Практика по квантовой механике / Метода часть 1

Лекции по квантовой механике

Кет-векторам можно поставить во взаимно-однозначное соответствие векторы сопряженного (дуального) пространства * (рис. 1.1). Вектор из * называется бра-вектором и обозначается символом . Например, для кет-

где индекс «+» обозначает эрмитовое сопряжение.

Бра-вектор f можно рассматривать как линейный функционал в про-

Вернемся к пространству Гильберта и отметим некоторые его особенности.

1. Оно является линейным пространством. Это означает, что в нем определены операции сложения (а) и умножения на число (б):

11

Кислов А.Н.

g= 0 ;

•1 g = g для любого g .

Следствие из аксиом: имеет единственный нулевой элемент 0, для которого 0 g = 0 (слева число нуль, а справа нулевой элемент пространства).

2. Гильбертово пространство может иметь как конечное число n линейно независимых элементов, так и бесконечное число. В первом случае пространство является n-мерным и обозначается символом n, во втором случае оно бесконечномерное и обозначается как ∞.

Для пространства n термин n линейно независимые векторы l1 ,…, ln

i=1

α2,… – это произвольные числа, обращается в нуль только при значениях α1 = α2 = …= αn = 0. Причем любая существующая в пространстве n система n

i=1

где коэффициенты g1, g2,…– это компоненты (координаты) кет-вектора g в базисе l1 ,…, ln .

Бесконечномерное пространство ∞ не допускает конечного базиса. В пространстве ∞ с непрерывным базисом {lξ }, где ξ – это непрерывный параметр, любой вектор g может быть представлен в виде

Сумма заменяется интегралом, а интегрирование проводится по области значений, которые может принимать параметр ξ.

12

Лекции по квантовой механике

1.2. Линейные операторы

Математический аппарат квантовой механики основан на использовании линейных операторов в гильбертовом пространстве (см. п. 2.1).

Оператором L , действующими из пространства X в пространство Y, называется математическая операция, позволяющая сопоставить любому элементу (вектору, функции) g X некоторый элемент f Y. Для символи-

ческого обозначения такой операции будем использовать следующее равенство

Другими словами, действие оператора на стоящий с ним вектор сводится к преобразованию этого вектора в новый вектор.

В случае, когда X и Y являются подпространствами единого линейного пространства , говорят, что оператор действует в этом пространстве. Оператор L , действующий в пространстве , называется линейным, если для лю-

2. L(α g ) = αL g , где α – любое комплексное число (свойство одно-

родности оператора).

Алгебра линейных операторов.

Пусть L и K – это линейные операторы в пространстве .

1. Операторы L и K считаются равными, если выполняется равенство

L g = K g

13

Кислов А.Н.

LK g = L(K g ) ,

т. е. действие произведения LK на вектор g заключается в последовательном действии оператора K на g , затем оператора L на вектор K g .

В общем случае произведение операторов некоммутативно, т. е. зависит от их порядка: LK ≠ KL .

Дадим определения некоторых классов операторов.

1. Оператор, который обозначается символом [L, K ] и определяется ра-

14

Лекции по квантовой механике

Отметим ряд свойств сопряженных операторов.

а) (L+ )+ = L ;

б) (αL)+ = α* L+ ;

в) (L + K)+ = L+ + K + ;

г) (LK)+ = K + L+ , т. е. при сопряжении произведения операторов их порядок меняется.

Для примера докажем свойство под буквой а. f L g = ( g L+ f )* =

=f (L+ )+ g ** = ( f (L+ )+ g ) .

5.Оператор L является самосопряженным или эрмитовым, если он совпадает со своим сопряженным оператором L+

Эрмитов оператор удовлетворяет соотношению

6.Оператор L называется унитарным, если обратный ему оператор L−1

исопряженный оператор L+ равны

является оператором проектирования на кет-вектор g . Его действием на произвольный кет-вектор f

Pg f = g g f = g f g ,

будет кет-вектор пропорциональный g , а коэффициент пропорциональности равен g f , т. е. скалярному произведению g на f .

15

Кислов А.Н.

1.3. Собственные векторы и собственные значения оператора

Если для оператора L и ненулевого вектора l выполняется уравнение

вида

ным вектором оператора L соответствующим собственному значению l.

Данное уравнение означает, что оператор L , действуя на вектор l , просто

умножает этот вектор на численный множитель l.

Совокупность всех собственных значений оператора называется его

спектром. Он может быть дискретным (точечным) или непрерывным

(сплошным). В первом случае собственные векторы образуют дискретный набор {li }, где i = 1, 2,…, n, во втором – непрерывный набор {lξ }, где ξ –

это непрерывный параметр.

Можно отметить следующие свойства собственных векторов линейного оператора L .

а) Собственные векторы определяются с точностью до произвольного ненулевого множителя, так как после умножения векторов на произвольный множитель они будут удовлетворять однородному уравнению (1.15).

б) Собственные векторы li , соответствующие различным собственным

значениям li (li ≠ lj при i ≠ j), линейно независимы.

