А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

ком-то шаге степень х в числителе дроби либо станет равной 0 (при целом

k), либо станет отрицательной (при k не целом), тогда х из числителя «уйдет», и так как предел знаменателя равен ¥ , то предел всей дроби будет равен 0. Таким образом, при x ® +¥ показательная функция растет быстрее степенной.

4. Вышеприведенные примеры показывают, что во многих случа ях правило Лопиталя существенно сокращает и упрощает раскр ытие неопределенностей. Однако не следует думать, что оно является ун иверсальным средством для этих целей и методы вычисления пределов, изложенные в гл. 2, больше не нужны. Для иллюстрации этого рассмотрим предел:

lim x - sin x . x→∞ x + sin x

Так как при x ® +¥ х растет, а | sin x |£ 1, то наш предел является нео-

2cos 2

а последний предел не существует.

5. lim sin x × ln x.

x→+0

84

5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Это уже неопределенность вида 0Ч ¥ . Такие неопределенности сводят-

Заметим здесь, что при другом возможном преобразовании пр имер только усложняется:

что опять является неопределенностью вида 0Ч ¥ , только записанной в более сложной форме. На этом примере видно, что, как правило, логарифмическую и обратные тригонометрические функции перевод ить в знаменатель нецелесообразно.

3

6. lim(cos2x)x2 .

x→0

Это неопределенность вида 1∞ , которая (как и неопределенности вида 00 è¥0 ) раскрывается путем логарифмирования выражения под знак ом

что, как показано выше, дает exp(-6) = e−6.

85

II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

5.3. Формула Тейлора

Формула Тейлора для многочлена

Пусть Pn(x) –многочленстепениn,т.е.Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn. Возьмем произвольную точку x0 и преобразуем Pn(x) следующим

образом:

Pn(x) = a0 + a1((x - x0) + x0) + a2((x - x0) + x0)2 + ... + ((x - x0) + x0)n. Возводя в степень согласно формуле бинома Ньютона и собир ая вместе члены с одинаковыми степенями x − x0 , запишем Pn(x) следующим образом:

n

Pn(x) = c0 + c1(x − x0) + c2(x − x0)2 + ... + cn(x − x0)n = åck (x − x0)k. (5.11)

k=0

Первый член правой части этой формулы (при k = 0 ) есть постоянная c0. Возьмем производную от обеих частей формулы (5.11), учи- тывая, что производная постоянной равна 0:

n

Pn′(x) = åckk(x − x0)k−1.

k=1

Первый член правой части этой формулы (при k = 1) есть постоянная c1. Снова дифференцируем равенство по х, учитывая, что производная постоянной равна 0:

n

Pn′′(x) = åckk(k − 1)(x − x0)k−2.

k=2

В общем виде получаем:

n

Pn(m)(x) = å ckk(k − 1)...(k − m + 1)(x − x0 )k−m .

k=m

Подставим в эту формулу x = x0 . При этом все члены правой части, кроме первого (при k = m ), будут равны 0. В результате имеем

Pn(m)(x0) = cmm(m − 1)...(m − m + 1)=cmm !,

откуда

5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Заменяя здесь m на k, получаем равенства для коэффициентов формулы (5.11):

Формула (5.13) называется формулой Тейлора для многочлена.

Формула Тейлора для (n + 1) раз дифференцируемой функции

Пусть функция y = f (x) дифференцируема (n + 1) раз в некоторой окрестности точки x0, т.е. имеет в этой окрестности все производные до порядка (n + 1) включительно. Тогда формула (5.13) не может быть верной, так как в левой ее части произвольная функция, а в п равой – многочлен. Нужно эту формулу как-то «подправить». Возьмем некоторый х из нашей окрестности и положим

Возможны различные формы записи остаточного члена, мы рас - смотрим только две из них. Сначала будем искать остаточны й член в виде, похожем на следующее слагаемое из правой части форм улы (5.14):

где q(x) зависит от х, т.е. является некоторой функцией х, кото-

æ

рую нужно определить з такое представление всегда возможно:

è

r (x)(n + 1)!ö

q(x) = n ÷ . Тогда (x - x )n+1 ÷

0 ø

II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

На отрезке [x0, x] (èëè [x, x0] – в зависимости от того, х правее или левее x0) рассмотрим вспомогательную функцию

Проверим, удовлетворяет ли эта функция на нашем отрезке в сем условиям теоремы Ролля.

· Как функция t она определена и непрерывна на отрезке, ибо из существования каждой производной функции следует непре рывность ее предыдущей производной Ю из существования на нашем отрезке f (k)(t), k = 0,1,2,..., n + 1, следует непрерывность f (k)(t),

k= 0,1,2,..., n, на этом отрезке.

·Во всех внутренних точках отрезка F (t) имеет конечную производную; для доказательства этого просто найдем эту произв одную из (5.18), учитывая правило нахождения производной произведени я:

При последнем переходе учтено, что во второй сумме первое слагаемое (при k = 0 ) равно 0, а факториал числа n! = 1Ч 2 Ч3Ч...Ч(n - 1)n.

Во второй сумме последней формулы обозначим k -1 = m. Тогда эту формулу можно переписать в виде

5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теперь слагаемые второй суммы сокращаются с соответству ющими слагаемыми первой суммы, в результате останется только пе рвое слагаемое первой суммы и

Последняя формула и доказывает существование F ¢(t) во всех внутренних точках отрезка [x0, x] (èëè [x, x0]).

