3. Задача оптимального планирования ресурсов

Если под ресурсами понимать все, что используется в процессе производства: финансы, оборудование, сырье, материалы, персонал (в смысле заработной платы), то значительное число задач в экономике можно рассматривать как задачи планирования ресурсов.

Математической моделью таких задач является задача линейного программирования, которая является достаточно распространенной задачей принятия оптимальных решений.

Математическая задача заключается в нахождении j переменных Х₁,Х₂,…,Х_j, максимизирующих (или минимизирующих) данную линейную функцию (целевую функцию):

F= С₁Х₁ + С₂Х₂ + … +С_jХ_j

при линейных ограничениях – равенствах

a_i1X₁ + a_i2X₂ +…+ a_ijX_j = A_i

и линейных ограничениях – неравенствах

A_r1X₁ + A_r2X₂ + … +A_rjX_j  B_r

Когда число переменных j = 2 возможно представить решение задачи в графическом виде на плоскости. В практических задачах число переменных может исчисляться десятками. В этом случае у человека нет пространственного воображения, чтобы представить решение задачи графически. Выход один – решать задачу численными методами. Область допустимых значений представляет собой многогранник; координаты той вершины, в которой целевая функция принимает максимальное значение, являются оптимальным решением задачи. Т.е. идея численного решения состоит в последовательном переборе вершин, в одной из которых находится оптимальное решение. Совокупность k+1 вершины в k-мерном пространстве называется симплексом. Отсюда численный метод решения задачи линейного программирования называется симплекс-методом. В пакете Excel варианты этого метода реализованы в подстройке Поиск решения, которая вызывается командой Данные  Анализ  Поиск решения.

Далее будет рассмотрена технология решения классической задачи распределения ресурсов в Excel на числовом примере, но заданном в обобщенном виде.

Постановка задачи

Требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию четырех типов Прод. 1, Прод. 2, Прод. З, Прод. 4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы.

Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, а там же наличие располагаемого ресурса приведено табл. 3.1.

Таблица 3.1

Ресурс	Прод. 1	Прод. 2	Прод. 3	Прод. 4	Знак	Наличие
Прибыль	60	70	120	130	max	-
Трудовые	1	1	1	1	<=	16
Сырье	6	5	4	3	<=	110
Финансы	4	6	10	13	<=	100

Составим математическую модель, для чего введем следующие обозначения:

x_j — количество выпускаемой продукции j-го типа, j = 1,4;

b_i, — количество располагаемого ресурса i-го вида, i = 1,3;

a_ij — норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-то типа;

c_j — прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го типа.

Как видно из табл. 3.1, для выпуска единицы Прод1 требуется 6 единиц сырья, значит, для выпуска всей продукции Прод1 требуется 6х_i сырья. По аналогии можно рассчитать потребность сырья и на другие продукты фирмы. С учетом того, что запасы сырья ограничены (на складе 110 единиц), то можно записать это математически в виде:

6х₁+5х₂+4х_з+3х₄  110.

В этом ограничении левая часть равна величине потребного ресурса, а правая показывает количество имеющегося ресурса.

Пользуясь этим алгоритмом, можно составить ограничения для остальных ресурсов и написать зависимость для целевой функции. Следует указать также, что количество выпускаемых продуктов должно быть больше нуля (в убыток никто не работать). Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:

F = 60х₁+70х₂+120х_з+130х₄  max (3.1)

1х₁+1х₂+1х_з+1х₄  16 (3.2)

6х₁+5х₂+4х_з+3х₄  110 (3.3)

4х₁+6х₂+10х_з+13х₄  100 (3.4)

х_j  0; j = 1,4 (3.5)

Решение задачи в Excel

Ввод условий задачи состоит из следующих основных шагов:

1. Создание формы для ввода условий задачи.

2. Ввод исходных данных.

3. Ввод зависимостей из математической модели.

4. Назначение целевой функции.

5. Ввод ограничений и граничных условий.

Форма ввода условий задачи, представленная на рис. 3.2 приближена к классической математической форме системы уравнений (3.1-3.5) — т.е является ее электронным аналогом. Обратите внимание, что текст на этом рисунке является комментарием и на решение задачи не влияет. ЦФ - это целевая функция F. Напр. – это направление изменения целевой функции (максимизация или минимизация или заданное значение). Знак – это знак, отделяющий в неравенстве левую и правую части.

Рис. 3.2

Далее требуется в полученную форму ввести исходные данные из табл. 3.1. Результат выполнения этих действий представлен на рис. 3.3.

Рис. 3.3

Далее требуется ввести уравнения 3.1-3.4 в ячейки F6,F9,F10,F11 (Рис.3.3).

Алгоритм ввода зависимости для целевой функции

• Курсор в F6.

• Формулы  Вставить функцию…

• Курсор в окно Категория на категорию Математические.

• В окне Выберите функцию курсор на функцию СУММПРОИЗВ.

• ОК.

На экране окно диалога (Рис. 3.4).

Рис. 3.4

• ВМассив1 ввести B$3:E$3. Заметим, что во все диалоговые окна адреса ячеек удобнее вводить не с клавиатуры, протаскивая мышью по ячейкам, чьи адреса следует ввести.

• В Массив2 ввести B6:E6.

• OK.

Введено значение целевой функции, которое равно нулю, поскольку значения переменным в блоке B3:E3 пока так же равны нулю (это начальные приближения).

Рекомендуем читать справочную информацию в окне диалога и щелкать по пункту Справка по этой функции (рис. 3.4).

На рис. 3.5 представлены формулы для ячеек целевой функции и левых частей ограничений.

Рис. 3.5