Lektsii / теория ОМД / Прямые задачи ОМД / Расчет усилий и удельных давлений при осадке параллелепипеда

Технологические задачи кузнечно-штамповочного производства

Ковкой (или свободной ковкой) называется процесс обжатия заготовки на плоских бойках.

Объемной штамповкой (или ковкой в штампах) называется процесс, при котором заготовка принимает заданную форму внутри ручьев штампов, а излишний металл выдавливается в полость заусенца, образуя облой. Последние удаляются в обрезных штампах.

Осадка. Расчет усилий и удельных давлений

при осадке параллелепипеда

Осадкой называется технологический процесс, при помощи которого уменьшают высоту исходной заготовки при одновременном увеличении площади ее поперечного сечения.

Осадка может быть как промежуточной операцией кузнечно-штамповочного процесса, так и окончательной. Примером осадки, как промежуточной операции можно назвать свободную ковку отрезка литого сляба (параллелепипеда) и подготовку из него параллелепипеда нужной формы, который служит для последующей штамповки деталей.

Осадкой на последней формообразующей стадии получают поковки, из которых последующей механической обработкой делают детали машин.

Для ряда технологических процессов, например для ковки узкими бойками широкой плиты, прокатки широкой полосы в цилиндрических валках, ковки и прокатки в калибрах уширение металла мало в сравнении с удлинением, и им можно пренебречь.

Рассмотрим силовой режим осадки без уширения. Задача сводится к нахождению эпюры распределения нормальных напряжений на контактной плоскости и интегрированию этих эпюр по площади контакта или, иначе говоря - к определению объема фигуры, ограниченной контактной плоскостью и поверхностью, вертикальные сечения которой ограничены эпюрой нормальных напряжений.

Эта задача в общем случае сводится к совместному решению уравнения равновесия и условия пластичности при заданных граничных условиях.

Рассмотрим осадку без уширения как случай плоского деформированного состояния, то есть допустим следующие соотношения для составляющих напряжений и деформаций:

; ,

здесь ось Z взята по направлению, в котором уширение отсутствует.

Напряжения _х, _у и _ху являются функциями только координат Х и У.

Если пренебречь массовыми силами, включая и силы инерции, определение напряжений _х, _у и _ху сводится к решению двух дифференциальных уравнений равновесия

совместно с условием пластичности

(1.2.)

Здесь

Будем считать деформируемое тело идеально пластичным (упрочнение отсутствует) и допустим, что температура во всех точках тела, считая контактные плоскости, постоянна. Деформируемый металл считаем однородным и изотропным.

При этих допущениях задача статически определима и может быть решена относительно напряжений _х, _у и _ху независимо от определения деформаций.

Однако, даже и в этом общем случае не удается непосредственно проинтегрировать систему уравнений (1.1.), (1.2.).

Поэтому при определении напряженного состояния при осадке между плоскими параллельными плитами либо вводят дополнительные упрощающие допущения, чтобы получить решение в приемлимом для практических расчетов виде, либо пользуются методами приближенного решения системы дифференциальных уравнений.

Подавляющее большинство процессов ОМД протекает в условиях трения на контактных поверхностях металла и инструмента.

Экспериментально установлено, что чем больше отношение контактной поверхности F_конт к свободной поверхности деформируемого металла F_своб., тем больше необходимое усилие и удельное давление.

Естественно поэтому, что наибольший интерес представляют процессы деформирования при значительной величине соотношения .

Касательные напряжения на контактных поверхностях, вызванные силами трения, вообще говоря, не постоянны и могут изменяться на поверхности по тому или иному закону.

Однако можно утверждать, что они по одному из сечений поковки всегда распределены таким образом, что имеют максимальное значение на контактной поверхности и равны нулю в оси симметрии данного сечения поковки.

Замечая, что уравнения равновесия для плоской задачи связывают компоненты напряжений с двумя координатами, в поисках дальнейшего упрощения поставим более простую задачу - определить нормальные и касательные напряжения не в каждой точке объема деформируемого тела, а лишь в каждой точке контактной поверхности.

Решение такой задачи является достаточным для целей практики, так как интеграл нормальных напряжений по проекции контактной поверхности на плоскость, перпендикулярную к равнодействующей усилия деформирования, сразу же дает величину полного усилия деформирования.

Частное от деления полученной величины на площадь проекции контактной поверхности на ту же плоскость представляет собой удельное давление деформирования.

При решении задачи определения напряжений лишь на контактной поверхности, то есть при вполне определенных значениях одной из координат, вполне естественно допустить, что напряжения не зависят именно от этой координаты.

Тогда можно ограничиться рассмотрением только одного из двух уравнений равновесия и, проинтегрировав его в пределах изменения касательного напряжения от нулевого до максимального значения ( т.е. в области от центра деформированного тела до его контактной поверхности ), получить простое дифференциальное уравнение в обычных производных, дающее связь между усредненными значениями напряжений и координатами.

Точность полученных таким образом приближенных уравнений равновесия тем больше и результаты интегрирования этих уравнений тем ближе к действительности, чем больше отношение контактной поверхности к свободной поверхности деформируемого тела.

Обратимся к нашему случаю плоского течения металла между двумя параллельными шереховатыми плитами.

Рассматривая этот процесс в прямоугольных координатах как случай плоского деформированного состояния поместим начало координат ХУ в центре сечения осаживаемой поковки.

М ожно заметить, что при изменении У от 0 до h/2 касательные напряжения _ху изменяются от 0 до , где  - значение касательного напряжения на контактной плоскости.