· На краях отрезка функция F (t) принимает одинаковые значения. Выделив первое слагаемое суммы, перепишем формулу (5.18) в ви де

Согласно(5.17)этовыражение равно0.Такимобразом, F(x) = F(x0) = 0.

Условия теоремы Ролля выполняются, значит, существует cО(x0,x) (èëè (x, x0)), такая, что F ¢(c) = 0, т.е. согласно (5.19)

Остаточный член (5.20) называют остаточным членом в форме

Лагранжа.

Таким образом, нами доказана следующая теорема.

Теорема 5.6. Если функция y = f (x) дифференцируема (n + 1) раз в некоторой окрестности точки x0, то для всех х из этой окрестности

II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

В этой формуле с – точка между x0 и х, которую еще можно записать в виде c = x0 + θ(x − x0), ãäå 0 < θ < 1. Формулу (5.21) называют формулой

Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Замечания.

1.Смысл формулы Тейлора состоит в том, что с точностью до ос та-

точного члена функция в окрестности точки x0 представляется в виде многочлена по степеням x - x0 , а многочлен изучать проще, чем произвольную функцию.

2.Остаточный член в форме Лагранжа имеет тот же вид, что и пр еды-

дущие члены формулы, но производная берется уже не в точке x0, а в промежуточной точке с.

3.Отбросив в формуле (5.21) остаточный член, получаем формулу д ля

приближенных вычислений: f (x) » ån f (k)(x0)(x - x0)k.

k=0 k !

Погрешность этой формулы равна остаточному члену

rn(x) = f (n+1)(c)(x - x0)n+1, (n +1)!

где с – промежуточная точка между x0 и х. Хотя точно значение с определить нельзя, можно оценить погрешность, т.е. указать, чего о на, заведомо, не превосходит.

В качестве примера рассмотрим задачу приближенного вычисления 5 33, которая уже решалась с помощью дифференциала в разд. 4.3. В нем

был получен ответ 2 + 801 , причем погрешность вычислений оценить тогда не могли. Теперь можно продвинуться гораздо дальше:

Рассмотрим функцию y = f (x) = 5 x и возьмем x0 = 32 Þ f (x0) = 5 32 = 2. Тогда

90

5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Отбрасывая остаточный член, получаем приближенно 5 33 » 2 + 801 - 64001 . Погрешность при этом не превосходит отброшенного остато чного члена, в котором с находится между x0 = 32 è x = 33.

Наибольшее значение этой погрешности будет при наименьш ем зна- чении ее знаменателя, т.е. при с = 32. Значит, погрешность наших вычислений не превосходит

4. Ïðè x0 = 0 формула (5.21) превращается в так называемую формулу Маклорена:

Здесь с – промежуточная точка между 0 и х, или c = θx, ãäå 0 < θ < 1.

Теорема 5.7 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть функция y = f (x) имеет в точке x0 все производные до порядка n включительно. Тогда

91

5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теперь, используя (5.28), для доказательства нужного нам утве рждения применим правило Лопиталя:

(Напоследнемшаге,добавивчлен rn(n−1)(x0) = 0, мывместоправилаЛопиталя применилиопределениепроизводной,ибонепрерывность rn(n)(x) â

Разложения по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

Применим формулы (5.22) и (5.29) к некоторым функциям: 1. Функция f (x) = ex. Для этой функции

f (k)(x) = ex Þ f (k)(0) = e0 = 1 è

Так как наша функция имеет производные всех порядков в лю бой точке, то формула справедлива для всех х. Применим эту формулу для

II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

приближенноговычислениячислаe. Подставим в нее х = 1, возьмем пять членов и отбросим остаточный член. Тогда

f (0) = 0, f ¢(0) = 1, f ¢¢(0)= 0, f ¢¢¢(0)= - 1, f IV (0) = 0,...Þ f (k)(0) = sin p2 k.

Таким образом, в формулах (5.22) и (5.29) остаются только члены с нечетными степенями х и они принимают вид

sin x =

где r(x) – остаточный член в форме Лагранжа или Пеано. Так как функция имеет производные всех порядков в любой точке, то раз ложение справедливо для всех х.

3. Функция f (x) = cos x.

Аналогично предыдущему примеру имеем

f ¢(x) = - sin x, f ¢¢(x) = - cosx, f ¢¢¢(x)= sinx,

5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

f (0) = 1, f ¢(0) = 0, f ¢¢(0) = -1, f ¢¢¢(0)= 0, f IV (0) = 1,...Þ f (k)(0) = cos p2 k.

Теперь в формулах (5.22) и (5.29) остаются только члены с четными степенями х и они принимают вид

ãäå rn(x) – остаточный член в форме Лагранжа или Пеано. Так как функция имеет производные всех порядков в любой точке, то раз ложение справедливо для всех х.

f ( k ) ( x)= ( –1)k – 1 ( k – 1) ;

(1 + x)k

f ¢(0)=1, f ¢¢(0)= –1, f ¢¢¢(0)= 2, f IV (0)= –2 ×3, ...,

f ( k ) ( 0)= ( –1)k – 1 ( k – 1)!

Теперь формулы (5.22) и (5.29) выглядят так: