, у которых хп = 9 для всех п ^ щ (щ — некото­

рое натуральное число), обычно исключаются из рассмотрения в силу следующих равенств:

[ж],999... = [х] + 1, [Х),Х1Х2 .. .£„0-1999... = [х\,х\х2 ■■■(я„0-1 + 1) (по > 1, ж„0_1 ф 9).

Действительное число х рационально, т.е. представимо в виде от-

ТП

ношения — , га, п € 2 , в том и только в том случае, когда дробь (1)

71

периодическая. В противном случае число х иррационально. Абсолютной величиной или модулем действительного числа х на­

зывается неотрицательное число

х, если х ^ О, —я, если х < 0.

Предполагается, что правила сравнения действительных чисел, а также арифметические операции над ними известны из курса матема­ тики средней школы.

5.1.Доказать, что число

0 , 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 . . . 1 0 . . . 0 1 . . .

п

иррационально. Выписать по три первых члена из последователь­ ностей конечных десятичных дробей, приближающих это число с недостатком и с избытком.

5.2. Следующие числа представить в виде правильных рацио­ нальных дробей:

а) 1,(2); б) 3,00(3); в) 0,110(25).

5.3. Доказать, что число ^5 иррационально.

<3 Предположим, что ^5 — рациональное число, т.е.

Но последнее равенство невозможно: число 2 входит в разложение левой части на простые множители, но не входит в аналогичное разложение для правой части, что противоречит единственности разложения целых чисел на простые множители. Поэтому исходное предположение неверно, и, следовательно, число ^5 иррационально. О

Доказать, что следующие числа иррациональны:

5.4. уД. 5.5. ^/р, р — простое число, п > 1.

5.6. 2 + уД. 5.7. у/ 2 + уД. 5.8. \ogsP, р — простое число.

7Г

5.9. — + 7гп, п Е 2, если известно, что п иррационально.

Взадачах 5.10-5.13 сравнить указанные числа.

5.10.\ / 2 - ^ и ^ - 2 .

<3 Предположим, что верно неравенство

Тогда:

у/ 2 + 2 < уД + Д ,

6 + 4ч/2 < 8 + 2уД5,

2уД < 1 + у/15, 8 < 16 + 2у/15.

Так как последнее неравенство верно, то в силу обратимости выполнен­ ных преобразований верно и исходное неравенство (2). >

5.13. 1<^106з2 ^и 1.

5.16.1(^4 26 > \оёб17.

5.17.Доказать, что модуль действительного числа обладает сле­ дующими свойствами:

а) |.т| = тах{.т, —ж};

б) \х-у\ = \х\■\у\и - =

У\У\

в) \х + УI < N + Ы и |ж - у\^ ||ж| - \у\\ (неравенства треугольника);

2. Множества и операции над ними. Под множеством понимает любая совокупность объектов, называемых элементами множества.

Запись а € А означает, что объект а есть элемент множества А (при­

надлежит множеству А)\ в противном случае пишут а £ А. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 0 . Запись А С В (А содержится в В) означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В ; в этом случае множество А называется подмножеством множества В. Множества А и В называют равными (А — В), если А с В и В С А.

Существуют два основных способа описания множеств.

ментов из некоторого основного множества Т, которые обладают общим

свойством а. В этом случае используется обозначение

А = {х е Т |а(я)}, где запись а (х) означает, что элемент х обладает свойством а.

Пример 1. Описать перечислением элементов множество

А = {х Е Ъ |(х - 3)(х2 —1) = 0 и х ^0}.

< А есть множество всех целых неотрицательных корней уравнения (х - 3)(х2 - 1) = 0. Следовательно, А = {1, 3}. >

Объединением множеств А и В называется множество

А и В = {х\х £ А или х 6 В}.

Пересечением множеств А и В называется множество

АГ\В — {х\х £ А и х £ В}.

Разностью множеств А и В называется множество

А\В = {х\х Е А и х В].

Если, в частности, А — подмножество некоторого универсального мно­ жества Т, то разность Т\А обозначается символом А и называется до­ полнением множества А (до множества Г).

5.28. Установить, какая из двух записей верна:

Изобразить на координатной плоскости следующие множества:

5.35.{(ж, у) Е К2 |х + у — 2 = 0}.

5.36.{ (ж, у) Е М2 |х2 — у2 > 0}.

5.37.{(ж, у) Е М2 |(х2 - 1 )(у + 2) — О}.