Физические уравнения связи напряжений и деформаций

Основная задача: дать физические уравнения связи напряжений и де­формаций и замкнуть систему дифференциальных и конечных уравнений теории пластичности.

1. Начальные сведения о механических свойствах деформируемых материалов

1. Гипотеза об изотропии

Достаточно крупные изделия из металла, которые подвергаются обра­ботке пластической деформацией, состоят из множества мелких зерен - кри­сталлов, которые, как правило, имеют различную ориентацию кристаллографи­ческих плоскостей. Механические свойства таких изделий, несмотря на анизо­тропию (различие) свойств в отдельном зерне, примерно одинаковы в различных направле­ниях (статистически усреднены), поэтому такие тела можно назвать квазиизотропными. Квазиизотропия сохраняется по мере уменьшения размера рассматри­ваемого элементарного объема до тех пор, пока этот элементарный объем содержит достаточное количество различным образом ориентированных кристаллов.

В прикладной теории пластичности, рассматривающей технологические задачи деформации металлов, принимается, условно, что материал на любом уровне размера элементарного объема обладает изотропными механическими свойствами. Это условие называется гипотезой об изотропии сплошной среды.

Конечно, результаты расчета НДС будут справедливы лишь на макро­скопическом уровне: механические переменные будут, строго говоря, найдены при достаточно точном решении задачи не в каждой точке деформируемого металла, а будут найдены усредненные значения для элементарного (в макросмысле) объе­ма. Этот объем настолько мал, чтобы имели смысл операции дифференцирования, но и настолько велик, чтобы содержал, по крайней мере, несколько различным образом ориентированных кристаллов.

Гипотеза об изотропии существенно упрощает математический аппарат расчета НДС при решении технологических задач, однако в ряде случаев она неприемлима.

2. Инвариантное представление физических уравнений связи

напряжений и деформаций

Тензор скорости деформации и тензор напряжений были разложены на шаровой тензор и девиатор. Шаровой тензор напряжений содержит одну существенную величину – среднее ( гидростатическое ) напряжение  .

Аналогично, шаровой тензор скорости деформации и шаровой тензор приращения деформации имеют также по одной существенной величине  и d (ско­рость относительного изменения объема и приращение относительного измене­ния объема).

Девиатор напряжений и девиатор скорости деформации или девиатор приращения деформации имеют два отличных от нуля инварианта.

Вторые инварианты, как уже отмечалось, можно представить в виде интенсивности касательных напряжений Т и интенсивности скорости деформации сдвига Н ( или интенсивности приращения степени деформации сдвига d ). Физические уравнения должны быть построены с использованием указанных инвариантов и температуры  деформируемого тела.

Итак, задача состоит в том, чтобы, основываясь на опыте и фундаментальных положениях термодинамики, установить зависимости между ,  или d ; Т , Н или d ; .