Lektsii / МСС / Краевая задача теории пластичности

Краевая задача теории пластичности

Система дифференциальных уравнений теории пластичности

В дальнейшем ограничимся достаточно медленными процессами пластической деформации, в которых инерционные силы не играют существенного значения, и на деформируемое тело не действуют массовые силы. Обобщение на быстрые течения, которые в настоящее время не получили пока достаточного развития и применения на практике, совершить не сложно.

Будем также считать материал несжимаемым, а пластические деформации настолько развитыми, что упругими деформациями можно пренебречь.

Механические переменные в каждой точке деформируемого материала, которые должна определять теория пластичности, следующие: тензор напряжений , температура и вектор скорости как функции координат частицы и времени

Эти функции позволяют подсчитать энерго-силовые параметры для деформации тел, их формоизменение, сделать прогноз разрушения деформируемого материала.

Составим систему уравнений теории пластичности. Тензор напряжений должен удовлетворять трем уравнениям равновесия. Течение должно быть таким, чтобы удовлетворялось уравнение неразрывности или сохранения массы. В случае несжимаемого материала это уравнение вырождается в условие несжимаемости. Напряжения и скорости деформации связаны шестью физическими уравнениями. Тепловое движение должно подчиняться дифференциальному уравнению теплового баланса. И, наконец, следует добавить шесть кинематических уравнений, связывающих .

Система уравнений выглядит следующим образом:

(4.1)

где

В приведенной системе содержится достаточное количество уравнений, чтобы можно было приступить к её решению.

Интегрирование системы дифференциальных уравнений ( 4.1 ) обязательно требует задания начальных или граничных условий. Начальные условия задают значения искомых механических переменных в начале рассматриваемого периода времени.

Кратко рассмотрим граничные условия для , .

Вся поверхность S деформируемого тела V может состоять из частей, на каждой из которых должно быть задано одно из следующих условий:

1. Задана скорость . Эту часть поверхности обозначают обычно .

2. На части поверхности могут быть заданы напряжения, то есть

3. Возможно задание смешанных граничных условий. Эту часть поверхности можно обозначить . На ней заданы одна или две состовляющие скорости, остальные состовляющие заданы в виде сил. Например, возможен такой вариант смешанных граничных условий:

4. Возможно более сложное задание смешанных граничных условий. Например, если задана на поверхности Ss нормальная к поверхности состовляющая скорости и сила трения между деформируемым телом и находящимся в контакте с ним другим телом. Это условие аналитически выглядит так

где - вектор напряжения, действующего со стороны второго тела ( инструмента ) на первое – деформируемое, который расположен в касательной плоскости к Ss , ( сила трения ); р – нормальная составляющая взаимодействия тел ; - модуль вектора скольжения контактирующих тел; - единичный вектор скольжения второго тела по первому – деформируемому.

Обратимся к граничным условиям тепловой части краевой задачи теории пластичности.

В математической теории теплопроводности используется пять основных условий, представляющих идеализацию действительных физических процессов. На любой части граничной поверхности S тела V имеет место одно из следующих условий:

1. Задается на поверхности распределение температуры в виде

, (4.5)

где точка М находится на поверхности, а функция заданная.

2. Задаётся подвод тепла. Это граничное условие можно записать в следующей форме

, (4.6)

где - внешняя нормаль к поверхности S в точке М .

3. Идеально изолированная поверхность – это поверхность через которую отсутствует тепловой поток. Условие имеет вид

(4.6а)

4. Во многих задачах задается конвективный теплообмен. Поток тепла через граничную поверхность можно считать пропорциональным разности между температурой поверхности и известной температурой окружающей среды . Граничное условие можно записать так

, (4.7)

где величина называется коэффициентом теплообмена и может быть задана как функция координат и времени.

5. Контакт двух твердых тел. Если между граничными поверхностями имеется идеальный тепловой контакт, то их температуры на этой поверхности контакта должны быть одинаковыми. Кроме того, поток тепла, выходящий из одного тела через поверхность контакта, должен быть равен потоку тепла, входящему в другое тело. Таким образом, для точки М контактной поверхности имеем

(4.8)

где индексы 1 и 2 относятся к двум телам, а представляет собой общую нормаль к поверхности контакта в точке М.

Упрощение системы уравнений теории пластичности.

Физические уравнения связи напряжений со скоростями деформации

или с приращением деформации

содержат функции, описывающие упрочнение материала.