Интегрируя первое из уравнений (1.1.) по У, получаем

Полагая, что _х не зависит от У и учитывая, что второй интеграл равен , имеем

Подставляя пределы интегрирования получаем следующее приближенное уравнение равновесия для плоской задачи в прямоугольных координатах

(1.3.)

Отметим, что при интегрировании мы не задавались каким-либо законом распределения касательных напряжений по координате У и лишь утверждали, что они изменяются от нуля на оси Х до максимума, равного  на контактных плоскостях, то есть при у=h/2.

Однако уравнение (1.3.) можно непосредственно получить из первого уравнения системы (1.1.), если допустить линейный закон распределения касательных напряжений по координате У, то есть положить

Таким образом, допущение независимости нормальных напряжений от одной из координат однозначно с допущением о линейном распределении касательных напряжений вдоль этой координаты.

При теоретическом исследовании процесса осадки с плоской деформацией можно приближенно принять следующий экспериментально обоснованный, но несколько схематизированный закон распределения касательных напряжений на контактной плоскости:

1. для зоны скольжения (участки а₁в₁ и а₂в₂)

(1.4.)

2. для зоны торможения (участки в₁с₁ и в₂с₂)

(1.5.)

3. для зоны застоя (участки с₁о и с₂о)

,

где , или приближенно, считая справедливой линейную зависимость касательных напряжений вдоль этого участка, имеем

(1.6.)

Здесь Х_с - длина центрального участка (считая от нейтральной оси У, направленной по вертикальной оси симметрии). На основании экспериментальных данных принимаем

Х_с h ,

где h - высота образца ,  - коэффициент трения.

Рассмотрим три случая, соответствующие различным законам распределения касательных напряжений на контактной плоскости.

Первый случай (предыдущий рисунок).

Проинтегрируем приближенное уравнение равновесия (1.3.) применительно к граничным условиям для трех участков кривых касательных напряжений, заданным в виде (1.4.)- (1.6.).

Уравнение равновесия интегрируем совместно с условием пластичности (1.2.). Причем последнее предварительно упростим, сделав допущение, что напряжения на площадках перпендикулярных к выбранным осям координат являются главными. Тогда соотношение (1.2.) примет вид

(1.2а)

Условие пластичности (1.2а) для второго и третьего участков (где касательные напряжения не зависят от нормального напряжения _у ) будет точным, а для первого участка приближенным.

Дифференцируя, находим

(1.2б)

На границе первого участка кривой (то есть на границе контактной плоскости в точке А и при ) полагаем, что нормальные напряжения

; ( здесь _х = 0 )

поскольку очевидно, что при меньшем напряжении пластическая деформация в условиях плоской схемы деформированного состояния невозможна.

Граничными условиями второго участка считаем значения нормального и касательного напряжений в конце первого участка, то есть налагаем условие непрерывности на значения в точках в₁ и в₂ напряжений _у и _.

Выполнив интегрирование находим (рассматривается правая часть эпюры  , имеющая знак "-" ):

первый участок при

(1.6а)

второй участок при

(1.6б)

третий участок при

(1.6в)

где .

Примечание. Здесь и далее кружочек "  " означает выбранный знак для .

Таким образом, эпюра нормальных напряжений на первом участке контактной плоскости определяется показательной функцией; на втором участке - линейной. На третьем участке нормальные напряжения изменяются по закону параболы.

Граница первого и второго участков определяется из условия, что в точках в₁ и в₂ касательные напряжения достигают своего максимума

Решая уравнение относительно Х=Х_в с подстановкой значения _у из выражения (1.6а) находим

, (1.7)

где через () обозначено выражение

Учитывая, что согласно положению, достаточно обоснованному экспериментально, при Х_с h начинается падение касательных напряжений в центральной части контактной плоскости, из выражения (1.7) можно при заданном коэффициенте трения  найти минимальное значение отношения , соответствующее максимальному значению касательного напряжения .

Это предельное значение отношения имеет вид

При =0,5 первый участок кривой исчезает, так как вся поверхность уже является зоной торможения. Точка в₁ сливается с точкой а₁ и эпюра касательных напряжений состоит только из двух участков - постоянных значений  и убывающих.

Второй случай

Касательные напряжения не достигают своего максимального значения _s ни в одной точке контактной плоскости.

Это имеет место, если

Тогда на кривой касательных напряжений участок в₁с₁ отсутствует и кривая состоит из двух ветвей - возрастающей по показательному закону и убывающей по линейному.

Эпюра нормальных напряжений состоит из двух кривых - возрастающей по показательному закону и по закону параболы, с максимумом на нейтральной оси.

Выражения для этих кривых имеют вид:

первый участок при

(1.8)

второй участок при

, (1.9)

где .

Третий случай.

Кривая касательных напряжений состоит только из одного убывающего участка.

Это имеет место при .

Тогда (1.10)

Определим теперь величины удельных давлений применительно к трем видам кривых распределения касательных напряжений на контактных плоскостях.

Первый случай:

После интегрирования выражений (1.6а), (1.6б) и (1.6.в) по соответствующим участкам и деления полученного результата на контактную площадь имеем для удельного давления:

Второй случай:

После интегрирования выражений (1.8.) и (1.9) по соответствующим участкам и деления полученного результата на контактную площадь имеем для удельного давления следующее выражение:

Третий случай:

После интегрирования выражения (1.10) и деления полученного результата на контактную площадь имеем для удельного давления соотношение:

Вывод уравнения (1.6 а).

Правая ветвь ( для  знак  )

; ; ;

; ;

; ; ;

при x= ; _х = 0 и ;

; ;

;