в) Собственному значению li может соответствовать s различных линейно независимых собственных векторов l1 ,…, lS . В этом случае данное соб-

ственное значение будет вырожденным, а число s принято называть кратно-

стью вырождения.

г) Линейная комбинация (α1 l1 +…+αS lS ) из s собственных векторов l1 ,…, lS , относящаяся к одному и тому же собственному значению li, тоже

будет собственным вектором, соответствующим этому значению li. Широкое применение в квантовой механике находят эрмитовы операто-

ры (см. п. 2.1). Выделим несколько важных свойств этого класса операторов.

16

Лекции по квантовой механике

а если спектр непрерывный, то

б) Поскольку собственные векторы линейного оператора определяются с точностью до произвольного ненулевого множителя, этот множитель для эрмитовых операторов можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства

В этих равенствах δij – это символ Кронекера:

1 , если i = j , δij = 0 , если i ≠ j ,

а символом δ(ξ′ − ξ′′) обозначена дельта-функция Дирака (см. прил. П1):

+∞ , если ξ′ = ξ′′ , δ(ξ′ − ξ′′) =

0 , если ξ′ ≠ ξ′′ .

Итак, эрмитовы операторы обладают ортонормированными собствен-

ными векторами, определяемыми с точностью до фазового множителя eic (i – мнимая единица, с – вещественное число), модуль которого равен 1.

в) Собственные значения эрмитовых операторов вещественны, кроме того, эти значения, соответствующие собственным кет- и бра-векторам, совпадают.

В самом деле, подействуем бра-вектором l на уравнение (1.15), тогда

l L l = l l l .

Возьмем комплексно-сопряженные выражения от обеих сторон этого равенства

l L l * = l * l l

и его левую часть перепишем с учетом того, что

l L l * = l L l .

17

Кислов А.Н.

Отсюда следует, что l = l*, т. е. собственные значения вещественны и совпадают, так как для бра-векторов уравнение на собственные векторы и собственные значения оператора имеет вид

l L+ = l L = l* l .

1.4. Представления векторов и операторов

При рассмотрении многих задач квантовой механики удобно перейти от абстрактных величин: векторов и операторов, к их представителям, записанным в определенном представлении. Под представителями понимаются компоненты (координаты, проекции) векторов и матричные элементы операторов, которые выражаются наборами чисел. Для того чтобы записать векторы и операторы через их представителей, необходимо выбрать базис в пространстве (другими словами выбрать представление). Этот выбор произволен. Однако в действительности он зависит от решаемой задачи и осуществляется так, чтобы максимально упростить вычисления. На практике обычно используют в качестве базиса собственные векторы эрмитова оператора L , поскольку они, как говорилось выше, образуют систему линейно независимых ортонормированных векторов.

Вначале рассмотрим дискретное представление. Считаем, что некий

странству n, можно однозначно записать через линейную комбинацию базисных векторов l1 ,…, ln

i=1

где коэффициенты g1, g2… являются комплексными числами, представляю-

Это равенство нетрудно получить, умножая слева выражение (1.19) на бра-

18

Лекции по квантовой механике

Таким образом, в l-представлении (базис образован векторами {li }) кетвектор g записывается в виде дискретного множества комплексных чисел {gi = li g }, которые принято располагать вертикально. Следовательно, в данном случае представителем кет-вектора g является матрица-столбец (матрица с одним столбцом и множеством строк)

gn

Подставляя (1.20) в разложение (1.19)

n

g = ∑ li g li

i=1

ипереставляя местами число li g и кет-вектор li , приходим к выражению

Видим, что возник оператор

получаем единичный оператор I . Соотношение (1.21) представляет собой спектральное разложение оператора I и называется соотношением замкну-

тости (или условием полноты базиса {li }). Отметим, что формулы (1.17) и

(1.21) выражают основные свойства дискретного полного базиса.

Также и произвольный бра-вектор g можно однозначно разложить в полном базисе, образованном векторами {li }:

19

Кислов А.Н.

сел gi* = g li , которые располагаются горизонтально и образуют матрицустроку (матрица с одной строкой и множеством столбцов):

g → (g *1 …gn* ).

которая выражает скалярное произведение через сумму произведения представителей fi* и gi соответственно бра-вектора f и кет-вектора g . С ма-

тематической точки зрения происходит умножение матрицы-строки на мат- рицу-столбец, в результате чего получается число.

Представителем произвольного оператора G , действующим в простран-

Числа Gij образуют квадратную матрицу размера n ×n . Они зависят от двух

индексов и называются матричными элементами. Первый индекс указывает номер строки матрицы, второй – номер столбца.

Элемент Gii = li G li , соответствующий двум базисным векторам с

одинаковыми индексами, называется диагональным матричным элементом, так как расположен он по диагонали матрицы.

Сумма диагональных элементов Gii матрицы называется ее следом (или шпуром) и обозначается символами Sp (или tr):

i=1

20