Уравнение связи напряжений с прирощениями

деформаций ( скоростями деформаций )

Возвратимся к гипотезе о коаксиальности ( совпадении главных направлений ) тензоров и ( и ) и к гипотезе о подобии девиаторов и ( и ) для изотропного материала.

В силу условия (3.1)

= =

имеем

(3.1 а)

Аналогичное соотношение можно записать для девиатора приращений деформации

(3.1 б)

Коэффициент пропорциональности - бесконечно большая величина, так как - бесконечно малые величины, а - конечные напряжения.

Ограничемся в начале случаем (3.1 б), свойственным процессу холодной деформации. Если перейти в правой и левой части от базиса, совпадающего с направлениями главных нормальных напряжений к произвольному базису , то условие коаксиальности и подобия девиаторов примет вид

или

(3.4)

Подставив значение в формулу интенсивности касательных напряжений

получим

Откуда

Если сейчас подставить значения в формулу (3.4), то получим уравнение связи и , справедливые для любой изотропной среды

(3.5)

Если нам дана единая кривая упрочнения металла в холодном состоянии (3.2) Т= Т , то уравнения (3.4) примут вид

(3.6)

При развитой пластической деформации можно пренебречь упругой частью компонентов девиатора приращения деформации связанной с изменением объема, тогда получим

, (3.6 а)

где

, так как

Действительно, если известно деформированное состояние и кривая упрочнения

Т= Т , то по этим формулам можно подсчитать компоненты девиатора напряжения.

Аналогично для задач, решаемых в скоростях, будет

(3.7)

или

(3.8)

Для несжимаемых материалов эти формулы будут проще

(3.8 а)

где , так как

В этих формулах значение Т полагаем заданным уравнением (3.3)

Дифференциальное уравнение теплового баланса.

Основное энергетическое уравнение

Физические уравнения содержат температуру как некоторую неизвестную функцию времени и координат точки деформируемого тепла. Ранее было отмечено, что практически вся работа пластической деформации переходит в тепло.

Составим дифференциальное уравнение движения тела. Теплопередача осуществляется теплопроводностью и переносом движущегося материала. Та часть тепла, которая не будет отведена от данной материальной частицы и которая возникла за счет её пластической деформации, пойдет на повышение температуры ( внутренней энергии ) тела.

Если обозначить тепловое движение в единицу времени так: Q1 – количество тепла, потерянное теплопроводностью элементарным объемом, фиксированным в пространстве; Q2 - количества тепла, потерянное теплопереносом; Q3 - количества тепла, пошедшее на повышение температуры материала в элементарном объеме; а Q4 - тепло, выделившееся в этом объеме за счет работы пластической деформации, то можно составить уравнение теплового баланса

(3.10)

dz

Определим .

dy

dx

Прежде всего отметим, что количество тепла, прошедшее за счет теплопроводности через единичную площадку, перпендикулярную оси i , в единицу времени будет

,

где - коэффициент теплопроводности, - градиент температуры в соответствующем координатном направлении

Рассмотрим элементарный куб, выделенный в деформируемом теле. На рисунке изображен тепловой поток вдоль оси У. Теплопотери в направлении этой оси будут

Если подобным образом подсчитать теплопотери в остальных направлениях, то в итоге получим

(3.11)

Учтем теплоперенос с движущимся материалом через выделенный в пространстве элементарный параллелепипед dV=

О

dz

dx

dy

тметим, что количества тепла, протекающее с материалом через единичную площадку, перпендикулярную координатной оси i , в единицу времени, будет

,

где - скорость материала в соответствующем направлении; - массовая плотность; с – коэффициент массовой теплоемкости.

На рисунке изображен тепловой поток вдоль оси Х с перемещающимся через элементарный объем dx dy dz пространства материалом. Теплопотери в направлении оси Х будут

Если подобным образом подсчитать теплопотери в остальных двух направлениях, то в итоге получим

(3.12)

Для несжимаемого материала формула примет вид

(3.12 а)

Подсчитаем, далее, тепло, которое пойдет в единицу времени на повышение внутренней энергии ( температуры ) тела

(3.13)

Мощность теплового источника будет

(3.14)

Итак, подсчитав (3.11), (3.12 а), (3.13) и (3.14), подставив их в уравнение теплового баланса (3.10) и сократив на dV , получим искомое дифференциальное уравнение теплового баланса.

(3.15)