А

T

ппроксимация функции должна решить дилемму: аппроксимация должна быть точной, по возможности, и, в то же время, не быть слишком сложной, чтобы можно было справиться с математическими трудностями решения задач

В математической теории пластичности давно и успешно рассматривается идеализированная деформированная среда – идеально пластичный материал.

Известно, что упруго деформируемый материал по мере роста напряжений довольно резко переходит из упругого состояния в пластическое. Ряд материалов обнаруживают площадку текучести ( например Fe ): по мере развития пластической деформации некоторое время упрочнение материала не наступает.

Переход материалов в пластическое состояние с площадкой текучести характеризуется некоторым напряжением, интенсивность касательных напряжений для которого

Т=const (4.12)

Если при чистом сдвиге пластические деформации наступают при касательном напряжении ( предел текучести на чистый сдвиг ), то

Т= (4.13)

При одноосном растяжении .

Предел текучести при растяжении .

С учетом формулы (4.13), получается следующая формула связи предела текучести при растяжении и при чистом сдвиге :

= 0.58 (4.14)

Если интенсивность касательных напряжений записать полной формулой, то условие (4.13) представится так

(4.13 а)

или в главных нормальных напряжениях

(4.13 б)

Используем оценку интенсивности касательных напряжений по приближенной формуле

или так как

то

(4.13 в)

Уравнения (4.13), (4.13 а), (4.13 б) и (4.13 в) являются разной записью так называемого условия пластичности или условия, которым связаны между собой напряжения к моменту перехода материала в пластическое состояние. Это условие называется иногда условием пластичномти Губера-Мизеса, а также условием текучести.

Часто условие идеальной пластичности используется и в технологических задачах обработки металлов давлением. Конечно, оно является довольно грубым приближением действительной картины пластической деформации, которая обычно сопровождается интенсивным упрочнением. Однако простота условия пластичности и хорошо разработанная математическая теория решения конкретных задач делают допущение об идеальной пластичности металлов порой вполне оправданным.

Часто анализ НДС для упрощения делается в предположении об изотермическом характере течения. То есть разогрев от работы деформации и теплообмен с окружающей средой в расчет не принимаются. Это допущение во многих случаях оказывается оправданным. Правда, в каждом конкретном случае следует проверять справедливость этого допущения.

Решение технологических задач может быть существенно упрощено, если они могут быть представлены в виде задач на плоское деформированное состояние или плоское напряженное состояние.

Деформированное состояние называется плоским, если векторы скорости течения частиц лежат в параллельных плоскостях, например, параллельных координатной плоскости ХОУ.

В этом случае

Подобное состояние возникает в длинных призматических телах, ориентированных длинной стороной вдоль оси Z

( Z>>X ; Z>>Y),

если нагрузки действуют в плоскостях, параллельных плоскости ХОУ. Плоское деформированное состояние реализуется, например, при прокатке листа.

По условию плоского деформированного состояния

(4.15)

Формула интенсивности скорости деформации сдвига (2.15 б)

для плоского деформированного состояния и несжимаемого материала

запишется проще

(4.16)

Так как для несжимаемого материала

,

то в силу условий (4.15)

(4.17)

Из последнего следует, так как , что

(4.17 а)

Если учесть формулы (4.17) и (4.17 а) в условии пластичности (4.13 а) и (4.13 б), то получим

(4.18)

и

(4.18 а)

В силу условий (4.17), имея ввиду, что не зависит от координаты Z , дифференциальные уравнения равновесия примут вид

х---у (4.19)

Также значительно упрощается система уравнений теории пластичности, если имеет место плоское напряженное состояние; при котором , а остальные компоненты не зависят от Z .

Плоское напряженное состояние реализуется в тонких пластинках, для которых

Z<<X ; Z<<Y,

деформируемых системой сил, лежащих в её срединной плоскости. Напряженное состояние, близкое к плоскому, реализуется при безоправочном волочении тонкостенных труб, при формовке листового материала и тому подобных процессах.

Дифференциальные уравнения равновесия для плоского напряженного состояния такие же , как и для плоского деформированного состояния (4.19).

Условие пластичности (4.13 а) для плоского напряженного состояния запишется так

или

, (4.20)

а в главных напряжениях

(4.20 а)

Интенсивность скорости деформации сдвига для плоского напряженного состояния и несжимаемого материала будет

(4.21)