Lektsii / МСС / ВВЕДЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Современная научная литература по теории пластичности широко пользуется тензорными представлениями и тензорными обозначениями в декартовых координатах, что делает рассуждения и доказательства компактными, а в выкладках не теряется и остается достаточно выпуклым физический смысл.

Существенная простота тензорных обозначений достигается, во-первых, систематическим применением буквенных подстрочных индексов, называемых свободными, которые поочередно должны принимать значения X , Y , Z ( или 1, 2 ,3 ) .

В тензорных обозначениях обычно применяют следующие буквенные подстрочные индексы: i , j , k , l , m , n , отдавая из них предпочтение трем первым индексам.

Так, например, для вектора составляющие по координатным осям есть a_x , a_y , a_z .

Эти составляющие можно записать одной буквой имея в виду, что i обязательно принимает поочередно все три значения Х , Y , Z , поэтому символу соответствуют a_x , a_y , a_z .

Простота тензорных обозначений обеспечивается, во-вторых, применением особой записи суммирования. Так, например, вектор обычно записывается

Его можно еще записать так

,

где – единичные векторы по координатным осям.

Было введено следующее правило суммирования: если буквенные индексы под знаком суммы встречаются дважды, то знак  ( суммы ) можно опустить.

Повторяющиеся индексы, по которым производится суммирование, называются немыми.

Приведем пример. Известно, что скалярное произведение двух векторов определено формулой

Эта формула скалярного произведения, согласно правилу суммирования, может быть записана компактней

Введем величины , определяемые равенствами

Тогда скалярные произведения единичных векторов могут быть записаны в виде

Величины называются симметричным символом Кронекера. Они образуют квадратную единичную матрицу

Рассмотрим еще некоторые примеры представлений в тензорной форме, которые пригодятся при изложении последующего материала :

;

;

при i = x

Примечание.

В последующем изложении материала будет встречаться обозначение

Это означает, что при записанном уравнении ( соотношении ) на самом деле имеют место три уравнения.

Два других получаются из первого последовательной ( круговой ) заменой подстрочных индексов, стоящих при соответствующих параметров - х на у , у на z , z на х .

Например: было _хх , стало _уу ; было _ху стало _уz и т.д.